一、选择题（共10小题）.
1．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2+sinx，x∈R}，那么P﹣Q＝（ ） A．{x|0＜x≤1} 2．已知x1＝A．x1＜x3＜x2
B．{x|0≤x＜2} ，x2＝
，
C．{x|1≤x＜2} ＝log3x3，则（ ）
C．x1＜x2＜x3
D．x3＜x1＜x2 D．{x|0＜x＜1}
B．x2＜x1＜x3
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为A．（1，
，若α＝）
，则点P的坐标为（ ） B．（
，1）
C．（
，
）
D．（1，1）
4．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角x是（ ） A．第一象限角 5．已知函数f（x）＝值范围是（ ） A．（，+∞）
B．（2，+∞）
C．（，2）
D．（1，2）
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
，则满足f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数x的取
6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则A．2
B．2
的最小值是（ ） C．4
D．2
8．已知函数
的零点个数为（ ） A．0
9．已知函数f（x）＝A．﹣2
B．1
，若实数m∈（0，1），则函数g（x）＝f（x）﹣m
C．2 D．3
，则f（x）的最大值为（ ） B．﹣1
C．0
D．1
10．已知函数f（x）＝x+log3（9x+1），则使得f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成立的x的取值范围是（ ） A．（0，
）
B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）
C．（0，1）
二、填空题（共5小题）.
11．（4分）命题“∃x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是 ． 12．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25＝ ．
13．（4分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧
等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则
＝ ．
14．（4分）设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），若关于x的不等式0≤f（x）≤﹣x+6的解集为[2，3]∪{6}，则b﹣a＝ ．
15．（4分）用MI表示函数y＝sinx在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0，a]≥
2a]，则
M[a，
a的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16．（8分）记函数
﹣1）]的定义域为集合B． （Ⅰ）求集合A；
的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a
（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 17．（8分）已知sin（值．
18．（8分）已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
2]上为减函数，（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
19．（8分）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R
）＝，且0
，求sin（
）﹣cos（
+x）的
（x）万美元，且R（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机
2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
20．（8分）已知函数f（x）＝lg
，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）＝lgx．
（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）若方程f（x）＝lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围． 21．（10分）已知函数f（x）＝2（1）当x∈[﹣
，
sin（x+
）•cosx﹣1．
]时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
参
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2+sinx，x∈R}，那么P﹣Q＝（ ） A．{x|0＜x≤1}
B．{x|0≤x＜2}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|0＜x＜1}
解：P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}； ∴P﹣Q＝{x|0＜x＜1}． 故选：D． 2．已知x1＝A．x1＜x3＜x2 解：∵
＜，x2＝
，
＝log3x3，则（ ）
C．x1＜x2＜x3
D．x3＜x1＜x2
B．x2＜x1＜x3
，
0＜＜20＝1，
又由
∴x1＜x2＜x3． 故选：C．
，得＞1，
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为A．（1，
，若α＝）
，则点P的坐标为（ ） B．（
，1）
C．（
，
）
D．（1，1）
解：设P（x，y），
由任意角的三角函数的定义得：sinα＝sincosα＝cos
，则x＝1．
，则y＝1；
∴点P的坐标为（1，1）． 故选：D．
4．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角x是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解：∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0， ∴0＜cosx≤1， 又sinx＜0，
∴角x为第四象限角， 故选：D． 5．已知函数f（x）＝值范围是（ ） A．（，+∞）
B．（2，+∞）
C．（，2）
D．（1，2）
，则满足f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数x的取
解：函数f（x）＝可得f（x）的最小值为1，
，可得f（x）在x≥1上单调递增，
由f（2x+1）＜f（3x﹣1）可得3x﹣1＞1，且3x﹣1＞2x+1， 即有x＞且x＞2，则x＞2． 故选：B． 6．函数f（x）＝
在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵f（x）＝＝，
∴f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，排除选项A， 当x∈（0，
）时，sinx＞0，cosx＞0，∴f（x）＞0，排除选项C，
＞0，排除选项B，
当x＝π时，f（π）＝故选：D．
7．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则A．2
B．2
的最小值是（ ） C．4
D．2
解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x•8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1． ∵x＞0，y＞0，∴
＝
＝2+
＝4，当且仅
当x＝3y＝时取等号． 故选：C． 8．已知函数
的零点个数为（ ） A．0
B．1
C．2
的图象，如图所示；
D．3
，若实数m∈（0，1），则函数g（x）＝f（x）﹣m
解：画出函数f（x）＝
由函数g（x）＝f（x）﹣m＝0，得出m＝f（x）； 又m∈（0，1），则y＝m与y＝f（x）由3个交点， 所以函数g（x）有3个零点． 故选：D． 9．已知函数f（x）＝A．﹣2
，则f（x）的最大值为（ ） B．﹣1
C．0
D．1
解：f（x）＝＝sinx+2+﹣4，
令t＝sinx+2，t∈[1，3]，则y＝t+﹣4，
由对勾函数的性质可知y＝t+﹣4在[1，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增， 当t＝1时，y＝1，t＝3时，y＝， 所以函数f（x）的最大值为1． 故选：D．
10．已知函数f（x）＝x+log3（9x+1），则使得f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成立的x的取值范围是（ ） A．（0，
）
B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）
C．（0，1）
解：因为f（x）＝x+log3（9x+1）在R上单调递增，
由f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成可得，f（x2﹣x+1）＜1+log310＝f（1）， 所以x2﹣x+1＜1， 解得，0＜x＜1． 故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．（4分）命题“∃x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是 ∀x∈R，log2x+2≥0 ． 解：命题“∃x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是“∀x∈R，log2x+2≥0”． 故答案为：∀x∈R，log2x+2≥0．
12．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25＝ 2 ．
解：原式＝2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2＝2 lg5+lg2（1+lg5+lg2） ＝2 lg5+2 lg2＝2； 故答案为2．
13．（4分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧
等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则
＝
．
解：设扇形的半径为r，
则扇形的面积为αr2，直角三角形POB中，PB＝rtanα， △POB的面积为r×rtanα，由题意得r×rtanα＝2×αr2， ∴tanα＝2α， ∴
＝．
故答案为：．
14．（4分）设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），若关于x的不等式0≤f（x）≤﹣x+6的解集为[2，3]∪{6}，则b﹣a＝ 27 ． 解：函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）， 所以不等式0≤f（x）≤﹣x+6可化为
，
即，
又该不等式组的解集为[2，3]∪{6}，
所以3、6是x2+ax+b＝0的根，且2、6是方程x2+（a+1）x+b﹣6＝0的根，
所以b＝3×6＝18，a＝﹣（3+6）＝﹣9，且b﹣6＝2×6＝12，即b＝18，a+1＝﹣（2+6）＝﹣8，即a＝﹣9；
所以b﹣a＝18﹣（﹣9）＝27． 故答案为：27．
15．（4分）用MI表示函数y＝sinx在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0，a]≥
2a]，则
M[a，
a的最大值为 ． ．
解：当a∈[0，由M[0，a]≥
]时，2a∈[0，π]，M[0，a]＝sina，M[a，2a]＝1，
，此时不成立；
M[a，2a]，得sina≥
当a∈[，π]时，2a∈[π，2π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sina，
M[a，2a]，得1≥
sina，即sina≤
，所以
≤a≤π；
由M[0，a]≥当a∈[π，由M[0，a]≥当a∈[
]时，2a∈[2π，3π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin2a或1， M[a，2a]，得1≥
sin2a，即sin2a≤
且2a≤2π+
，解得π≤a≤
；
，+∞）时，2a∈[3π，+∞），M[0，a]＝1，M[a，2a]＝1，不合题意．
．
综上，a得最大值为故答案为：
．
三、解答题：本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16．（8分）记函数
﹣1）]的定义域为集合B． （Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得：A＝{x|1﹣2x≥0}＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}（4分）
（Ⅱ）由B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＞0}＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＞0}（6分）∵a﹣1＜a+1∴B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1（8分） ∵A⊆B，∴a﹣1＞0，∴a＞1（12分） 17．（8分）已知sin（值． 解：∵0＜x＜∵已知sin（且 0∴sin（
，∴﹣
＜
﹣x＜
， ）＝
+x）的 ﹣x）+cos（
﹣x）＝2cos（
﹣x）＝
．
＝
．
）＝，且0
，求sin（
）﹣cos（
+x）的
的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a
）＝，∴cos（，求sin（）﹣cos（
）﹣cos（+x）＝cos（
18．（8分）已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
2]上为减函数，（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由题设，3﹣ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分） ∵a＞0，∴g（x）＝3﹣ax在[0，2]上为减函数，…（4分） 从而g（2）＝3﹣2a＞0， ∴
，
．…（6分）
∴a的取值范围为
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）＝1， 即loga（3﹣a）＝1，∴
，
此时，…（10分）
当x＝2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）
19．（8分）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R
（x）万美元，且R（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机
2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：（1）由题意可算出k＝6，则
当0＜x≤40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣6x2+384x﹣40， 当x＞40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣
﹣16x+7360，
∴W＝．
（2）①当0＜x≤40时，W＝﹣6x2+384x﹣40＝﹣6（x﹣32）2+6104， ∴当x＝32时，Wmax＝W（32）＝6104， ②当+7360
x＞40
时，W＝﹣
﹣16x+7360＝﹣（
+16x）
+7360＝5760，当且仅当 即x＝50时，等号成立，
即当x＝50时，Wmax＝5760，
综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
20．（8分）已知函数f（x）＝lg
，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）＝lgx．
（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）若方程f（x）＝lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围． 解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）＝lgx．
lg﹣lg＝lgx，
即lg即lg（
•
﹣lg•＝x．
＝lgx， ）＝lgx，
整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x＝0恒成立， ∴a＝b， 又f（1）＝0，
即a+b＝2，从而a＝b＝1． ∴f（x）＝lg∵
＞0，
，
∴x＜﹣1，或x＞0，
∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
（2）方程f（x）＝lgt有解， 即lg∴t＝
＝lgt， ，
∴x（2﹣t）＝t， ∴x＝∴
， ＜﹣1，或
＞0，
解得t＞2，或0＜t＜2，
∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞）， （3）方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅， ∴lg∴
＝lg（8x+m）， ＝8x+m，
∴8x2+（6+m）x+m＝0， 方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x2+（6+m）x+m＝0无解，即△＜0，得2＜m＜18，
②方程8x2+（6+m）x+m＝0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）＝8x2+（6+m）x+m
则解得0≤m≤2
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18． 21．（10分）已知函数f（x）＝2（1）当x∈[﹣
，
sin（x+
）•cosx﹣1．
]时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）f（x）＝2
sin（x+
）•cosx﹣1＝2sin（2x+
（
sinx+
cosx）cosx﹣1＝
2sinxcosx+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝）．
当x∈[﹣，]时，2x+∈[0，]，f（x）∈[0，]，
]，
要使f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，令t＝f（x），则t∈[0，h（t）＝t2﹣mt﹣m≤0对任意t∈[0，故
∴实数m的取值范围为[2
]恒成立， ﹣2，
，解得m≥2
﹣2，+∞）．
（2）假设同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点，
即函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2021个交点， 当x∈[0，π]时，2x+①当a＞②当a＝±
或a＜﹣
∈[
，
]，
时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；
时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，要使函数y＝f
（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有20121个交点，则n＝2021； ③当﹣
＜a＜1或1＜a＜
时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有两个交点，
此时函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上有偶数个交点， 不可能有2021个交点，不符合；
④当a＝1时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有三个交点，要使函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2021个交点，则n＝1010； 综上所述，存在实数a和正整数n满足条件： 当a＝
时，n＝2021，当a＝1时，n＝1010．
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