2020届陕西省安康中学高三第三次模拟考试数学(理)试题

2020届安康中学高三第三次模拟考试卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。

号位2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 封座黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

密 第Ⅰ卷

号一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 不场考只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为实数集R，集合A{x|x22x80}，B{x|log2x1}，则(ðRA)IB（ ） A．[4,2]

B．[4,2)

C．(4,2)

D．(0,2)

订 2．已知a,bR，若ai与3bi互为共轭复数，则(abi)2（ ） A．86i

B．86i

C．86i

D．86i

装 号．若双曲线x2y23证m2m221(m0)的离心率为2，则实数m的值为（ ）

考准A．1

B．

1 3 C．2 D．3 只 4．若cos(π 3)16，且π62π3，则sin(7π12)（ ） A ．702B．702．270卷 12 12 C12

D．70212 名5．在Rt△ABC中，A90，ABACa，在边BC上随机取一点D，则事件“AD104a”姓 发生的概率为（ ） 此 A．

3 4 B．

213 C．

12 D．

3 6．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π6，则x等于（ ）

级班

A．4

B．5 C．6 D．7

7．已知抛物线y24x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQy轴于点Q，则uPQuuruPFuur的

最小值为（ ） A．14 B．12 C．1 D．1

8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A．8

B．9

C．10

D．12

9．已知函数f(x)sin(xπ6)(0)的两个零点之差的绝对值的最小值为π2，将函数f(x)的 图象向左平移

π3个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数g(x)的最小正周期为π；②函数g(x)的图象关于点(7π12,0)对称； ③函数g(x)的图象关于直线x2π3对称；④函数g(x)在[π

3

,π]上单调递增． A．①②③④

B．①②

C．②③④

D．①③

10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(1623～1662)在1654年发现这一规律，比杨辉要

迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，

3，3，6，4，10，5，，则在该数列中，第37项是（ ）

A．153

B．171

C．190

D．210

．已知双曲线C:x2y2114a2b21（a0，b0）的右焦点为F，过原点O作斜率为3的直线交C

的右支于点A，若|OA||OF|，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．5 C．2

D．31

12．设函数f(x)的定义域为R，f(x)是其导函数，若3f(x)f(x)0，f(0)1，则不等式

f(x)e－3x的解集是（ ）

A．(0,) B．(1,) C．(,0) D．(0,1)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数f(x)log3(x1)2,x0f(x3),x0，则f(－2020)________． 14．已知(2x1)7a270a1xa2xLa7x，则a2________．

15．已知抛物线y29x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，N为抛物线上的一点，且满足

6|NF|2|MN|，则点F到直线MN的距离为___________．

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2cosAcos2C)bcsinBsinC，

a2，则△ABC的面积的最大值是________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在等差数列{an}中，a46，且a2，a3，a5成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{aan}的公差不为0，设bnnan3，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．（12分）如图，三棱柱ABCAπ1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，ACBC2，CBB13，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E． （1）求证：四边形ACC1A1为矩形；

（2）求二面角EB1CA1的平面角的余弦值．

19．（12分）“互联网”是“智慧城市”的重要内士，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi．为了解免费WiFi在h市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：

（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望E(X)和方差D(x)． 2附：K2n(adbc)(ab)(cd)(ac)(bd)，其中nabcd．

x2y220．（12分）已知椭圆C:a2b21(ab0)，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线x2y2与C只有一个公共点． （1）求C的标准方程；

（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，试求△ABP的面积的最大值．

21．（12分）已知函数f(x)exx2kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．

（1）求实数k的取值范围；

（2）证明：f(x)的极大值不小于1．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为xty1bt(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴

非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C的方程为2sincos20． （1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB4，求b的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f(x)|3xm|2|x1|(m0)． （1）若m1，解不等式f(x)4；

（2）若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积为203，求m的值．

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答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项

中，

只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1 14．【答案】84 15．【答案】33 216．【答案】3 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

991n17．【答案】（1）见解析；（2）Tnnn．

882

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【解析】（1）设数列{an}的公差为d，

2因为a2，a3，a5成等比数列，所以a3a2a5，

2又a46，所以(6d)(62d)(6d)，

即3d(d2)0，解得d0或d2． 当d0时，an6；

当d2时，an=a4+(n4)d6(n4)(2)22n． （2）若数列{an}的公差不为0，由（1）知，an22n，

22n则bn22n3，

11[1()n]n(022n)991n29nn所以Tn．

12881918．【答案】（1）证明见解析；（2）21． 7【解析】（1）因为AE平面BB1C1C，所以AEBB1， 又因为BE1πBB11，BC2，EBC，所以CE3， 23因此BE2CE2BC2，所以CEBB1， 因此BB1平面AEC，所以BB1AC， 从而AA1AC，即四边形ACC1A1为矩形．

（2）如图，以E为原点，EC，EB1，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

所以A(0,0,1)，A1(0,2,1)，B1(0,1,0)，C(3,0,0)．

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平面EB1C的法向量m(0,0,1)，设平面A1B1C的法向量为n(x,y,z)， 由nCB13xy0y3x，由nB1A， 1yz0令x1yuuuruuuur3，z3，即n(1,3,3)，

所以cosm,n321， 71721． 7所以二面角EB1CA1的余弦值是19．【答案】（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，E(X)2618，D(X)． 525200(70406030)22.198， 【解析】（1）由列联表可知K13070100100因为2.1982.706，所以没有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关． （2）由题意可知X:B(3,)，X的所有可能取值为0,1,2,3，

252723254033，P(X1)C1， P(X0)C3()()()3512555125336238222，P(X3)C3． P(X2)C3()()3551255125所以X的分布列为

E(X)3262218． ，D(X)3(1)555525x236y21；20．【答案】（1）（2）．

162222【解析】（1）依题意，得b1，将x22y代入(a2)y42y4a0，

2由Δ324(a2)(4a)0，a2，

22x2y21． 所以椭圆的标准方程为2（2）由（1）可得左焦点F(1,0)，由题设直线l的方程为xmy1(m0)， 代入椭圆方程，得(m2)y2my10．

22____________________________________________________________________________________________

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1y2所以x1x2m(y1y2)2设点P(x0,0)，则kPQ2m1，， yy12m22m2242m，的中点为Q(,)， ABm22m22m22m1m，解得， x02(m22)x0m22故S△ABP|x01|12(m21)m212， |PF||y1y2|(y1y2)4y1y22222(m2)222令tm1(t1)，则mt1，且S△ABP2t32， 2221(t1)t3tt23(t3)(t3)(t21)21设f(x)t3(t1)，则f(t)124， 4ttttt所以S△ABP23636，即△ABP的面积的最大值为．

1616163921．【答案】（1）(22ln2,)；（2）证明见解析．

【解析】（1）f(x)e2xk，由f(x)0e2xk， 记g(x)e2x，g(x)e2，

由g(x)0xln2，且xln2时， g(x)0，g(x)单调递减，g(x)(22ln2,)；

xxxxxln2时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)(22ln2,)，

由题意，方程g(x)k有两个不同解，所以k(22ln2,)．

（2）解法一：由（1）知f(x)在区间(,ln2)上存在极大值点x1，且ke12x1，

22所以f(x)的极大值为f(x1)e1x1(e12x1)x1(1x1)e1x1，

xxxx记h(t)(1t)et(t(,ln2))，则h(t)te2tt(2e)，

t因为t(,ln2)，所以2e0，

t2tt所以t0时，h(t)0，h(t)单调递减；t0时，h(t)0，h(t)单调递增， 所以h(t)h(0)1，即函数f(x)的极大值不小于1．

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解法二：由（1）知f(x)在区间(,ln2)上存在极大值点x1，且ke12x1，

22所以f(x)的极大值为f(x1)e1x1(e12x1)x1(1x1)e1x1， 2因为1x10，e11x1，所以f(x1)(1x1)(1x1)x11，

xxxxx即函数f(x)的极大值不小于1．

222．【答案】（1）x2y；（2）b3．

【解析】（1）因为2sincos0，所以2sincos0，

222siny22代入，得2yx0，即x2y．

cosx（2）由xt，得y1bx，

y1bty1bx联立2，消去y，得x22bx20，

x2yΔ(2b)2420，解得b2或b2，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x22b，x1x22．

又|AB|1b2(x1x2)24x1x21b24b284，解得b3． 23．【答案】（1）,7U1,；（2）m2． 【解析】（1）若m1，f(x)|3x1||2x2|，

当x时，f(x)4可化为(3x1)(2x2)4，解得x7； 当131x1时，f(x)4可化为(3x1)(2x2)4，解得x1，无解； 3当x1时，f(x)4可化为(3x1)(2x2)4，解得x1， 综上，不等式f(x)4的解集是,7U1,． （2）因为f(x)|3xm|2|x1|，

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mxm2(x)3m又因为m0，所以f(x)5xm2(x1)，

3xm2(x1)因为f(m2m)20，f(1)m30， 332m,0)，5所以f(x)的图象与x轴围成的△ABC的三个顶点的坐标为A(m2,0)，B(C(m2m,2)， 33所以

S△ABC14(m3)220|AB||yC|2153，解得m2或m8（舍去）．

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