模块4——平面向量的数量积

模块4同步训练——平面向量的数量积

一、知识回顾

1．向量的夹角：

00已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （0180）叫做向量a与b的夹角。

2．两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos．

其中︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影．

3．向量的数量积的性质：

若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则e·a=a·e=︱a︱cos (e为单位向量);

22a⊥ba·b=0x1x2y1y20（a，b为非零向量）;︱a︱=a•ax1y1;

cos=

a•ba•bx1x2y1y2=x12y12x22y22．

4 ．向量的数量积的运算律：

a·b=b·a;(a)·b=(a·b)=a·(b);(a＋b)·c=a·c+b·c．

二、基本训练

A组

1．已知n(a,b),向量nm，且

nm，则m的坐标是 （ ）

A.(b,a)或(b,a) B. (a,b) C. (a,b)或(a,b) D. (b,a)

2．已知a(1,12),b(0,12),cakb,dab，c与d的夹角为4，则k等于 （ ）

1A. 1 B. 2 C.

2

D.－1

3．已知

a2,b5,ab3，则

ab等于 （ ）

A. 23 B. 35 C. 23 D. 35

.（05江西卷）已知向量

a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c2,则a与c的夹角为 （ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

5.（04年重庆卷.文理6）若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72,则向量a的模为（A． 2 B. 4 C. 6 D. 12

6．等腰Rt△ABC中，

ABAC2,则ABBC=

.

）

7．若向量a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，则非零向量a与b的夹角是 ______..

8．已知a(2,3),b(1,2),c(2,1)，试求a(bc)和(ab)c的值.

9．已知a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab，根据下列情况求x：

（1）u//v （2）uv

abab,求a与aba,b10．已知是两个非零向量，且的夹角.

11．已知a(1,2),b(1,1),且a与ab的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.

12．已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式

kab3akb,其中k0

（1） 用k表示ab；

（2） 求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小.

B组

1．

a63,b1,ab9，则a与b的夹角是 （ ）

A. 120 B. 150 C. 60 D. 30

2．已知下列各式：（1）

aa22ab；（2）

a2ba2；（3）(ab)ab222；（4）(ab)a2abb22，其中正

确的有 （ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3．设a,b,c是任意的非零向量，且相互不共线，则（1）(ab)c(ca)b=0；（2）(bc)a(ca)b不与c垂直；（3）（ ）

abab；（4）

(3a2b)(3a2b)9a4b22中，是真命题的有

A. （1）（2） B. （2）（3） C.（3）（4） D. （2）（4）

4．已知

aa,bb,aab与b的夹角是，则

等于 ( )

A.

a2b22abcos B.

a2b22absin

C.

a2b22abcos D.

a2b22absin

5.（05北京卷）若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为( )

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

6．（05浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（）

(A) a⊥e (B) a⊥(a－e) (C) e⊥(a－e) (D) (a＋e)⊥(a－e)

7.（04年全国卷一.文理3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a3b| =（ ）.

A．7 B．10 C．13 D．4

8.（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l别是O′和A′，则OAe，其中=（ ）.

115

43e(,),55点O(0,0)和A(1,2)在的方向向量

l上的射影分

11A．5

B．

C．2 D．－2

9.（04年浙江卷.理14）已知平面上三点A、B、C满足|AB|3,|BC|4,|CA|5, 则ABBCBCCACAAB的值等于 .

10．设O为ABC内一点，OBOCOCOAOAOB，则O是ABC的_______心。

11．已知a(x,2x),b(3x,2),如果a与b的夹角是钝角，则x的取值范围是________________。

12．已知不共线的a,b,c三向量两两所成的角相等，并且及与已知三向量的夹角。

a1,b2,c3，试求向量abc的长度以

13．设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为何整数时，向量mkab与向量nakb的夹角能否等与60，证明你的结论。

14. △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，x(2ac,b),y(cosB,cosC),且xy0

（1）求B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值.

13a(3,1),b(,),22 15．已知平面向量

（1） 证明：ab；

（2） 若存在不同时为零的实数k和t，使xa(t23)b,ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)；

（3） 根据（2）的结论，确定函数kf(t)的单调区间。

参：

基本训练：

A组

1、A 2、A 3、C 4、C 5、C

6、－4 7、60

8、a(bc)＝（－8，－12），(ab)c＝（－16，－8）

179、（1）2 （2）－2或2

10、30

53且0

11、

k21ab(k0)4k12、（1）

1 （2）最小值为2，60

B组

41x3或x0且3

1—8、BBCCC CCD 9、-25 10、垂 11、

x12、3；150，90，30

13、不可能 14、（1）120 15、（1）略 ）、（0，1）

26（2）3

2）kf(t)14t(t23)(t0) 3）递增区间(1,)、（－,1)，递减区间（－

（（1,0