一、单项选择题（本大题共
10小题，每小题
2分，共20分）
0
1．3阶行列式|aij|
101
1
1中元素a21的代数余子式0
A21
（
C
）
11
A．
2
11
10
1．a11a21
）
B．
1
C．1 D．2
A21
2．设矩阵A有（
A
a12a22
，B
a21
a11
a11a22
a12
a12
，P1
01
10
，P2
1011
，则必
A．P1P2A
B110011
B．P2P1A
B1110
a11a21
C．AP1P2
Ba21
a11
a11
D．AP2P1
BB．
P1P2A
01
a11a21
a12a22
a12a22
1
a22
a12
）
a12
3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABCA．AC由ABC
1
1
E，则B（D
B．C
1
1
A
1
C．AC
1
D．CA
E，得CB
1
A
1
E，BCA．
0
4．设3阶矩阵A
100
0
1，则A的秩为（0
C．2
D．3
2
00
B ）
A．0 B．1
0
A
2
100,
2
010,
3
000,
10
00
000
000
1
0，A的秩为1．0
4
2
00
01
5．设
1
4是一个
4维向量组，若已知
3
可以表为
1
,
2
,
3
的线性组合，且表示
法惟一，则向量组A．1
1
1
,
2
,,
4的秩为（C ）
D．4
B．2 C．3
1
,
2
,
3
是
1
,,
2
,,
3
,,
4的极大无关组，,
2
,
3
,4的秩为3．
6．设向量组
123
4线性相关，则向量组中（
A ）
A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设
1
,
2
,
3
是齐次线性方程组
B
Ax）
0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为
该方程组基础解系的是（A．C．只有
1
,,
1
2
,,
2
12
B．D．
3
12
,,
23
,,
31
1212122331
,
2
,
3
1线性无关，可以作为基础解系．
8．若2阶矩阵A相似于矩阵B阵是（A．
C
）
B．
22
03
，E为2阶单位矩阵，则与矩阵EA相似的矩
11
04
B
2
1112
04
0
04
与E
C．
12
04
D．
12
04
B与A相似，则EA相似．
xTAx的规范形为（
042B．z1
2
9．设实对称矩阵
A00
则3元二次型f(x1,x2,x3)2，1z2
2
D ）
A．z1
2
z2
2
z3
2
z3
2
C．z1
2
z2
2
D．z1
2
z2
2
f(x1,x2,x3)
范形为z12
2
2x1
2
4x2
2
4x2x3x3
2
2x1
2
(4x2
2
4x2x3x3)
2
2x1
2
(2x2x3)，规
2
z2．
10．若3阶实对称矩阵A．0
二、填空题（本大题共
A
(aij)是正定矩阵，则A的正惯性指数为（
C．2
D D．3
）
B．1
10小题，每小题
2分，共20分）
a11
11．已知3阶行列式
2a124a226a32
3a136a239a33
a11
6，则a21
a31
a12a22a32
a13a23a33
_______________．
2a213a31
a112a213a31a11a21a31
2a124a226a32a12a22a32
3a136a239a33a13a23a33
16
23
a11a21a31
2a122a222a32
3a133a233a33
2323
a11a21a31
a12a22a32
a13a23a33
6，
．
12．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1,2,3，对应的代数余子式分别为
3,2,1，则
D3D3
_______________．
a21A21
1
a22A22
2
a23A23
2
1(3)2A
E01
(2)2314．
13．设A
10E
(A
，则A
_______________．
A
2
2AE)
2
01
21
21
21
21
．
14．设A为2阶矩阵，将A的第2列的（则A
_______________．
2）倍加到第1列得到矩阵B．若B
13
24
，
将B的第2列的2倍加到第1列可得A
52
114
．
0
15．设3阶矩阵A
023010200
001
12，则A3
300600
020
320001
321021001
010310
100200
300100
320010001001
321011
010
1001/21/31/20
00
，
1
03
_______________．
0
(A,E)
03600
6200
A
1
023001
11
2030621
010
1/21/31/20
00
．
11
16．设向量组
1
(a,1,1)，a11
a2a
T
2
(1,2,1)，100
1a1
T
3
(1,1,2)线性相关，则数3
a
___________．
a11
121
112
133
2a3
63a
0，a
2．
17．已知x1(1,0,1)，x2
Ax
T
(3,4,5)是3元非齐次线性方程组Axb的两个解向量，则对
应齐次线性方程组0有一个非零解向量_______________．
x2
18．设
2
x1
(2,4,6)（或它的非零倍数）．
2阶实对称矩阵
T
A的特征值为
1,2，它们对应的特征向量分别为
1
(1,1)，
T
(1,k)，则数kab2bd
，由A
______________．
设A
1
1bb
即1，
ab1
bd2
111k
11
，
，
abb
bdbk
11
，可得a
1
b，d
1
b；
由A
22
，即
1b1
b
1b
22k
k(1b)k
，可得k1．
19．已知3阶矩阵A的特征值为0,2,3，且矩阵B与A相似，则|BE|_______________．
BE的特征值为1,1,4，|B
f(x1,x2,x3)(x
2
1
E|1(1)x2)
22
2
4
2
4．
_______________．
20．二次型
(x1(x2
22
x3)的矩阵A
x)
23
f(x1,x2,x3)
1A
10
121
2x1x2
x)(x
2x2x3
x
21
2x1x2
2x
22
2x2x3
x，
23
01．1
6小题，每小题
9分，共54分）
三、计算题（本大题共
1
21．已知3阶行列式|aij|
x21
3
0中元素a12的代数余子式A124
8，求元素a21的代数
x5
余子式A21的值．解：由A12
x5
04
4x8，得x
2，所以A21
21
34
(83)5．
22．已知矩阵解：由AX
A
1110
，B
110
2
，矩阵X满足AXBX，求X．
B
A)
1
X，得(E
B
21
11
T
A)X
1
B，于是11
13
T
X(E
11110
2
13
T
131
4
1/311/3
1
T
0
2
212
3
3
．
23．求向量组
1
(1,1,1,3)，(1,3,5,1)，(3,2,1,4)，(2,6,10,2)的一
个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．
1
13211321132解：
132602140214151100641200703
142
0
4580
07011321132110202140214020
4007000100010000
0000
0
0
0
0
0
110210000102010200100010，
0
0
00
0
0
0
0
1
,
2
,
3
是一个极大线性无关组，4
01
2
2
0
3
．
ax1
x2x3024．设3元齐次线性方程组
x1ax2x30，x1
x2
ax3
0
（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．
a
11a21111111解：（1）|A|
1a1a2a1(a
2)1a1(a
2)0a
111
a
a
2
1
a
11
a
0
0
(a
2)(a1)2
，a2或a1时，方程组有非零解；
10a
1
1
（2）a
2时，A
130
230
100
110
210
100
010
10
x1x3
x3
x3，基础x3
00
1，x2
1
解系为
111
1100，00
x1x2x3
x2x2
x3x3
，基础解系为
1，全部解为k1，k为任意实数；1
110
，
101
，全部解为
a1时，A00
1k11
0
k2
1
0，k1,k2为任意实数．12
0113，05
25．设矩阵B34
（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵
和可逆矩阵P，使P
1
BP
．
2
解：（1）|E
010
2
135
6)，特征值
(E
1
2
B|34(
1)(
(1)
241，0：
x3x2
x3
156．
(1)(
2
76)
3
对于
12
1，解齐次线性方程组1
000
134
100
010000
B)xx1
0
，基础解系为p1
EB34
，
x2x3
10
，
1
p2
01
对于
3
；
6，解齐次线性方程组
(EB)x0：
x1
4
E
B
34
050
131
100100
1/43/4，x20
x3
1434
x3
1/4
x3，基础解系为x3
p3
3/4．1
3阶矩阵B有3个线性无关的特征向量，所以B相似于对角阵；
1
1
（2）令
010
00，P6
010x1
2
11/4012x2
2
00
3/4，则P是可逆矩阵，使得1x3
2
PBP．
26．设3元二次型f(x1,x2,x3)二次型化为标准形．
2x1x22x2x3，求正交变换x
Py，将
1
解：二次型的矩阵为
1210
01．1
12
1
111
01011
111
112
011
A10
1
|E
A|
10111
特征值
1
121030
01
1
(1
3)(1)(
3)，
0，
1
2
1，
3
3．
(E010(E010
10(E
A)x10A)xx1
0x30：x3A)x
0：x1x30：x3
，
2
对于
0，解齐次线性方程组1
121
011
100
x3x3，x3
1
1
1，单位化为p11
1/31/3；1/3
EA10
1，x2
对于
2
1，解齐次线性方程组0
11
00
100
101
，单位化为p2
1/0
2
；
EA10
11
0，x2
1/2
对于
3
3，解齐次线性方程组
210
E
A
111100112，
x1x2x32x3，3
12，单位化为
012
00
0
x3
x3
1
1/6
p3
2/6．1/6
1/3
1/21/6
0
00令P
1/302/6，则P是正交矩阵，使得PT
AP
010，经正1/3
1/
2
1/6
0
0
3
交变换xPy后，原二次型化为标准形
f
0y
21
y
222
3y3
．
四、证明题（本题
6分）
27．已知A是n阶矩阵，且满足方程A
2
2A0，证明A的特征值只能是0或
2．
证：设
是A的特征值，则满足方程
2
2
0，只能是
0或
2．
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