高中数学必修2综合测试题及答案

一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列叙述中，正确的是（ ）

时间120分钟 满分150分

（A）因为P,Q，所以PQ （B）因为P，Q，所以=PQ （C）因为AB，CAB，DAB，所以CD

（D）因为AB,AB,所以A()且B() 2．已知直线l的方程为yx1，则该直线l的倾斜角为（ ）．

(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且AB26,则实数x的值是（ ）．

}

(A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2

4.长方体的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是（ ）．

A．32

B．23

C．6

D．6

5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A、a2 B、2a2 C、3a2 D、4a2 6.若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线（ ）

（A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面内的所有直线 （D）不存在 7.已知直线l、m、n与平面、，给出下列四个命题： ①若m∥l ，n∥l ，则m∥n ②若m⊥③若m∥

/

，m∥ ，

， 则 ⊥

⊥ 或m

，n∥ ，则m∥n ④若m⊥ ，则m∥

其中假命题是（ ）

．．．

(A) ① (B) ②

(C) ③

(D) ④

8.在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确的是（ ）．

9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ * ）． ．．．(A)

'

主视图 左视图 53 (B)  (C)  (D) 

424

俯视图 22(x2)(y3)9交于E、F两点，x2y3010.直线与圆

则EOF（O是原点）的面积为（ ）． A．25 B．

3 4 C．

3 2 D．

65 511.已知点A(2,3)、B(3,2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是 （ ）

A、k33133或k4 B、k或kC、4k D、k4 444 4412.若直线ykx42k与曲线y4x2有两个交点，则k的取值范围是（ ）． A．1, B． [1,) C． (,1] D．(,1] 二．填空题（每小题4分，共16分）

13.对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1-2k)y＋1＋5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 ．

14.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是 ．

22:x－3）（y＋4）9，则15．已知圆O1:x2y21与圆O2（3434a ①

y {

圆O1与圆O2的位置关系为 ．

16．如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为

a（如图②），则图①中2C B D O 1 A x 的水面高度为 ． 三．解答题

17．（12分）如图，在OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程。

18．（12分）如图，已知正四棱锥V－ABCD中，

AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC6cm，VC5cm，求

A D1 A

B1 D M

B C1

#V

正四棱锥V-ABCD的体积．

19．（12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1。

[

E [ A F

B

C

20. （12分）已知直线l1：mx-y=0 ，l2：x+my-m-2=0。（Ⅰ）求证：对m∈R，l1与 l2的交点P在一个定圆上；（Ⅱ）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一交点为P2，求当m在实数范围内取值时，⊿PP1P2面积的最大值及对应的m。

21. （12分）如图，在棱长为a的正方体A1B1C1D1ABCD中， （1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，判断l与线A1C1位置关系，并给出证明；（2）证明B1D⊥面A1BC1；（3）求线AC到面A1BC1的距离；（4）若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B,B1两点的坐标。

22．（14分）已知圆O：x2y21和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足PQPA。(1) 求实数a、b间满足的等量关系；(2) 求线段PQ长的最小值；(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径

Q P

0 2 2 y A x 取最小值时圆P的方程。

2参考答案： DBACA BDCCD AB 13. (1,2) 14. 3a 15. 相离

3 OC所在直线的斜率为kOC303. 16. (17)a 17. 解: (1) 点O（0，0），点C（1，3），

2（2）在OABC中，AB//OC, CD⊥AB， CD⊥OC.  CD所在直线的斜率为kCD1CD所在直线方程为y3(x1)，即x3y100.

3101. 318. 解法1：正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，

111ACBD63(cm). 22211ACBD6618(cm2). 22D VM是棱锥的高, MC2222V 且SABCDC

M

~

Rt△VMC中，VMVCMC534(cm).

《

A

1313正四棱锥V－ABCD的体积为SABCDVM18424(cm3).

解法2：正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，

 MC1AC1BD163(cm). 且ABBC2222AC32(cm) . 2SABCDAB2(32)218(cm2).

VM是棱锥的高,

Rt△VMC中，VMVC2MC252324(cm). 正四棱锥V-ABCD的体积为SABCDVM18424(cm3).

131319. （1）证明:连结BD.在长方体AC1中，对角线BD//B1D1. 又 E、F为棱AD、AB的中点， EF//BD. EF//B1D1. 又B1D1

平面CB1D1，EF平面CB1D1， EF∥平面CB1D1.

平面A1B1C1D1， AA1⊥B1D1.

y P （2） 在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1又

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面

CAA1C1. 又 B1D1

平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1． P1 ， P2(2,1) 20. 解：（Ⅰ）l1与 l2分别过定点（0,0）、（2,1），且两

x 两垂直，∴ l1与 l2的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆： x(x2)y(y1)0 即 x2y22xy0

15（Ⅱ）由（1）得P1（0,0）、P2（2,1），∴⊿PP1P2面积的最大值必为2rr．

24、

1P此时OP与P垂直，由此可得m=3或． 12321.解：（1）在面ABCD内过点B作AC的平行线BE，易知BE即为直线l， ∵AC∥A1C1，AC∥l，∴l∥A1C1.

（2）易证A1C1⊥面DBB1D1，∴A1C1⊥B1D，同理可证A1B⊥B1D， 又A1C1A1B=A1，∴B1D⊥面A1BC1.

（3）线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，也就是点B1到面A1BC1的距离，记

3a11为h，在三棱锥B1BA1C1中有VB1BA1C1VBA1B1C1，即SA1BC1hSA1B1C1BB1，∴h.

333（4）C(a,a,0),C1(a,a,a) 22. 解：（1）连OP,PQOPOQ.

222Q为切点，PQOQ，由勾股定理有

2 y A 又由已知PQPA，故PQ2PA2.

@

O 2 x P Q 即：(a2b2)12(a2)2(b1)2.

化简得实数a、b间满足的等量关系为：2ab30. （2）由2ab30，得b2a3.

64PQa2b21a2(2a3)215a212a8=5(a)2.

55故当a6时，PQmin25.即线段PQ长的最小值为5525. 5解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.

∴| PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min =

| 2×2 + 1－3 |25

= 5 . 2 2 + 1 2

（3）设圆P 的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，

R1OPR1.即ROP1且ROP1.

而OPa2b2a2(2a3)25(a)2，故当a6时，OPmin35.

556595此时, b2a33，Rmin351.

55得半径取最小值时圆P的方程为(x6)2(y3)2(351)2．

555解法2： 圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这

些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0. 35

1 = 5 －1.

O r =

3

－2 2 + 1 2

2 y A P0 2 又 l’：x－2y = 0,

6x,63x2y0,5解方程组，得.即P0( 5 ,5 ).

2xy30y35x P l Q ∴ 所求圆方程为(x6)2(y3)2(351)2.

555