大学物理第14章作业题

14 －5 设Ｓ′系以速率v＝0.60c相对于Ｓ系沿xx′轴运动，且在t＝t′＝0时，x ＝x′＝0.(1)若有一事件，在Ｓ系中发生于t＝2.0×10－7ｓ，x＝50m处，该事件在Ｓ′系中发生于何时刻？(2)如有另一事件发生于Ｓ系中t＝3.0×10-7 ｓ，x＝10m处，在Ｓ′系中测得这两个事件的时间间隔为多少？

分析 在相对论中，可用一组时空坐标(x，y，z，t)表示一个事件.因此，本题可直接利用洛伦兹变换把两事件从Ｓ系变换到Ｓ′系中.

解 (1) 由洛伦兹变换可得Ｓ′系的观察者测得第一事件发生的时刻为

vx21ct11.25107s1v2/c2

t1(2) 同理，第二个事件发生的时刻为

vx22ct23.5107s1v2/c2

t2所以，在Ｓ′系中两事件的时间间隔为

t12.25107s Δtt214 －6 设有两个参考系Ｓ 和Ｓ′，它们的原点在t＝0和t′＝0时重合在一起.有一事件，在Ｓ′系中发生在t′＝8.0×10－8 s，x′＝60m，y′＝0，z′＝0处若Ｓ′系相对于Ｓ 系以速率v＝0.6c 沿xx′轴运动，问该事件在Ｓ系中的时空坐标各为多少？

分析 本题可直接由洛伦兹逆变换将该事件从Ｓ′系转换到Ｓ系.

解 由洛伦兹逆变换得该事件在Ｓ 系的时空坐标分别为

xvt1v/c22x93m

y ＝y′＝0 z ＝z′＝0 vx2ct2.5107s1v2/c2

t14 －7 一列火车长0.30km(火车上观察者测得)，以100km·h-1 的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？

分析 首先应确定参考系，如设地面为Ｓ系，火车为Ｓ′系，把两闪电击中火车前后端视为两个事件(即两组不同的时空坐标).地面观察者看到两闪电同时击中，即两闪电在Ｓ系中的时间间隔Δt＝t2－t1＝0.火车的长度是相对火车静止的观察者测得的长度(注：物体长度在不指明观察者的情况下，均指相对其静止参考系测得的长度)，即两事件在Ｓ′系中的空间间隔Δx′＝x′2 －x′1＝0.30×103m.Ｓ′系相对Ｓ系的速度即为火车速度(对初学者来说，完成上述基本分析是十分必要的).由洛伦兹变换可得两事件时间间隔之间的关系式为

t2t1t1t2vx1x22c1v2/c2 (1)

t1t2t2t1vx2x12c1v2/c2 (2)

将已知条件代入式(1)可直接解得结果.也可利用式(2)求解，此时应注意，式中x2x1为地面观察者测得两事件的空间间隔，即Ｓ系中测得的火车长度，而不是火车原长.根据相对

22xxxx1v/c2121论， 运动物体(火车)有长度收缩效应，即.考虑这一关系方可利用式

(2)求解.

解1 根据分析，由式(1)可得火车(Ｓ′系)上的观察者测得两闪电击中火车前后端的时间间隔为

v14xx9.26s212c

t1t2负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x′2 处.

22xxxx1v/c2121解2 根据分析，把关系式 代入式(2)亦可得

x1＝0.30km与解1 相同的结果.相比之下解1 较简便，这是因为解1中直接利用了x2这一已知条件.

14 －8 在惯性系Ｓ中，某事件A发生在x1处，经过2.0 ×10－6ｓ后，另一事件B发生在x2处，已知x2－x1＝300m.问：(1) 能否找到一个相对Ｓ系作匀速直线运动的参考系Ｓ′，

在Ｓ′系中，两事件发生在同一地点？(2) 在Ｓ′系中，上述两事件的时间间隔为多少？

分析 在相对论中，从不同惯性系测得两事件的空间间隔和时间间隔有可能是不同的.它与两惯性系之间的相对速度有关.设惯性系Ｓ′以速度v 相对Ｓ 系沿x 轴正向运动，因在Ｓ 系中两事件的时空坐标已知，由洛伦兹时空变换式，可得

x1x2x2x1vt2t11v2/c2 (1)

t1t2t2t1v2x2x1c1v2/c2 (2)

两事件在Ｓ′系中发生在同一地点，即x′2－x′1＝0，代入式(1)可求出v 值以此作匀速直线运动的Ｓ′系，即为所寻找的参考系.然后由式(2)可得两事件在Ｓ′系中的时间间隔.对于本题第二问，也可从相对论时间延缓效应来分析.因为如果两事件在Ｓ′系中发生在同一地点，

22则Δt′为固有时间间隔(原时)，由时间延缓效应关系式ΔtΔt1v/c可直接求得结果.

解 (1) 令x′2－x′1＝0，由式(1)可得

x2x11.50108ms-10.50ct2t1v

(2) 将v值代入式(2)，可得

t1t2t2t1v2x2x1c1v2/c2t2t11v2/c21.73106s

这表明在Ｓ′系中事件A先发生.

14 －9 设在正负电子对撞机中，电子和正电子以速度0.90c 相向飞行，它们之间的相对速度为多少？

分析 设对撞机为Ｓ系，沿x 轴正向飞行的正电子为Ｓ′系.Ｓ′系相对Ｓ系的速度v＝0.90c，则另一电子相对Ｓ系速度ux＝－0.90c，该电子相对Ｓ′系(即沿x轴正向飞行的电子)的速度u′x即为题中所求的相对速度.在明确题目所述已知条件及所求量的物理含义后，即可利用洛伦兹速度变换式进行求解.

解 按分析中所选参考系，电子相对Ｓ′系的速度为

uxux0.994cv12uxc

ux式中负号表示该电子沿x′轴负向飞行，正好与正电子相向飞行.

讨论 若按照伽利略速度变换，它们之间的相对速度为多少？

14 －11 设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2×108m·ｓ-1 i.同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0×108m·ｓ-1 i.问：(1) 此火箭相对宇航飞船的速度为多少？ (2) 如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？ 请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度.

分析 该题仍是相对论速度变换问题.(2)中用激光束来替代火箭，其区别在于激光束是

以光速c相对航天器运动，因此其速度变换结果应该与光速不变原理相一致.

解 设宇航飞船为Ｓ系， 航天器为Ｓ′系， 则Ｓ′系相对Ｓ系的速度

v＝1.2 ×108m·ｓ－1 ，空间火箭相对航天器的速度为u′x＝1.0×108m·ｓ－1，激光束

相对航天器的速度为光速c.由洛伦兹变换可得：

(1) 空间火箭相对Ｓ 系的速度为

uxv1.94108ms-1v12uxc

ux(2) 激光束相对Ｓ 系的速度为

cvcv12cc

ux即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的.如用伽利略变换，则有ux＝c ＋v ＞c.这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度.

14 －16 有一固有长度为l0 的棒在Ｓ 系中沿x 轴放置，并以速率u 沿xx′轴运动.若有一Ｓ′系以速率v 相对Ｓ 系沿xx′轴运动，试问从Ｓ′系测得此棒的长度为多少？

分析 当棒相对观察者(为Ｓ′系)存在相对运动时，观察者测得棒的长度要比棒的固有

2/c2ll1u0长度l0 短，即.式中u′是棒相对观察者的速度，而不要误认为一定是Ｓ′系和

Ｓ 系之间的相对速度v.在本题中，棒并非静止于Ｓ系，因而Ｓ′系与Ｓ 系之间的相对速度v 并不是棒与Ｓ′系之间的相对速度u′.所以本题应首先根据洛伦兹速度变换式求u′，再代入长度收缩公式求l.

解 根据分析，有

uvuv12c (1)

ull01u2/c2 (2)

解上述两式，可得

l02222cucvc2uvl1/2

14 －18 一固有长度为4.0 m 的物体，若以速率0.60c 沿x 轴相对某惯性系运动，试问从该惯性系来测量，此物体的长度为多少？

解 由洛伦兹长度收缩公式

ll01v2/c23.2m

14 －20 若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率.

分析 粒子静能E0 是指粒子在相对静止的参考系中的能量，

E0m0c2，式中为粒子在

相对静止的参考系中的质量.就确定粒子来说，E0 和m0均为常数(对于电子，有m0 ＝9.1 ×10－31ｋｇ，E0＝0.512 MeV).本题中由于电子总能量E ＞E0 ，因此，该电子相对观察者所在的参考系还应具有动能，也就具有相应的动量和速率.由相对论动能定义、动量与能量关系式以及质能关系式，即可解出结果.

解 电子静能为

E0m0c20.512MeV

电子动能为 EK ＝E－E0 ＝4.488 MeV

E2p2c2E02由，得电子动量为

122EE0cp1/22.661021kgms-1

v2EE01c2由

1/2可得电子速率为

E2E02vcE21/20.995c

14 －21 一被加速器加速的电子，其能量为3.00 ×109eV.试问：(1) 这个电子的质量是其静质量的多少倍？ (2) 这个电子的速率为多少？

2E0m0c2Emc解 (1) 由相对论质能关系和可得电子的动质量m 与静质量m0之比

为

mEE5.861032m0E0m0c

v2mm01c2(2) 由相对论质速关系式

1/2可解得

m02v1m1/2c0.999999985c

可见此时的电子速率已十分接近光速了.

14 －22 在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射.假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E.

分析 在相对论中，粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律，因此辐射总能量应等于电子偶湮没前两电子总能之和.按题意电子偶湮没前的总能只是它们的静能之和.

解 由分析可知，辐射总能量为

E2m0c21.641013J1.02MeV

14 －23 若把能量0.50 ×106 eV给予电子，让电子垂直于磁场运动，其运动径迹是半径为2.0cm 的圆.问：(1) 该磁场的磁感强度B 有多大？ (2) 这电子的动质量为静质量的多少倍？

分析 (1) 电子在匀强磁场中作匀速圆周运动时，其向心力为洛伦兹力F ＝evB，在轨道半径R 确定时，B＝B (p)，即磁感强度是电子动量的函数.又由相对论的动能公式和动量

与能量的关系可知电子动量p ＝p(E0 ,EK)，题中给予电子的能量即电子的动能EK ，在电子静能

Em0c2已知的情况下，由上述关系可解得结果.

(2) 由相对论的质能关系可得动质量和静质量之比.本题中电子的动能EK ＝0.50 MeV 与静能E0＝0.512 MeV 接近，已不能用经典力学的方法计算电子的动量或速度，而必须用相对论力学.事实上当EK ＝0.50 E0 时，用经典力学处理已出现不可忽略的误差.

解 (1) 根据分析，有

E ＝E0 +EK E2E220pc2 v2evBmR 联立求解上述三式，可得

0BEk2E0EkeRc

(2) 由相对论质能关系，可得

mE1EkmE1.980E00

本题也可以先求得电子速率v 和电子动质量m，但求解过程较繁.

(1)

(2)

(3)