分数应用题思维训练系列

分数应用题思维拓展训练

—1.量率对应

教练笔记：

分数、百分数应用题一般有三种类型：1.求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）。2.求一个数的几分之几（百分之几）是多少。3.已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。在解答分数和百分数应用题时，首先要弄清“1”，其次要分析具体数量与单位“1”之间的关系。再根据具体数量和实际分率的对应关系，求得所求问题。

热身演练：

33

1.发电厂去年计划发电70万千瓦时，结果上半年完成计划的 ，下半年完成计划的 ，去年超额

75发电多少万千瓦时？

3

2.张明看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的 没有看，这本故事书共有多少页？

8

43

3.王师傅计划做一批零件，第一天做了计划的 ，第二天又做了余下的 ，这时还剩下42个零件

75没做，王师傅计划做多少个零件？

11

4.一篓苹果分给甲、乙、丙3人，甲分得全部苹果的 加5个苹果，乙分得全部苹果的 加7个苹

1

11

果，丙分得其余苹果的 ，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的 ，这篓苹果有多少个？

28

1

5.有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的 ，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好相等。

4原来红球和黄球各有多少个？

战术归纳：

解答分数应用题，首先要确定单位“1”,在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数（分率）相对应，这种对应关系叫量率对应，这是解答分数应用题的关键。

求一个数的几分之几是多少时，应用的关系式为：单位“1”×分率=对应数量

已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，应用的关系式为：对应数量÷对应分率=单位“1”

小试身手：

3

1.某小学学生中 是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？

8

2

2.甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的 还多5.5千克，乙正好买了其中的一半，问这筐西瓜共

5多少千克？

131

3.一瓶油第一次吃去 ，第二次吃去余下的 ，这时瓶内还有 千克，这瓶油原来有多和千克？

5

2

4.水泥公司生产的水泥存放在两个仓库里，第一仓库存水泥占56%，如果从第一仓库调6吨到第二仓库，这时两个仓库存放水泥相等，求两个仓库共存水泥多少吨？

2

5.食堂有一批大米，用去总重量的 后，又运进260千克，现存在米比原来还多20%，现在存大

3米多少千克？

44

6.新民小学男生比全校学生总数的 少25人，女生比全校学生总数的 多15人，求全校总人数？

79

7.某小学六年级选出男生的 和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生人数的2倍。已11知这个学校六年级学生共有156人，男女生各有多少人？

1

3

8.某校四、五、六三个年级，已知五年级人数占三个年级总人数的25%，六年级人数是四年级的 ，

4五年经比四年级少40人，问四、五、六三个年级共有学生多少人?

分数应用题思维拓展训练

—2.统一单位“1”

教练笔记：

分数应用题中常常有几个不同的单位“1”，解答时一般都要经过分析，转化成统一的单位“1”，才能解答。

3

热身演练：

11

1.甲、乙两数之和是180，甲数的 等于乙数的 ，甲、乙两数各是多少？

45

31

2.文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的 与钢笔的 支数相同，文具店共运来多

72少支笔？

11

3.甲、乙、丙三人到银行存款，甲存入的款数比乙多 ，乙存入的款数比丙多 ，问甲存入的款数

55比丙多几分之几？

4.四个孩子合买一只60元的小船。第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半。第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的三分之一，第三个孩子付的钱数是其他孩子付的总钱数的四分之一，第四个孩子付了多少钱？

1

5.兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的 ，老四修

31

了另外三人总数的 ，老四修了91米，问这条路长多米？

4

战术归纳：

转化为统一的单位“1”时应注意：

1.认真审题，弄清有哪几个单位“1”的量；2.仔细分析，把其中一个量确定为不变的单位“1”，

4

弄清其他几个量与单位“1”的关系，即相当于单位“1”的几分之几（百分之几）3.寻找或转换具体数量与具体数量对应分率之间的关系，再正确解答。

小试身手：

1

1.甲乙两数相差30，其中甲数的 与乙数的 相等，求这两个数的和是多少？

103

3

3

2.甲乙丙三人合作生产一批零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产零件数量的 相等，又等于丙

53

生产的零件数量的 ，已知乙比丙多生产50个零件，问这批零件共有多少个？

4

11

3.一桶油，第一次取出12千克，第二次取出剩下的 ，第三次取出全桶油的 ，正好取完，第二

52次取出多少千克？

22

4.一批面粉分给三个厂，甲厂分得这批面粉的 ，乙厂分得余下的 ，最后丙厂分得14.4吨，这

55批面粉重多少吨？

12

5.两袋大米，第二袋比第一袋重15千克，已知第一袋大米重量的 恰好与第二袋大米重量的 相

37等，两袋大米各重多少千克？

2

6.某工厂的甲乙丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的 ，乙车间捐款数

3

5

3

是另外两个车间捐款数的 ，已知丙车间捐款数为180元，这三个车间共捐多少元？

5

113

7.小明共用三周的时间读完一本书，第一周读了全书的 多6页，第二周读了全书的 ，第三周

4243

读的页数是第一周的 。这本书有多少页?

4

13

8.甲、乙两仓库共存粮950吨，如果从甲仓库取出 放入乙仓库，这时乙仓库存粮的 正好是甲仓

452

库存粮的 ，甲、乙仓库原来各存粮多少吨？

3

11

9.把一堆皮球分装在四个盒子，其中 放入甲盒， 放入乙盒，放入丙盒的皮球是甲乙两盒皮球总

数的75%，丁盒放入10个皮球，这堆皮球一共有多少个？

10.某学校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级多10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级学生人数。

11

11.甲乙两人各有钱若干，已知甲的钱数是乙的4倍，当甲花去 后，又花去余下的 ，如果这时

33甲给乙7元钱，甲乙两人的钱数正好相等，求甲原来有多少元？

512

12.高中学生的人数是初中学生人数的 ，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的 ，高、初中毕

617业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高初中毕业生共有多少人？

6

分数应用题思维拓展训练

—3.分数还原

教练笔记：

有些分数应用题如采用通常的方法，按着题目的条件一步一步地列式解答，既繁琐又困难，这时我们可以从最后的结果出发，从后往前一步一步倒着来推算，这类应用题就是分数还原应用题。

热身演练：

1.工厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的20%，乙车间加工余下的25%，丙车间加工再余下的40%，还剩下的3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？

11

2．3只猴子吃篮子里的桃，第一只猴子吃了 ，第二只猴子吃了剩下的 ，第三只猴子吃了第二

331

只猴子吃过后剩下的 ，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮子里原有桃子多少只？

4

11

3．小明妈妈买来一篮鸡蛋，小明家第一天吃了鸡蛋总数的 ，第二天吃了余下的 ，第三、四天

7411

都吃了第二天余下的鸡蛋数的 ，第五天吃了余下的 ，第六天吃了余下的最后3个鸡蛋，小明妈妈共

32买了多少个鸡蛋？

111

4．修一段路，第一天修这条路的 还多2千米，第二天修余下的 少1千米，第三天修余下的 234

7

还多1千米，这样还剩下20千米没有修完，求公路的全长。

战术归纳：

能运用分数还原方法解答的应用题，基本含有下列特征：1.已知的具体数量是最后的结果，把原来的总数确定为单位“1”。2.每一次变化都以上一次（或上上一次）所余下的为基准数目来进行变化。3.一般所求的是最初（原来）的总数。

解答时我们通常采用倒推（还原）法一步一步从后往前推算，有时还可结合线段、图表来弄清数量之间的关系。

小试身手：

1

1.一杯盐水,第一次倒出 ,第二次倒出5升,第三次倒出剩下的 ,第四次加入4升,这时杯中有盐

39

1

水12升,原有盐水多少升?

111

2.有一筐桔子，小明和弟弟第一天吃了 ，第二天吃了余下的 ，第三天又吃了余下的 ，筐

333

里还有8个，原来筐里有多少个桔子？

3

3.王老师从甲地到乙地，先乘火车，所行路程比全程的 多40千米，接着乘汽车，所行路程比余

814

下路程的 少25千米，再接着乘轮船，航行的路程比剩下的 还多30千米，最后剩5千米步行，求

35

8

甲乙两地的路程。

11

4.小红3天做完老师布置的作业。第一天做完全部习题的 ，第二天做完余下的 ，又做了3道题；

323

第三天上午做余下习题的 ，下午做了一道题，这样全都做完，问老师共布置多少道题？

4

11

5.一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的 ，第二天它吃了余下桃子的 ，第三天它吃

761111

了余下桃子的 ，第四天吃了余下桃子的 ，第五天它吃了余下桃子的 ，第六天它吃了余下桃子的 ，

32这时还剩下12只桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是多少？

6．工厂运来一批煤，1月份烧去全部的三分之二 少1吨，2月份烧去余下的五分之二 多1吨，这时还剩4吨，这批煤共有多少吨？

7．张村运来一堆煤，第一次用去5吨，第二次用去剩下的 ，第三次又用去剩下的 ，最后还

1110剩45吨，这堆煤共有多少吨？

11

1

8.某人拿了一筐桔子到集市上出售.第一个人尝了一个后,买余下的 ,第二个人也尝了一个后,再买余

31

下的 ;第三个人买了余下的二分之一个,这时筐里还剩18个,原来筐里有桔子多少个?

3

9.建筑工人铺地砖,第一天用去的砖比总砖数的3分之1 少25块,第二天用去第一天剩下的3分之1多24块,第三天用去第二天剩下的3分之1多33块,最后还剩下19块,问开始一共有多少块?

9

分数应用题思维拓展训练

—4.抓不变量解题

教练笔记：

分数应用题的单位“1”通常以不变的量来确立的，只要我们能寻找“不变量”，以静制动，问题就能迎刃而解，把不变量作突破口，来转化单位“1”，要注意区分不同情况，灵活运用所学的知识，正确解答。

热身演练：

5

1.有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的 ，如果从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，甲

74

粮库存粮的吨数就是乙粮库的 。原来甲乙粮库各存粮多少吨？

5

1

2.小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的 ，晚饭后，她又看了8页，这时已看的页数

71

是未看的 ，这本小说有多少页?

6

3

3.光明小学六年级学生中女生占 ，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的 ，六

125年级原来有学生多少人？

7

10

43

4.五年级有学生人，其中女生占 ，后来又转进若干名女生，这时女生占 ，问转来女生多少

95人？

5.有两根铁丝，第一根长24分米，第二根长30分米，两根铁丝都剪去同样长的一段后，第一根剩5

下的长度是第二根剩下长度的 ，剪下的一段有多长？

8

战术归纳：

不变量的寻找不是难事，只要前后比较，仔细识别就易确立，一般情况下有两类：

1.把总数量确立为不变量时，通常要理清含有具体数量或具体数量增减部分量、前后分别相当于总数量的几分之几，进而求出总数量。

2.把部分量确立为不变量时，通常要理清含有具体数量的另一部分量前后分别相当于单位“1”的几分之几，或是总数量前后分别相当于这一部分量的几倍，进而求出单位“1”。

此类题目解答求出单位“1”后不一定就是求出所求问题，还应仔细看清题意，正确计算。

小试身手：

1

1.煤气收款员到一幢楼收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的 ，如果少

81

收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的 ，这幢楼有多少户？

6

11

2.甲的书的本数是乙的 ，甲给乙6本书后，甲的书的本数是乙的 ，甲原有书多少本？

45

33

13

3.一包糖，奶糖占总块数的 ，放入18块水果糖后，奶糖占总块数的 ，奶糖有多少块？

35

2

4.甲乙二人共同生产一批零件，甲生产的是乙的1 倍，如果甲把自己生产的零件给乙55个，甲生

33

产的是乙的 ，甲乙两人各生产多少个零件？

4

3

5.甲乙两人去看电影，一张电影票价是甲所有钱的 ，是乙所有钱的 ，当他们各自买了电影票

255后，甲剩下的钱比乙剩下的钱多3元，甲乙两人买电影票前各有多少钱？

6

11

6.一杯盐水，盐占盐水的 ，再加16克盐后，盐占盐水的 ，原来盐水多少千克？

4

7.六年级一班召开班会。一个男生上台向老师报告：“台下男生人数是女生人数的 。”男生下台后，

57

一位女生上台说：“台下男生人数只有女生的 。”六年级一班共有多少人？

8

32

8.乙队原有的人数是甲队的 。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的 。甲乙两队原

73来各有多少人？

12

33

9.粮站原有大米占粮食总量的 ，卖出24吨大米后剩下大米占所剩粮食总量的 。问这个粮站原

45来共有粮食多少吨？

55

10.合唱队中男生占女生人数的 ，后来又增加3个女生，男生人数占合唱队总人数的 .合唱队

612现有男生各多少人？

分数应用题思维拓展训练

—5.假设法解题

教练笔记：

假设法是一种巧妙的解题方法，它是通过假设分率或数量相同，再寻找实际与假设之间的差距，从而理清数量关系来解题的一种方法。

热身演练：

25

1.有两块地共72公顷，第一块地的 与第二块地的 种西红柿，两块地余下的共39公顷种茄子，

59问第一块地是多少公顷？

11

2.姐妹俩养兔100只，姐姐养的 比妹妹养的 多16只，求姐姐妹妹各养了多少只？

310

3.某车间两个生产小组计划生产680个零件，实际两个小组共生产了798个零件，甲组生产的零件

13

数比本组的任务多生产了 ，乙组生产的零件数仅比本组任务多生产了 ，两个小组原来的任务各是

520多少个？

13

4.甲乙丙三所小学共有学生2900人，如果甲校学生减少 ，乙校增加14人，则三校学生人数相

11等，甲乙丙三所学校各有学生多少人？

1

5.甲乙两人合作清理400米环形跑道，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初甲清理的1

速度比乙快 ，中途乙曾用10分钟去换取工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，

3经过1小时，完成清理工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换取工具后又工作了多长时间？

战术归纳：

假设法解题时，一般题中要求两个以上的未知数量，解题时往往通过假设某种数量或分率是相等的，由此发生了与题目中的条件的不同差异，在这种差异中隐含了一个量率对应的数量之间的，通过这一数量关系可求出其中一个未知数量，进而求出问题，得出答案。

小试身手：

531.某校共有75人参加数学邀请赛，已知获奖人数的 与未获奖人数的 共有55人，求该校获奖人

74数。

11

2.甲乙两个容器共有药水2000克，从甲中取出 ，从乙中取出 ，结果两个容器里共剩下1400

34

14

克药水，问两个容器原来各有多少克药水？

3.纯金放在水中重量减轻

，纯银放在水中重量减轻了 ，现有一顶金、银合成的皇冠重8401910

11

克，放入水中减轻了48克，求皇冠的含金量。

53

4.甲乙两人共做了184个零件，其中甲做的 与乙做的 共123个，问甲乙两人各做了多少个零

84件？

5.甲乙两数之和为10，如果甲数增加它的10%，乙数增加它的15%，那么甲乙两数之和比原来的和增加12.6%，甲乙两数原来各是多少？

2

6.学校图书室有文艺书、科技书、连环画共1880本，文艺书借出 ，科技书借出50本，又买来

0本连环画，这时三种书的本数相等，原来三种书各有多少本？

7.某人从甲地到乙地需坐火车，从乙地到丙地需坐轮船，原来从甲地到丙地需要250元的交通费，现由于火车票上涨10%，轮船票上涨20%，结果从甲地到丙地共花去280元，火车票现在要用多少元？

11

8.长方形的周长是100厘米，如果长增加 ，宽 ，那么周长增加30厘米，长方形原来的面积是

34多少？

9.一项工程，甲独做要75天，乙独做要50天，现在两人合做，甲中途有事离开几天，结果整个工程40天才完工，甲中途离开几天？

15

10.某体育商店，从批发部购进100个足球和80个篮球，共花去2800元，在商店零售时，每个足球加价

，每个篮球加价 ，这样全部卖完后，共收入3020元，原来一个足球和一个篮球各多少元？ 20101

1

11.一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合作这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？

分数应用题思维拓展训练

—6.代数法解题

教练笔记：

有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较难，甚至无法列出算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

热身演练：

1.某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零4

件只有 合格，两种零件合格的共有42个，两种零件各生产了多少个？

5

11

2.阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少 ，女生减少 ，剩下的男女生人数

46相等，原来一共有多少名学生在阅览书？

16

11

3.甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的 比乙校参加人数的 少1人，甲乙两校各有多

少人？

11

4.现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的 ，而九年前弟弟的年龄只是哥哥的 ，今年哥哥多少岁？

25

5. 甲书架上的书是乙书架的 ，两个书架上各借出1本后，甲书架上的书是乙书架上的 ，甲

67乙两书架上原有书各多少本？

小试身手：

2

1.有两盒球，第一盒比第二盒多15只，第二盒中全部是红球，第一盒中 是红球，已知红球一共

5有69个，两盒球共有多少个？

53

2.甲乙两个书架原来共有900本书，将甲书架上的书上增加 ，乙书架上的书增加 ，这样，两

810个书架上的书就一样多，原来甲乙两个书架各有图书多少本？

24

3.某校有学生465人，其中女生的 比男生的 少20人，男女生各多少人？

35

2

4.原来学校书法组的人数是美术组的 ，这学期书法组和美术组各增加了5人，现在书法组的人数

35

是美术组的 ，原来书法组和美术组各多少人？

7

17

15

5.今年小红的年龄是爸爸年龄的 ，4年后，小红的年龄是爸爸年龄的 ，小红、爸爸今年各我少

416岁?

分数应用题思维拓展训练

—7.设数法解题

教练笔记：

我们在解题时常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法解答，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中的“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设这个数要尽量方便计算），然后求出解答。

热身演练：

1

1.足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加 ，问一张门票降价多少元？

5

3

2.某班一次考试，平均分70分，其中 及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平均

4分是多少？

3.五年级三个班的人数相等，一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生人数是全部男生2

人数的 ，全部女生人数占全年级人数的几分之几?

5

18

1

4.某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多 ，女孩平均身高比男孩高10%，

5这个班男孩平均身高是多少？

5.一个长方形每边增加10%，那么它的周长增加百分之几？面积增加百分之几?

19