基于Abel变换的图像重建自适应方法

2017年8月（435-445） CT理论与应用研究

CT Theory and Applications Vol.26, No.4 Aug., 2017 杜健鹏, 梁海霞, 魏素花. 基于Abel变换的图像重建自适应方法[J]. CT理论与应用研究, 2017, 26(4): 435-445. doi:10.15953/j.1004-4140.2017.26.04.05.

Du JP, Liang HX, Wei SH. Abel transformation based adaptive regularization approach for image reconstruction[J]. CT Theory and Applications, 2017, 26(4): 435-445. (in Chinese). doi:10.15953/j.1004-4140.2017.26.04.05.

基于Abel变换的图像重建自适应方法

杜健鹏1，梁海霞2，魏素花3

1.中国工程物理研究院研究生部，北京100088

2.西安交通-利物浦大学数学中心，江苏 苏州215123 3.北京应用物理与计算数学研究所，北京100088

摘要：本文论述了利用轴对称物体的单幅投影信息进行密度重建的一种自适应正则化模型。所提模型基于全变分正则项与高阶全变分正则项的联合使用，主要的优点是在保持清晰的界面及恢复平稳变化区域的同时减弱了阶梯效应。并且使用自适应方法，提高了效果的同时简化了所使用的参数。对于其中涉及的最优化问题，我们采用增广拉格朗日方法来解。数值结果表明，这一模型提高了关于密度界面位置及密度值的准确度，具有较好的抗噪性。

关键词：层析成像；自适应；高阶全变分正则化模型；增广拉格朗日方法；Abel逆变换 doi:10.15953/j.1004-4140.2017.26.04.05 中图分类号：O242；TP391.41 文献标志码：A

X射线透射成像技术不仅广泛应用于医学、工业、地球物理等领域，而且在核物理研究中，这一技术也是校验内爆压缩后期数值模拟程序的唯一实验手段。

在内爆压缩的过程中，物质的密度和构型都会发生变化。利用高能X射线的强穿透能力得到三维物体的二维投影，利用投影信息可以重构被探测物体的内部结构。投影信息的强度与射线穿过的物质材料、密度、厚度有关，它正比于密度沿射线路径的积分量，此积分量被称为面密度。由面密度重构物体内部信息的数学问题即Radon变换的反演问题。当物体具有轴对称性时，对应Abel变换的反演问题。Abel变换是Radon变换的一维情形。

[3]

就反演方法而言，Radon变换反演主要使用迭代方法，如滤波反投影方法，因为它有大量的投影数据。对于轴对称物体，Abel变换反演的图像重建方法主要有基于变换的反演

[4][5][6－7]

技术、基于统计理论的贝叶斯方法以及基于正则化技术的变分方法。近10年，随着图像处理技术的发展，基于变分模型的图像重建方法凸显出优势，特别是在处理含有模糊

[8]

和噪声的投影数据时更凸显出优势。

[9]

自Osher等发现全变分（total variation，TV）正则化技术在图像去噪中的作用以来，全变分方法在图像处理有关的众多问题中得到广泛应用。TV有明显的保持图像边界的优点，但也有在光滑区域产生“阶梯效应”的缺点。为此，保留TV优点同时克服其缺点的

[10－12]

各种变分模型出现了。这些模型都较TV正则化有明显的改进效果，主要采用各种自适

[10][12]

应技术自动化恢复图像，如线性组合的自适应技术、分数阶导数自适应技术等。Chan 收稿日期：2016-12-13。

基金项目：国家自然科学基金（11571003）；江苏省自然科学基金青年项目（BK20150373）。

[1－2]

436

[8]

CT理论与应用研究 26卷

等将TV和Laplace二阶全变分联合应用于图像重建中，取得了较好的重建效果。但由于使用了两个正则项，出现了两个的正则化参数，为参数选取增加了困难，本文在文献[8]基础上发展一种自适应技术，根据图像特征自动控制每个正则项的权重，简化参数选取，提高重建精度。

1 问题描述

本文的目的是利用轴对称物体的单幅投影信息进行密度重建，在我们的实验设定中，假定物体是轴对称的，X光源为点光源，成锥形束对物体透射成像，主光轴的方向垂直于物体对称轴。实验中，X光照射源与目标物体的距离相比于物体本身的尺寸来说足够大，所以对于不同的目标物体层面来说，各层的X射线可以视为是平行的。物体各层在接收端上的投影对应一条直线。由于轴对称性，每一层的密度分布是依赖于半径的一维函数，Radon变换退化成了Abel变换，每一层可通过Abel变换的逆变换来进行密度重建，并且层与层之间的重建过程是相互的，于是物体的密度分布就可以逐层地重建出来。

（a）实验过程示意图

图1 实验过程

Fig.1 Experiment process

（b）横截面示意图

这一实验过程如图1（a）所示，物体的对称轴被定义为z轴。对于每一层，其过程如图1（b）所示。穿过物体的辐射量由接收端上的信号进行测定。由于物体是轴对称的，所以在每一层，物体的密度函数都是关于半径r的一维函数，记作(r)。已知X光能量的减弱量与物体密度函数沿着穿过物体的X光路径上的线积分值成正比。实验中，X光能量的减弱量可以通过接收端的信号强度d(y)得知，那么沿每条X光路径的积分量就可以表示为：

rdldy （1）

其中y表示X光路径在接收端上对应的坐标，不同的X光路径对应不同的坐标。设a(y)为层面中心到相应X光路径的距离，那么半径r、路径长度l与距离a(y)之间的关系就是：

l2r2a(y)2 （2）

代入关系式（1），得：

R2|a(y)|r(r)ra(y)22drdy （3）

4期 杜健鹏等：基于Abel变换的图像重建自适应方法 437

这就是关于ρ的Abel变换。

通过（3）式求解(y)涉及求解Abel逆变换。这个反问题是病态的，使得相应的离散

mn问题也是病态的。在离散形式中，Abel变换对应一个矩阵A，这个矩阵被叫做投影矩阵，物体的密度函数和接收端信号可以写成向量n以及dm。这里m是由接收端

上的接收点数确定的，n是物体半径的离散点个数，二者相互。（3）式的离散形式就是：

A= d （4）

针对如何得到投影矩阵A，假设物体大小被包围在[0,R]的范围内，即rR时，

r0。将[0,R]划分为n等份，每份步长为Rn，rjjRn，于是ρ就是一个n维向量，j(rj)，其中j1,2,,n。L1和L2分别表示光源到物体和物体到接收端的距离，

在接收端上取H,H作为投影数据区间，其中HL1L2RL1以确保投影数据覆盖全部物体。将投影数据区间2(m1)等分，则投影区间的步长为hH(m1)，相应分点坐标yiHi1h，其中i1,2,,2m1。由于物体轴对称，所以只需考虑一半的投影数据，即考虑0,H之间的投影数据，于是d就是一个m维向量，did(yi)，其中

rj1之间的距离对应投影矩阵Arj与 yi的射线在圆环 i1,2,,m。连接光源与投影点 中元素A(i,j)的大小。

考虑到获取数据的过程会产生噪声，我们讨论如下观测模型：

dAn （5）

其中nn是代表高斯型白噪声。求解上述问题的难点在于病态的条件数，使得d中微小的振荡也会引起ρ的大幅度变化。然而在实际中，数据测量以及噪声等影响不可避免地会

[13]

引起d中的误差。基于Tikhonov等的研究工作，提出了一系列求解反问题的正则化

[6－8，14]

方法。这些方法都是寻找如下形式能量泛函的最优解：

12minRAd2 （6）

2其中R是限定解的范围的正则项，Ad2是数据保真项，μ是平衡这两项之间的正则化参数。正则化函数的选取是关键，需要依据所求问题的先验信息来确定。

TV正则项的保边界性及良好的抑制噪声效果，使其广泛应用于各种图像处理问题，尤

[9]

其是对间断较多的情形。Asaki等将TV正则技术法用于Abel逆变换，针对平行光情形做

[6－7，14][15]

了一系列研究，Abraham等针对二值轴对称物体的层析重建进行了正则化研究。由

[16]

于TV正则化方法会产生“阶梯效应”，Lysaker等提出将含有二阶导数的正则项用于图像去噪问题，一定程度缓解了“阶梯效应”；Chan等提出联合使用TV与二阶项的两项正则化

[8]

模型求解Abel逆变换问题，得到了不错的效果，但却增加了正则化参数选取的困难。由于正则化参数的选取是影响求解精度的一个重要因素，本文试图在文献[8]的基础上，研究正则化项的自适应选取，从而减少正则化参数个数。

22 自适应正则化模型

在本文所讨论的问题中，已知物体由不同密度的不同物质组成，因此密度函数既有光滑区域（同一物质内部），又有间断（不同物质之间），单纯使用TV正则项或者单纯使用二

438 CT理论与应用研究 26卷

阶正则项所得结果都不能尽如人意。我们将结合待重构物体的先验信息提出自适应重建的正则化模型。

[9]

为方便比较，这里给出这几种方法应用于本问题的求解模型，Rudin等使用TV正则项解决图像去噪问题，用于求解本问题的模型如（7）式所示，称为TV正则化模型：

12min1Ad2 （7）

2Lysaker等使用二阶正则项解决图像去噪问题，用于求解本问题的模型如（8）式所

示，称为LLT（Lysaker,Lundervold,Tai的首字母缩写）正则化模型：

[16]

12min1Ad2 （8）

2Chan等提出的联合使用TV与二阶项的两项正则化模型，其模型如（9）式所示，称

为TVLAP（TV与Laplace简称）模型：

12min1121Ad2 （9）

2可见，TVLAP模型引入了两个正则化参数，增加了正则化参数选取的困难。

本文在TVLAP模型的基础上研究如何自适应地调节两项正则项之间的权重，从而简化参数选取过程，所提模型如（10）式所示，称为ADAP（adaptive简称）模型：

[8]

minw1(Iw)其中wnn1122Ad2 （10）

是一个对角矩阵，其对角元为：

2wjjarctan1()j12,j1,2,,n （11）

Inn是n阶单位矩阵，是梯度算子，是拉普拉斯算子，μ是待确定的正则化参数。在较平滑的区域()j值较小，因而TV项的自适应系数wjj也较小，二阶项的自适应系数(1wjj)则较大，即对于平滑部分，二阶项在正则化函数中起主要作用；在间断区域()j值较大，因而TV项的自适应系数wjj也较大，二阶项的自适应系数(1wjj)则较小，即对于间断部分，TV项在正则化函数中起主要作用。用这样一个自适应函数自适应地调节两者之间的权重，给出了两个正则化参数之间的匹配规律，简化了正则化参数的选取过程。

3 数值算法实现

本节给出求解模型（10）的算法。为求解变分模型，研究者提出了多种算法，如Rudin

[9][17][18]

等基于数值偏微分方程的去噪算法、Chambolle提出的一种原始对偶算法、Shi等针

[11，19－20]

对去噪去模糊问题提出的快速算法等。其中Tai等提出的增广拉格朗日方法在实际中被证明是最快速的处理方法之一，因此本文采用增广拉格朗日方法来求解（10）式。为了使用该方法，需要引入辅助变量v1、v2将（10）式改写为约束最优化问题：

4期 杜健鹏等：基于Abel变换的图像重建自适应方法 439

min,v1,v2wv11(Iw)v2s.t.v1,v21122Ad2 （12）

为求解约束最优化问题，我们定义增广拉格朗日函数：

1L,v1,v2;q1,q2;wwv11q1,wv12wv12221wv21q2,Iwv212Iwv22 （13）

1Ad222其中q1,q2n是拉格朗日乘子，,是惩罚因子。测试结果表明取 1就足够了。引入w后，求解最优性条件将涉及高次方程求根，计算十分复杂，因此我们将初值给定为单位矩阵，然后每次求解增广拉格朗日函数极值点的过程中遇到w时，把它当作已知

[11]

量，再用算出的ρ值来更新w，如此交替求解。根据Tai等的工作知道，增广拉格朗日函数（13）的极值点就是约束最优化问题（12）的解。整个求解过程可描述为算法1。 算法1：

（1）初始化w0=I；

（2）初始化v100, v200, q100, q200； （3）对k0,1,2,。

k1①通过求解最优化问题更新k1,v1k1,v2，即：

k1(k1,v1k1,v2)argmin,v1,v2L,v,v;q,q,w； （14）

12k1k2k②通过下式更新拉格朗日乘子q1k1, q2k1

1q1k1q1kv1k1k1 （15）

kq2k1q2v1k11k1 （16）

③wk12diag1k1 12 （17） 算法1中（14）式的求解，面临多个变量耦合的情况，使得问题十分复杂，我们采用交替

策略来求最优解，这样就可以把原问题分解成几个子问题，每个子问题的求解较简单。

固定v1, v2，求解关于ρ的子问题： 1minq1k,wkv1212kwkv1q2,Iwkv222Iwvk21Ad22222 （18）

这一子问题关于ρ是二次的，只需将目标函数对ρ求导，可得到线性方程组：

440 CT理论与应用研究 26卷

kIwkAAwvvkAdwk1q1kIwk2q2 （19）

这一线性方程组在本问题中的规模并不大，因此采用直接解法就可以。

固定, v2，求解关于v1的子问题：

12minv1v11q1k,v1v12 （20）

2这一子问题等价于求解：

21kminv1v11v1q1 （21）

22其解为

v1τq1k （22）

其中τ的定义为：

12τxargminyyyxsign(x)maxx,0 （23）

2固定, v1，求解关于v2的子问题：

12kminv2v21q2,v2v22 （24）

2与上一子问题同理，它等价于求解：

21kminv2v21v2q2 （25）

22可得其解为

kv2τq2 （26）

综上所述，外层迭代算法1中求解（14）式时需用到交替迭代算法（内层迭代算法），kkkk1k1k1可以描述为算法2。通过算法2可由,v1,v2迭代l步得到,v1,v2。

算法2：

k,0kv2（1）初始化k,0k,v1k,0v1k,v2

l0,1,2,,L1 （2）对 k,l1； ①通过求解线性方程组（19）更新 v1k,l1； ②给定k,l1，用（22）更新 k,l1v2③给定k,l1，用（26）更新 ；

k,l1k,Lk,l1k,Lk,l1，v1v1，v2v2k,L。 （3）4期 杜健鹏等：基于Abel变换的图像重建自适应方法 441

4 数值算例

4.1 一维数值算例

这一部分我们将给出本文提出的自适应正则化模型重建物体某一层密度的结果，并与其他模型进行比较。为了尽可能多地模拟实际可能发生的情况，首先构造一个包含常数函数、线性函数以及分片光滑函数的(r)，用这一函数代表轴对称物体某一层的密度分布，并作为数值测试的对象，进行两组模拟恢复，两组数值实验分别加上不同程度的高斯噪声。

表1 不同方法对实验1重建效果

Table 1 Reconstructed results by different models for experiment 1

评价标准 SNR err

TV 19.915 0.023

LLT 20.4 0.042

TVLAP 23.034 0.042

ADAP 23.760 0.031

表2 不同方法对实验2重建效果

Table 2 Reconstructed results by different models for experiment 2

评价标准 SNR err

TV 18.250 0.040

LLT 18.393 0.056

TVLAP 20.767 0.058

ADAP 21.010 0.042

在本算例中，令图1（b）中的R,L1,L2分别为5cm，349cm及449cm，将半径R离散成280个点，接收端d离散成256个点，也就是令m256,n280，那么ρ就是一个280维的向量。在第一组实验中，每次给实验对象加上标准差为该数据最大值1％的高斯噪声；在第二组实验中，每次给实验对象加上标准差为该数据最大值1.5％的高斯噪声。每组实验中，分别给出真实数据函数图像，面密度（密度函数沿X光射线路径的积分量）加噪声后的函数图像，以及不同种模型重建得到的物体密度函数图像。

将本文所提出的ADAP模型，与Rudin提出的经典的TV正则化模型、Lysaker等提出的LLT正则化模型以及Chan等提出的TVLAP正则化模型进行比较并观察结果。 从函数图像中可以直观地观察不同种模型的恢复效果。为客观评价各模型恢复效果，

[21]

我们用信噪比SNR以及误差1范数err作为评价恢复效果的标准。信噪比越大、误差1范数越小说明恢复效果越好，这两个标准的定义：

[8]

[9]

[16]

uM(u)SNR:10log102uuˆ222 （27） err:ˆ1uuu1 （28）

ˆ分别代表真实数据和恢复数据，M(u)是真实数据的平均值。 其中u和u 442 CT理论与应用研究 26卷

（a）真实密度

（b）加噪面密度

（c）使用TV模型

（d）使用LLT模型

（e）使用TVLAP模型

（f）使用ADAP模型

图2 不同模型对实验1（1％高斯噪声）的重建结果

Fig.2 Reconstructed results by different models for experiment 1(1％ Gaussian noise)

（a）真实密度

（b）加噪面密度

（c）使用TV模型

（d）使用LLT模型

（e）使用TVLAP模型

（f）使用ADAP模型

图3 不同模型对实验2（1.5％高斯噪声）重建结果

Fig.3 Reconstructed results by different models for experiment 2 (1.5％ Gaussian noise)

图2给出了第一组数值实验的结果，图2（a）为真实数据函数图像，图2（b）为加噪后的面密度，图2（c）～图2（f）分别为TV、LLT、TVLAP、ADAP正则化模型的结果，其中红色部分为恢复结果，蓝色部分为原始数据。从主观视觉效果看，TV模型阶梯效应很明显，其余模型有所改善，而ADAP模型最好。表1中SNR和err的比较也印证了这一点。注意，虽然TV模型的err最小，但并不能说明这种模型效果好，这是因为TV模型就是通过极小化err求出来的。因此，不同模型之间比较时，需要看SNR和err的综合效果。

4期 杜健鹏等：基于Abel变换的图像重建自适应方法 443

图3给出了第二组数值实验的结果，这说明噪声加强不影响模型的恢复效果，表2的

结果也可以说明这一点。 4.2 二维数值算例

我们分别用TV，LLT，TVLAP，ADAP 4种模型对轴对称物体进行层析重建。由于锥形X光束在轴对称物体的各个截层被视为平行的扇形光束，使用给定模型逐层重建，按顺序排列各层结果，组成二维图像，即形成了轴对称物体的剖面图。数值实验中，我们构造一个人脸结构的球形物体，并对原始数据添加数据最大值5％的高斯噪声，原始数据和投影数据如图4所示，图4（a）为原始数据，图4（b）为投影数据。不同模型的恢复效果如图5所示，图5（a）～图5（d）分别表示用TV，LLT，TVLAP，ADAP 4种模型所得的恢复结果。

（a）

图4 原始数据及投影数据

Fig.4 Raw data and radiograph data

（b）

（a）

（b）

（c）

（d）

图5 不同模型对整幅图像重建结果

Fig.5 Reconstructed results by different models for the whole image

从视觉效果来看，4种模型都达到了重建原始数据的要求，但TVLAP以及ADAP模型明显要比另外两种模型好。表3记录了本算例的信噪比SNR和误差1范数err。可以看到，ADAP模型所得结果SNR最大，err除TV模型外最小，这也说明了ADAP模型相对其他模型最具有优势。

444 CT理论与应用研究

表3 不同模型对整幅图像的重建结果

Table 3 Reconstructed results by different models for the whole image

评价标准 SNR err

TV 23.018 0.0

LLT 22.921 0.085

TVLAP 23.214 0.086

ADAP 23.360 0.081

26卷

5 结论

本文讨论CT技术应用于轴对称物体的密度重建问题。为重建物体密度及结构，需求解病态的Abel变换的反演问题，联合使用TV项与二阶项做正则项，既有效改善了“阶梯效应”又保持了图像的边界，并且采用自适应技术，根据图像特征自适应地调节两者之间的权重，不仅简化了参数的选取过程，而且提高了重建精度。采用快速的增广拉格朗日算法，通过数值结果验证了本文所提出的自适应正则化模型较其他模型更有效。

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Abel Transformation Based Adaptive Regularization

Approach for Image Reconstruction

DU Jian-peng1, LIANG Hai-xia2, WEI Su-hua3

1.Graduate School, China Academy of Engineering Physics, Beijing 100088, China 2. Xi’an Jiaotong-Livepool University, Suzhou 215123, China

3.Institute of Applied Physics and Computional Mathematics, Beijing 100088, China

Abstract: In this paper, we discuss an adaptive regularization approach for density reconstruction of axially symmetric object whose tomography comes from a single X-ray projection. The method we proposed is based on the combination of total variation regularization and high-order total variation regularization. Its main advantage is to reduce the staircase effect while keeping sharp edges and recovering smoothly varying regions. Moreover, it simplifies the use of parameters. We apply the augmented Lagrangian method to solve the optimization involved. Numerical results show that the proposed method has improved the accuracy of density edges and values. Besides, the method is not sensitive to the measured data noise.

Keywords: CT; adaptive; high-order total variation regularization; augmented Lagrangian method; Abel inversion

作者简介：杜健鹏（1991－），男，中国工程物理研究院研究生部计算数学专业研究生，主要从事图像处理学研究，Tel：15701578281，E-mail：1261708156@qq.com；魏素花（19－），女，博士，北京应用物理与计算数学研究所研究员，主要从事图像处理及应用反问题研究，Tel：010-59872418，E-mail：wei_suhua@iapcm.ac.cn。

446 CT理论与应用研究 26卷

《CT理论与应用研究》影响因子情况

中国科技论文与引文 1数据库（CSTPCD） 时间/ 统计年份 影响因子 中国期刊全文数据库（CJFD） 2影响因子 复合影 响因子 0.522 期刊影 响因子 0.265 0.304 0.610 0.459 0.472 0.447 0.497 0.474 学科排序 综合性科学综合性医药技术类（N/Q，4卫生类（R） 3T/X） 58/95 91/159 34/126 39/125 93/403 100/403 49/422 81/424 17/25 9/25 2/25 4/25 26/202 30/202 25/204 38/206 核心版 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 0.204 0.239 0.533 0.385 0.448 0.365 0.408 0.371 扩刊版 0.590 0.525 0.576 0.659 0.766 0.1 0.838 0.779 0.592 0.591 0.776 0.660 数据来源：1-中国科技期刊引证报告2009－2016年版（核心版/扩刊版）。

2-中国学术期刊(光盘版)电子杂志社, 中国科学文献计量评价研究中心. 中国学术期刊影响因子年报(自然科学与工程技术)·2009－2016年版[R]。 3-2012年前为计算机类（TP）。 4-2012年前为特种医学类（R8）。