平面向量知识点及习题分章节(最新整理)

必修4 第2章 平面向量§2.1向量的概念及其表示

重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．考纲要求：①了解向量的实际背景．

②理解平面向量的概念及向量相等的含义．③理解向量的几何表示．

经典例题：下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行

当堂练习：

1.下列各量中是向量的是 ( )A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 （ ）

A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量

3．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO、OB、CO、OD是

（ ）A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等的向量 D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 A. 零向量只有大小没有方向 C. |AB|=|BA|

( )

B. 对任一向量a,|a|>0总是成立的 D. |AB|与线段BA的长度不相等

(

)

5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是 A. AB与CD共线 C. AD 与 CB是相反向量

B. AC与BD相等 D. AB与CD模相等

6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，

（1）与BC相等的向量有 （2）与OB长度相等的向量有

；；．



（3）与DA共线的向量有

7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说

明 ．

8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：

（1）与AO相等的向量有 （2）写出与AO共线的向有 （3）写出与AO的模相等的有

；

；；

．

EFADCB（4）向量AO与CO是否相等？答

9O．是正六边形ABCDE的中心，且OAa，OBb，ABc在，以AB，C，，

D，E，O为端点的向量中：

（1）与a相等的向量有 （2）与b相等的向量有 （3）与c相等的向量有

10．在如图所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的边长为1），是否存在：

（1）是共线向量的有 ；（2）是相反向量的为 ；（3）相等向量的的 ；（4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，

；；

O（1）与向量FE共线的有 （2）与向量DF的模相等的有 

（3）与向量ED相等的有

．．．

12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？

必修4 第2章 平面向量§2.2向量的线性运算

重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．

考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．

经典例题：如图，已知点D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点，

求证：EAFBDC0．

.

当堂练习：1．

a、

b为

非零向量，且

|ab||a||b|，

则

（ ）

A．a与b方向相同

B．abC．ab

D．a与b方向相反

2．设(ABCD)(BCDA)a，而b是一非零向量，则下列各结论：①a//b；②

aba；

③

abb；

④

abab，

其中正确的是

（ ）A．①② B．③④ C．②④ D．①③

3．3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则

MAMBMC等于 A．OB．4MD（

）

C．4MFD．4ME（

）

4．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是

A．|a||b||ab|B．|ab||ab|C．|a||b||ab|D．|a||b||ab|5．（ A．a）

B．b

C．c若

abc化

简

3(a2b)2(3bc)2(ab)

D． 以上都不对

6．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP=

（ ）

A．(ABAD).(0,1) C．(ABAD).(0,1)B．

(ABBC).(0,2)2

2(ABBC).(0,)2 D．

7．已知|OA||a|3，|OB||b|3，∠AOB=60，则|ab|__________。

8．当非零向量a和b满足条件

时，使得ab平分a和b间的夹角。

9．如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：

C①FDDAAF0③DEDABE010．若向量x、

②FDDEEF0④ADBEAF0AFDEBy满足2x3ya,3x2yb，a、b为已知向量，则

x=__________； y=___________．

11．一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60方向行驶3 km，求汽车的位移.

12.如图在正六边形ABCDEF中，已知：AB=a, AF = b,试用a、b表示向量BC ,



CD , AD，BE.

必修4 第2章 平面向量§2.3平面向量的基本定理及坐标表示

重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算．

考纲要求：①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

③会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

经典例题：已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x)．

求实数x的值，使向量AB与CD共线；

当向量AB与CD共线时，点A,B,C,D是否在一条直线上？

当堂练习：

1．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c等于（

）

13A．2a2b

133131B．2a2bC．2a2bD．2a+2b

2．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ）A．x=1,y=3B．x=3,y=1C．x=1,y=－5D．x=5,y=－13．已知向量a(3,4),b(sin,cos),且a∥b，则tan= （

）

3A．4 3B．4

4C．3 4D．34．已知 ABCD的两条对角线交于点E，设ABe1，ADe2，用e1,e2来表示ED的表达式（

）

11e1e22A．211e1e22B．211e1e22C．211e1e22D．271P25．已知两点P１（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P（－3，ｙ）分有向线段P所成的比为λ，则λ、ｙ的值为

（

）

1A．－4，8 11B．4，－8 C．－4，－8  1D．4，86．下列各组向量中：①e1(1,2) ②e1(3,5) ③e1(2,3) e2(5,7)

13e2(,)e2(6,10) 24有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正

确的判断是 （ ）

A．①B．①③C．②③D．①②③

7．若向量a=（2，m）与b=（m，8）的方向相反，则m的值是 8．已知a=（2，3），b =（-5，6），则|a+b|= ，|a-b|= ．．

9．设a=（2，9），b =（λ,6），c=(-1,μ),若a+b=c,则λ= , μ= .10．△ABC的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C点坐标为 .

11．已知向量e1、e2不共线，

(1)若AB=e1－e2，BC=2e1－８e2，CD=3e1＋３e2，求证：A、B、D三点共线.(2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.

12．如果向量AB=i－2j,BC =i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.

必修4 第2章 平面向量§2.4平面向量的数量积

重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解．考纲要求：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量数量积于向量投影的关系．

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．经典例题：在ABC中，设AB2,3,AC1,k,且ABC是直角三角形，求k的值．

当堂练习：

1．已知a=（3，0），b=（-5，5）则a与b的夹角为

（ ） A．450

B、600

C、1350

D、1200

2．已知a=（1，-2），b=（5，8），c=（2，3），则a·（b·c）的值为

（ ） A．34

B、（34，-68）

C、-68

D、（-34，68）

3．已知a=（2，3），b=（-4，7）则向量a在b方向上的投影为

（

）

13B、5

65C、5

A．13 D、65acccbbca4．已知=（3，-1），=（1，2），向量满足·=7，且，则的坐标是

（ ）

A．（2，-1）

B、（-2，1）

C、（2，1）

D、（-2，-1）

5．有下面四个关系式（1）0·0=0；（2）（a·b）c=a（b·c）；（3）a·b=

b·a；（4）0a=0，其中正确的个数是

A、4

B、3

C、2

D、1

（ ）

6．已知a=（m-2，m+3），b=（2m+1，m-2）且a与b的夹角大于90°，则实数m

（ ）

A、m＞2或m＜-4/3

B、-4/3＜m＜2 C、m≠2 D、m≠2且m≠-4/3

7．已知点A（1，0），B（3，1），C（2，0）则向量BC与CA的夹角是

。

8．已知a=（1，-1），b=（-2，1），如果（ab)(ab)，则实数= 。

9．若|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为45°，要使kb-a与a垂直，则k=

jj10．已知a+b=2i-8，a—b=-8i+16，那么a·b=

11．已知2a+b=（-4，3），a-2b=（3，4），求a·b的值。

12．已知点A（1，2）和B（4，-1），试推断能否在y轴上找到一点C，使ACB=900？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由。

必修4 第2章 平面向量§2.5平面向量的应用

重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力．考纲要求：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题．

经典例题：如下图，无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处，同质量的细绳

OC下端系着一个称盘，且使得OBOC，试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大

小，判断哪根绳受力最大？

当堂练习：

1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若

PAPBPCAB，

则点P与△ABC的位置关系是

（ ）

A、点P在△ABC内部 B、点P在△ABC外部C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上

2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为 （ ）

A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则的

值为（ ） A、300 B、600 C、900 D、1200

4．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为 （ ） A、v-a B、a-v C、v+a D、v5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。

6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a的位移 ；

（2）求S在Sa方向上的投影 。7．如图，点P是线段AB上的一点，且AP︰PB=m︰n，点O是直线AB外一点，

m,n,a,b设OAa，OBb，试用的运算式表示向量OP．

8．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，设AD与BE相交于G，求证：AG︰GD=BG︰GE=2︰1．

AECGBD1OG(OAOBOC)39．如图， O是△ABC外任一点，若，求证：G是△ABC

重心（即三条边上中线的交点）．

10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile处有一只货船

收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。北A450750CB东必修4 第2章 平面向量

§2.6平面向量单元测试

1．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC5e1,DC3e2则OC=

（ ）

1111(5e13e2)(5e13e2)(3e25e1)(5e23e1)2222A．B．C．D．

2．对于菱形ABCD，给出下列各式：

①ABBC②|AB||BC|22|AC||BD|4|AB|2④

③|ABCD||ADBC|其中正确的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．在 ABCD中，设ABa,ADb,ACc,BDd，则下列等式中不正确的是（ 　　 ）

A．abcB．abd

C．bad（

D．cab）

4．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是

A．|a||b||ab|B．|ab||ab|C．|a||b||ab| D．|a||b||ab|5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）

A．（1，5）或（5，－5）B．（1，5）或（－3，－5）C．（5，－5）或（－3，－5）D．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）6．与向量d(12,5)平行的单位向量为

（

）

12,5)13A．

((B．

125125125125,)(,)(,)(,)1313C．1313或 1313 D．131341203，|a|4,|b|5，则a与b的数量积为

7．若|ab|（

）A．103

B．－103C．102D．10

8．若将向量a(2,1)围绕原点按逆时针旋转4得到向量b,则b的坐标为 (

）

322232232(,)(,)(,)222222A． B． C．

322,)2D．2(9．设k∈R，下列向量中，与向量Q(1,1)一定不平行的向量是

A．b(k,k)

B．c(k,k)22e(k1,k1)D．

（ ）

22d(k1,k1)C．

1(3a)A(b)36|a|10,|b|12510．已知，且，则a与b的夹角为

（ ）

A．60°

B．120°

C．135°

D．150°

.

11．非零向量a,b满足|a||b||ab|，则a,b的夹角为

12．在四边形ABCD中，若ABa,ADb,且|ab||ab|,则四边形ABCD的形状是

13．已知a(3,2)，b(2,1)，若ab与ab平行，则λ=

.

2|a|a与ee314．已知为单位向量，=4，的夹角为，则a在e方向上的投影

为

.

15．已知非零向量a,b满足|ab||ab|,求证: ab16．已知在△ABC中，AB(2,3)，AC(1,k),且△ABC中∠C为直角，求k的值.

17、设e1,e2是两个不共线的向量，AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值.

18．已知|a|2 |b|3,a与b的夹角为60o,c5a3b,d3akb,当当实数k为何值时，⑴c∥d

⑵cd19．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.

20．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

参

第2章 平面向量

§2.1向量的概念及其表示经典例题：

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.当堂练习：

1.C; 2.C; 3.D; 4.C; 5.B; 6. (1)AD (2)OA,OC,OD,BO,AO,CO,DO (3)

AD,BC,CB.; 7.①②③⑤; 8.（1）BF（2）DE,CO,BF（3）AE,DE,DO,BO,CO,BF,CF（4）不相等; 9. （1）DO,CB （2）EO,DC

（3）OC,ED;

10. （1）a,d （2）a,d （3）不存在 （4）a,d，c;

11. （1）BD,DB,DC,CD,BC,CB （2）AE,EA,EC,CE （3）FB,AF;12. 3种，8种，可以（转化为相邻两个中的互跳）;

§2.2向量的线性运算经典例题：

证明：连结DE,EF,FD．因为D,E,F分别是ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得EDEFEA（1），同理在平行

四边形BEFD中，FDFEFB(2)，在平行四边形CFDE在中，DFDEDC(3)

将（1）(2) (3)相加，得

EAFBDCEDEFFDFEDEDF(EFFE)(EDDE)(FDDF)0当堂练习：

1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8. |a||b|; 9. ③，④; 10. （1）a,d （2）a,d （3）不存在 （4）a,d，c;

11. 北偏东30°方向，大小为33km．12.BCAOABBOABAFab； CDAFb；

AD2BC2ab；

BE2AF2b§2.3平面向量的基本定理及坐标表示经典例题：

2x4,x2．AB(x,1)CD(4,x)AB//CD解 （1），．，（2）由已知得BC(22x,x1)．

BC(2,1)AB(2,1)当x2时，，，AB和 BC不平行，此时A,B,C,D不在一条直线上；

BC(6,3)AB(2,1)AB//BC，此时A,B,C三点共线．当x2时，，

又AB//CD，A,B,C,D四点在一条直线上．

综上 当x2时，A,B,C,D四点在一条直线上．

当堂练习：

1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 310,58; 9. -3，15; 10. (8,-4);11．解析：(1) BD=BC+CD=2e1-8e2+3(e1+e2)＝５e1-5e2＝５AB∴BD与AB共线

又直线BD与AB有公共点B， ∴A、B、D三点共线(2)∵λe1-e2与e1-λe2共线∴存在实数k，使λe1－e2＝ｋ（e1－λe2），化简得（λ－ｋ）e1+(kλ－１)e2＝0∵e1、e2不共线， ∴由平面向量的基本定理可知：λ－ｋ＝０且ｋλ－１＝０解得λ＝±１，故λ＝±１．

12．解法一：∵A、B、C三点共线即AB、BC共线

∴存在实数λ使得AB＝λBC即i-2j=λ（i+mj）

1m2 ∴ｍ＝－２ 即m=－2时，A、B、C三点共线.于是解法二：依题意知：i=(1,0),j=(0,1)则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),

BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m)

而AB、BC共线 ∴１×ｍ－１×（－２）＝０ ∴ｍ＝－２故当m=－2时，A、B、C三点共线.§2.4平面向量的数量积经典例题：

0A90,则ABAC，于是213k0解：若

k解得

23；

0B90,则ABBC，又BCACAB1,k3,若

故得

213k30，

k解得

113；

0C90,则ACBC，故若

11kk30，

k解得

3132113132．所求k的值为3或3或2．

当堂练习：

152; 9.2; 10. - 63;1.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8.

11. a=(-1,2) b=(-2,-1) a·b=0

12. 令C(0,y),则AC=(-1,y-2) CB(4,1y)因为ACB=900,所以ACCB=0 ,即-4+(y-2)(-1-y)=0 y2-y+2=0,此方程无实数解,所以这样的点不存在.§2.5平面向量的应用经典例题：

解：设OA,OB,OC三根绳子所受力分别是a,b,c，则abc0，a,b的合力为c'ab,|c'||c|，如上右图，在平行四边形OB'C'A'中，因为OB'OC',B'C'OA'，所以|OA'||OB'|,|OA'||OC'|．即|a||b|,|a||c|，

所以细绳OA受力最大．当堂练习：

1.D; 2.C; 3.D; 4.A; 5. 53km/h; 6. 粒子b相对于粒子a的位移为(1,7), S在Sa方向上的投影为-5;

mnbaOPmn; 7. =mn1an(a-b)mn8. OP=2;

9.略;

1310.| BC|=14,cos∠ABC=14§2.6平面向量单元测试

1.A; 2.C; 3.B; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B;11．

120°； 12．

矩形

13、

1

14．

215．证：

abababababab2222a2abba2abbab02222又a,b为非零向量 ab16．解：

BCACAB(1,k)(2,3)(1,k3)C为RTACBCACBC0(1,k)(1,k3)01k23k0k17．

3132BDCDCB2e1e2e13e2e14e2若A，B，D三点共线，则AB与BD共线，

设ABBD即

2e1ke2e14e22e1e1e与e2不共线可得： ke24e2由于1故2,k8⑵若cd得

9k5 18.⑴若c∥d 得

k291419.解以D为原点DC为x轴正方向建立直角坐标系则A(0,1),

C:(1,0)

B:(1,1)

22设DPr,则P(r,r)22PA(22r,1r)2222E点为(1,r),F:(r,0)EF(2r1,2r)2222

|PA|(故PA2222r)(1r)22|EF|(1

2222r)(r)22EF而PAEF0PAEF20.证:BDPDPB,ACPCPA|BD|2(PDPB)2|PD|22PBPD|PB|2|AC|2(PCPA)2|PC|22PCPA|PA|2BD,AC为直径,故PDPB,PAPCPDPBPAPC0|BD|2|AC|2|PA|2|PB|2|PC|2|PD|222222224r4rPAPBPCPD8r即