二次函数与一次函数结合题

方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意，（X-h） 方法二：可通过配方法解决问题

1．如图，将抛物线M1: yax24x向右平移3个单位，

再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线yx与M1 的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的 横坐标是－3. （1）求a的值及M2的表达式；

（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的

垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时，直线yxn恰好经过 正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；

②在点C的运动过程中，若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点，求n的

取值范围（直接写出结果）.

27. 解：（1）∵ 点A在直线yx，且点A的横坐标是－3，

∴ A(－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A(－3，－3)代入yax24x，

解得a=1. … …………………………………………………………………2分 ∴M1 : yx24x，顶点为(－2，－4) . ∴M2的顶点为(1，－1) .

∴M2的表达式为yx2-2x. …………3分

（2）①由题意，C(2，2)，

∴F(4，2) . ………………………………4分 ∵直线yxn经过点F， ∴2=4+n.

解得n=－2. ………………………5分

② n＞3，n＜－6. …………… …7分

一次函数与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进行观察计算 27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y12ax2xa1与y轴交于C点，与x轴交于2A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为-1． （1）求a的值；

（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P'，求点P'的坐标；

（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A， B两点），先向下平移3个单位，再

向左平移m（m0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．

2y

27．解：

（1）∵A（-1，0）在抛物线y-2O-22x12ax2xa1上， 2∴a2xa10，…….…………………………………………………...… 1分 ∴解得a2，…………….……………………………………………………… 2分 （2）∴抛物线表达式为yx22x3．

∴抛物线yx22x3的顶点P的坐标为（1，4）．…………….….……… 3分

（会配方，套公式给1分）

∵点P关于原点的对称点为P'，

∴P'的坐标为（-1，-4）．………………………………………………….……… 4分

（3）直线PP'的表达式为y4x，…………….……………….… 5分

图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（-1，-3），B'的坐标为（3，-3）， y若图象G与直线PP'无交点，则B'要左移到M及左边，

CAOA'12PBB'xMP'令y3代入PP'，则x33，M的坐标为,3，……… 6分 44∴B'M=3∴m

3415， 415． ……………………………………………..…………… 7分 4二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型，判断交点问题 27．已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．

（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点

（3，0），求该抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)

在第一象限之间的部分为图象G，如果直线 y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数

的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．

27．（本小题满分7分）

（1）证明：∵ △= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)

=(m+3)2. ……………………………………………………………1∵ m＞0， ∴ (m+3)2＞0， 即 △＞0，

∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2

（2）解：∵ 抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），

2

∴ －3+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3∴ m=1.

∴ y=－x2+2x+3. ………………………………………………………4

（3）解：∵ y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，

∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.

∴ 当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k(1+1)+4， ∴ k=0， ∴ y=4.

∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5∵ y=－x2+2x+3， ∴ 当x=0时，y=3，

∴ 该抛物线与y轴的交点为（0，3）.

∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6∴ 3＜t≤4. …………………………………………………………………7

Oxy分

分 分 分

分

分 分

一次函数与二次函数焦点个数问题

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A（-1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称

轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.

27 . 解：（1）∵抛物线y2x2mxn过点 ，B（3，a）， A（-1，a ）

∴抛物线的对称轴x=1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)4， 即y2x4x2．.…3分

把A（-1，a ）代入抛物线表达式，求出a4．.……. 4分

（2）∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D，∴D(1,4)．

求出直线CD的表达式为y4. .……. 5分

求出直线BD的表达式为y2x2，当x1时，y0．.……. 6分 所以4t0．.……. 7分

22y43214321O12341234x二次函数与一次函数结合焦点个数问题，多画图进行判断，注意临界点 27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y12xx2与y轴交于点A，顶点为点B，点C2与点A关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

7654321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345yx

27. (本小题满分7分)

解：（1）∵抛物线yx2x2与y轴交于点A，

∴点A的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵y1213xx2(x1)2， 222123∴抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为（1，）． …………2分

2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，

7y∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．

设直线BC的解析式为ykxb． 3∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，

231kb，k，∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

654321–5–4–3–2EACBDF–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1．…………………………3分

2（2）∵抛物线yx2x2中，

当x4时，y6，

∴点D的坐标为(4，6)． ………………4分

1∵直线yx1中，

2当x0时，y1， 当x4时，y3， ∴如图，点E的坐标为(0，1)，

点F的坐标为(4，3)．

设点A平移后的对应点为点A'，点D平移后的对应点为点D'． 当图象G向下平移至点A'与点E重合时，点D'在直线BC上方， 此时t=1；…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时，点A'在直线BC下方，此时t=3．

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t≤3．……………………………7分

1227．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A（-1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称

轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.

27 . 解：（1）∵抛物线y2x2mxn过点 ，B（3，a）， A（-1，a ）

∴抛物线的对称轴x=1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)4， 即y2x4x2．.…3分

把A（-1，a ）代入抛物线表达式，求出a4．.……. 4分

（2）∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D，∴D(1,4)．

求出直线CD的表达式为y4. .……. 5分

求出直线BD的表达式为y2x2，当x1时，y0．.……. 6分 所以4t0．.……. 7分

22y43214321O12341234x27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y12xx2与y轴交于点A，顶点为点B，点C2与点A关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

7654321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345yx

27. (本小题满分7分)

解：（1）∵抛物线yx2x2与y轴交于点A，

∴点A的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵y1213xx2(x1)2， 222123∴抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为（1，）． …………2分

2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，

7y∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．

设直线BC的解析式为ykxb． 3∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，

231kb，k，∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

654321–5–4–3–2EACBDF–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1．…………………………3分

2

（2）∵抛物线yx2x2中，

当x4时，y6，

∴点D的坐标为(4，6)． ………………4分

1∵直线yx1中，

2当x0时，y1， 当x4时，y3， ∴如图，点E的坐标为(0，1)，

点F的坐标为(4，3)．

设点A平移后的对应点为点A'，点D平移后的对应点为点D'． 当图象G向下平移至点A'与点E重合时，点D'在直线BC上方， 此时t=1；…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时，点A'在直线BC下方，此时t=3．

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t≤3．……………………………7分

121)、27．二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数y1xbk的图象交于A(0，B两点，C(1,0)为二次函数图象的顶点.

（1）求二次函数yax2bxc(a0)的表达式；

（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数yaxbxc(a0)的图象和一次函

数y1xbk的图象；

（3）把（1）中的二次函数yax2bxc(a0)的图象平移后得到新的二次函数

2y2ax2bxcm(a0,m为常数)的图象,.定义新函数f：“当自变量x任取一

值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;如果y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）.”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.

x

27.解：（1）设抛物线解析式为ya(x1)，

1)，可得yx22x1………..(2分) 由抛物线过点A(0，（2）如图：

1

………………………………………..(5分)

（3）-42

注意区间是否含有

227.已知二次函数y1xbxc的图象C1经过(1,0)，(0,3)两点．

（1）求C1对应的函数表达式；

（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C2对应的函数

2表达式记为y2xmxn，求C2对应的函数表达式；

（3）设y32x3，在（2）的条件下，如果在2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2．．≤y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．

27．解：（1）∵二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0)，(0,3)两点， 1bc0,∴………………………………1分

c3.b2,解得…………………………………2分

c3.∴抛物线C1的函数表达式为y1x22x3． ……………………………………3分 （2）∵y1x22x3=(x1)24，

图7 ∴抛物线C1的顶点为(1,4)．………………………………………………4分 ∴平移后抛物线C2的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为y2x2．…5分 （3）a≥1（见图7）．………………………………………………………………7分

23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线ymx2+2xm22的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x 轴交于B，C两点，（B在C左侧）. 点A的纵坐标是3. （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AB的解析式；

y（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G.

54321O-5-4-3-2-1-1-2-3-4-512345x若直线ykxn(n0)与直线AB平行，且与 图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的 取值范围.

23. (1)

 抛物线ymx2+2xm21 与y轴的交点A的纵坐标是3

m02+20m223解得：m1……………………………………………1分 抛物线开口向下 m1

抛物线的解析式为yx+2x3…………..……………………………………2分 (2) 由（1）可知B(1,0),C(3,0).设AB的解析式为ykxm.

2则

m3 解得: km0m3



k3

AB的解析式为：y3x3………………….………………………………………..4分

(3)当y3xn经过(3,0)点时，n9…………………………………………….5分 结合图象可知，n的取值范围是n9.………………………………………………7分

27．抛物线C1:y12xbxc与y轴交于点C(0，3)，其对称轴与x轴交于点A(2，0)． 2（1）求抛物线C1的解析式；

（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D(0，k)．已知点B(2，2)，

若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．

27．解：（1）∵抛物线yyC21O1BAx12xbxc与y轴交于点C(0，3)， 2∴c3； ………………………1分 ∵抛物线y∴12xbxc的对称轴为x2， 22， 122解得b2， ………………………2分

12x2x3． ………………………3分 212（2）由题意，抛物线C2的解析式为yxk． ………………………4分

212当抛物线经过点A(2，0)时，2k＝0，

2∴抛物线C1的解析式为y解得k2． ………………………5分

∵O(0，0)，B(2，2)，

∴直线OB的解析式为yx．

byC21O1BAyx,由， 12yxk2x得x22x2k0，（*）

当Δ＝(2)2412k＝0，即k

1

时， ………………………6分 2

抛物线C2与直线OB只有一个公共点， 此时方程（*）化为x22x10， 解得x1，

即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．k的取值范围是2k12． ………………………7分 A1ODEB2HC ∴