初一动点动角问题解决策略

【问题】

对应动点动角问题，很多同学都是很惧怕的，搞不清楚，那我们今天来解决下这个问题。 那么大家认真阅读，并动手实践，初一的动点问题就可以解决了。 那么，如何解决？

【解决思路】

一、初一数轴动点问题练习题

要掌握数轴上的动点问题，我们首先要明确两块问题： （1）数轴上两点之间的距离； （2）线段的和差关系；

接下来，我们详细的来说明一下。

（1）数轴上两点之间的距离： ①如果是两个定点之间的距离：

这个大家比较熟悉，比如下图，1和7之间的距离是6，就可以表示为7-16，用数轴上右边的数减去左边的数（即大-小=大小之间的距离）。

1

7 ②如果是一个定点和一个动点之间的距离：

如下图所示，P和B之间的距离是动点P运动的路程，用P的路程=速度时间，得出BP的长度，一般而言，速度告诉我们的，这里举例速度为2，时间为t，BP=2t，进而得到AP的长度=AB- BP，即AP=6-2t。

A 1 P B 7 ③如果是两个动点之间的距离：

如下图所示，PQABAQBP，AQ的长度和上面②中所提到的BP的长度得到的方法一致，这样我们就可以得到PQ的长度，这里就不详细的表述了。 A Q B 1 P 7 再把有关动点的长度表示出来后，接下来我们再看下面。

（2）线段的和差关系：

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数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

比如AQ的长度就可以表示为，AQ=AB-BQ，BP的长度可以表示为，BP=AB-AP，然后再由参数t表示出AQ , BP。下面结合这样一个滨江区的一道期末考试题，第23题为例，跟大家一起分享一下成果。

【例 1】（滨江区期末考试第23题） 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）写出数轴上点B，P所表示的数（可以用含t的代数式表示）；

（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距2个单位长度？ （3）若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在线段AB上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系．

分 析：

（1）由数轴上两点之间的距离： “点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12”，由此得到B点所表示的数是 -4；P所表示的数则是由距离反推点所表示的数，具体的是，P的路程为速度3*时间t，即为3t，A是8，所以P所表示的数8-3t；

（2）PQ的长度=2，首先思考可能的情况要考虑清楚，认真审题后会发现PQ相遇前后都会出现PQ=2的情况，一是相遇前，如下图，再根据线段的和差关系 ，PQABAPBQ；

二是相遇后，如下图所示，同样根据线段的和差关系 ，PQAPBQAB；

（3）先根据题目的要求，“探索线段MN与线段PQ的数量关系”，那么这块我们首先要注意在第二问时已经“提供了梯子”，也就是PQ的表示，那么接下来就是MN的表示，看起来复杂，实际上还是线段的和差关系 你可以找出MNBMBN或MNANAM，这样接下来就可以用t表示出线段MN，MN5t，PQ125t，这样我们就能得到2PQ122MN； 当相遇后，方法同样如此，结论为2MN﹣PQ=12 ；

练习：

如图，已知线段AB=a，点C在直线AB上，AC=3AB．

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（1）用尺规作图画出点C；

（2）若点P在线段BC上，且BP：PC=2：3，D为线段PC的中点，求BD的长（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，若AD=3cm，求a的值．

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2、如图，已知线段AB的长为a，延长线段AB至点C，使BC=

．

（1）求线段AC的长（用含a的代数式表示）； （2）取线段AC的中点D，若DB=3，求a的值．

【分析】

解：（1）∵AB=a，BC=AB， ∴BC=a， ∵AC=AB+BC， ∴AC=a+a=a．

（2）∵AD=DC=AC，AC=a， ∴DC=a， ∵DB=3，BC=a， ∵DB=DC﹣BC，

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∴3=a﹣a， ∴a=12．

3、如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．

（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？

（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是_____________； （3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

BDAP3，若

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二、初一动角问题的解决思路

要掌握动角问题，实际上要简单些，没有点的在数轴上的表示，那我们注意以下两点即可：

（1）角旋转后的度数=角的旋转速度 × 时间t， 得到的； （2）注意位置所产生的多解问题； （3）角度的和差关系。 接下来一一说明如下：

（1）如图，射线OP顺时针旋转，速度为3o/分钟，时间用t表示，所以此时∠POP’=3t；

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（2）比如，现在告诉我们∠POQ=10o ,这时大家注意射线OQ在∠POP’的内部还是外部，就会产生两种情况；

（3）接下来，求∠P’OQ的度数（用t表示），那么对应着图形就有两种情况； ∠P’OQ=3t-10或∠P’OQ=3t+10，这里就是在审题时，很多同学要学会根据位置的情况来进行讨论；逐个分析清楚，当解决其中的某一种情况后，其他的也差不多，能够较好的解决；

【例1】（滨江区期末考试第24题）

（1）如图1．

①若已知∠AOB=90°，∠DOB=30°，射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD．求∠EOC的度数；

②若已知∠AOB=β，∠DOB=α，射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD，求∠EOC的度数；

（2）如图2，已知∠AOD=120°，射线OP以每秒15°的速度，从射线OD开始逆时针向射线OA旋转，到达射线OA之后又以同样的角速度顺时针返回，直到到达射线OD停止，射线OQ从射线OA开始，以每秒5°的速度顺时针向射线OD旋转，直到到达各自的目的地才停止，请问当过了几秒时，∠POQ=∠AOQ？

分析：本题难度较大，尤其是第二问的答案有四种情况之多，所以我们一定要在深入理解上面讲到的情况下，根据上面讲到的三块，仔细的审题，通过画草图，

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分析位置所产生的多解的问题，这样才能较好解决这个问题； 【解答】

解：（1）①∵∠AOB=90°，∠DOB=30°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=120°，

∵射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD， ∴∠EOD=

AOD=60°，∠COD=∠DOB=15°，

∴∠EOC=∠EOD﹣∠COD=45°； ②∵∠AOB=β，∠DOB=α， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=β+α，

∵射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD， ∴∠EOD=

AOD=（α+β），∠COD=∠DOB=α，

∴∠EOC=∠EOD﹣∠COD=β； （2）分为两种情况：

情况①当OQ在OP左侧，t秒后∠POQ=∠AOQ， （一）此时120﹣（5t+15t）=×5t 解得t1=

；

（二）此时15t﹣120﹣5t=×5t 解得，t2=16；

情况②当OQ在OP右侧时，m秒后∠POQ=∠AOQ， （一）此时5m﹣[（m﹣解得：m1=

）×15]=

（二）此时5m+15m﹣120）=（5m）， 解得：m2=答：当过了

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秒、16秒、秒、秒时，∠POQ=∠AOQ．

练习： 1、（2013秋•上城区期末）已知∠AOB=80°，∠AOC=40°，且OD是∠BOC的角平分线，则∠AOD的度数为（ ） A．20°或40° B．20°或60° C．20° D．60° 答案：B

2、（3分）已知∠BOC=60°，OF平分∠BOC．若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是（ ）

A．45° B．15° C．30°或60° D．45°或15° 答案：A

3、如图，已知∠EOC是平角，OD平分∠BOC，在平面上画射线OA，使∠AOC和∠COD互余，若∠BOC=50°，则∠AOB是 115°或 15° ．

4、已知∠AOB=64°，OC是∠AOB的平分线，∠AOD与∠AOC互余，则∠BOD的度数为 122°或 6° ．

5、如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．

（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由． （2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；

（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．

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