1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解：
2. 给定信号：
（1）画出序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；
（3）令，试画出波形；
（4）令，试画出波形；
（5）令，试画出波形。
解：
（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）
（3）示。
的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所
（4）示。
的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所
（5）画示。
时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；
（2）。
解：
（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；
（2），这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，统是否是线性非时变的。
与分别表示系统输入和输出，判断系
（1）；
（3），为整常数；
（5）；
（7）。
解：
（1）令：输入为，输出为
故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为
故延时器是一个时不变系统。又因为
故延时器是线性系统。
（5）
令：输入为，输出为，因为
故系统是时不变系统。又因为
因此系统是非线性系统。
（7）
令：输入为，输出为，因为
故该系统是时变系统。又因为
故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；
（3）；
（5）。
解：
（1）只要有关。如果
，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入，则
，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。系统是非因果
的，因为输出还和x(n)的将来值有关.
（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果
，因此系统是稳定的。
，则
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应出输出
的波形。
和输入序列如题7图所示，要求画出输
解：
解法（1）:采用图解法
图解法的过程如题7解图所示。
解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:
因为
所以
将x(n)的表达式代入上式，得到
8. 设线性时不变系统的单位取样响应输出
。
和输入
分别有以下三种情况，分别求出
（1）；
（2）；
（3）。
解：
（1）
先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下：
根据非零区间，将n分成四种情况求解：
①
②
③
④
最后结果为
y(n)的波形如题8解图（一）所示。
（2）
y(n)的波形如题8解图（二）所示.
（3）
y(n)对于m的非零区间为
。
①
②
③
最后写成统一表达式：
11. 设系统由下面差分方程描述：
；
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。
解：
令：
归纳起来，结果为
12. 有一连续信号式中，
（1）求出的周期。
（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。
（3）画出对应的时域离散信号(序列) 的波形，并求出的周期。
————第二章————
教材第二章习题解答
1. 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：
（1）
令，则
（2）
（3）
令，则
（4）
证明：
令k=n-m，则
2. 已知
求的傅里叶反变换。
解：
3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)为实序列，试证明输入
的稳态响应为
如果单位脉冲响应
。
解：
假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
上式说明，当
输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
4. 设的波形，求出
将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列
和傅里叶变换。
，画出和
的离散傅里叶级数
解：
画出x(n)和的波形如题4解图所示。
,
以4为周期，或者
,
以4为周期
5. 设如图所示的序列
的FT用
表示，不直接求出
，完成下列运算：
（1）；
（2）；
（5）
解：
（1）
（2）
（5）
6. 试求如下序列的傅里叶变换:
（2）；
（3）
解：
（2）
（3）
7. 设:
（1）是实偶函数，
（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。
解：
令
（1）x(n)是实、偶函数，
两边取共轭，得到
因此
上式说明x(n)是实序列，具有共轭对称性质。
由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么
因此
该式说明是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。
（2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，具有共轭对称性质，即
由于x(n)是奇函数，上式中是奇函数，那么
因此
这说明是纯虚数，且是w的奇函数。
10. 若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:
求序列及其傅里叶变换。
解：
12. 设系统的单位取样响应下面各题：
，输入序列为
，完成
（1）求出系统输出序列；
（2）分别求出、和的傅里叶变换。
解：
（1）
（2）
13. 已知得到采样信号
，式中
和时域离散信号
，以采样频率
，试完成下面各题：
对
进行采样，
（1）写出的傅里叶变换表示式；
（2）写出和的表达式；
（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。
解：
（1）
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以
表示成：
（2）
（3）
式中
式中
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14. 求以下序列的Z变换及收敛域：
（2）；
（3）；
（6）
解：
（2）
（3）
（6）
16. 已知:
求出对应
的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：
三种收敛域对应三种不同的原序列。
（1）当收敛域时，
令
，因为c内无极点，x(n)=0；
，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么
（2）当收敛域
时，
，C内有极点0.5；
，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只
有一个，即2，
最后得到
（3）当收敛域时，
，C内有极点0.5，2；
n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。
最后得到
17. 已知
，分别求：
（1）的Z变换；
（2）的Z变换；
（3）的z变换。
解：
（1）
（2）
（3）
18. 已知，分别求：
（1）收敛域对应的原序列；
（2）收敛域对应的原序列。
解：
（1）当收敛域
时，
，内有极点0.5，
,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
,
最后得到
（2（当收敛域
时，
c内有极点0.5,2,
c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有
极点,因此, 最后得到
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
，
试：
（1）用卷积法求网络输出；
（2）用ZT法求网络输出。
解：
（1）用卷积法求
，,
，，
最后得到
（2）用ZT法求
令
,c内有极点
因为系统是因果系统，
,
，最后得到
28. 若序列
是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
求序列
及其傅里叶变换
。
解：
求上式IZT，得到序列
的共轭对称序列
。
因为
是因果序列，
必定是双边序列，收敛域取：
。
时，c内有极点,
n=0时，c内有极点,0，
所以
又因为
所以
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为
（2）；
（4）；
（6）；
（8）；
（10）。
解：
（2）
（4）
（6）
（8）解法1 直接计算
解法2 由DFT的共轭对称性求解
因为
所以
即
结果与解法1所得结
果相同。此题验证了共轭对称性。
（10）解法1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。
因为
所以
等式两边进行DFT得到
故
当时，可直接计算得出X（0）
这样，X（k）可写成如下形式：
解法2
时，
时，
所以，
即
2. 已知下列
，求
（1）;
（2）
解：
（1）
（2）
3. 长度为N=10的两个有限长序列
作图表示
、
和
。
解：
、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14. 两个有限长序列和的零值区间为:
对每个序列作20点DFT,即
如果
试问在哪些点上
，为什么？
解：
如前所示，记，而。
长度为27，长度为20。已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足
所以
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率试确定以下各参数：
，信号最高频率为1kHZ，
（1）最小记录时间；
（2）最大取样间隔；
（3）最少采样点数；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现
频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18. 我们希望利用
长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处
理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列从
的
，m表示第m段计算输出。最后，
。
中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出
（1）求V；
（2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。
解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，…,127。
先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）
不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的
，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。我们知道
因为
长度为
N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域，
所以，所取出的第51点为从第49到99点的
，当然，第49点到第99点二者亦相等，
。
综上所述，总结所得结论
V=49,B=51
选取中第49~99点作为滤波输出。
5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
，
试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。
解：
将上式进行Z变换
（1）按照系统函数示。
，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所
（2）将的分母进行因式分解
按照上式可以有两种级联型结构：
(a)
画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示
(b)
画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示
（3）将进行部分分式展开
根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
2. 设数字滤波器的差分方程为
，
试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。
解：
将差分方程进行Z变换，得到
（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。
（2）将的分子和分母进行因式分解：
按照上式可以有两种级联型结构：
(a)
画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。
(b)
画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。
3. 设系统的系统函数为
，
试画出各种可能的级联型结构。
解：
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。
（1） ，
画出级联型结构如题3解图（a）所示●。
（2） ,
画出级联型结构如题3解图（b）所示。
4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d
解：
(d)
5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d
解：
(d)
6. 写出图中流图的系统函数。图f
解：
(f)
8．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率采样结构
实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。
解：
已知频率采样结构的公式为
式中，N=5
它的频率采样结构如题8解图所示。
6.2 教材第六章习题解答
1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，阻带截止频率
以及实际的
。
，阻带最小衰减
，通带最大衰减
。求出滤波器归一化传输函数
解：
（1）求阶数N。
将
和
值代入N的计算公式得
所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）
（2）求归一化系统函数滤波器系统函数
为
，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通
或
当然，也可以按（6.12）式计算出极点:
按（6.11）式写出
表达式
代入
值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数函数
。
得到实际滤波器系统
由于本题中，即，因此
对分母因式形式，则有
如上结果中，
的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频
率对归一化系统函数的改变作用。
2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率
，阻带截止频率
实际的
。
，阻带最小衰减
，通带最在衰减速
和
。求出归一化传输函数
解：
（1）确定滤波器技术指标：
，
（2）求阶数N和：
为了满足指标要求，取N=4。
（2）求归一化系统函数
其中，极点
由(6.2.38)式求出如下：
（3）将
去归一化，求得实际滤波器系统函数
其中
，因为
，所以
。将两
对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。
4. 已知模拟滤波器的传输函数
为：
(1)；
(2)。式中，a,b为常数，设
。
因果稳定，试采用脉冲响应不变法，
分别将其转换成数字滤波器
解：
该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表
的脉冲响应不变法转换公式，设采样
性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的周期为T。
（1）
的极点为：
，
将部分分式展开（用待定系数法）：
比较分子各项系数可知：
A、B应满足方程：
解之得
所以
按照题目要求，上面的
表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无
的两项通分并化简
复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将整理，可得
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。
（2）
的极点为：
，
将部分分式展开：
通分并化简整理得
5. 已知模拟滤波器的传输函数为：
（1）；
（2）器，设T=2s。
试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波
解：
（1）用脉冲响应不变法
①
方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为：
，
代入T=2s
方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对化成4题中的标准形式：
的分母配方，将
为一常数，
由于
所以
对比可知，，套用公式得
②
或通分合并两项得
（2）用双线性变换法
①
②
7. 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器
的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。
（1） (低通)；
（2）（高通）；
（3）除0或外的某一频率（带通）。
解：
按题意可写出
故
即
原模拟低通滤波器以
为通带中心，由上式可知，
时，对应于
，故答案
为（2）。
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