初中数学教学论文 《方程》大盘点

类型一：一元一次方程 知识点归纳：

一定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为axbc（a,b,c为已知数，且a0）。使方程左右两边成立相等的未知数的值叫做方程的解（又叫做方程的根） 二等式的基本性质：

⑴等式两边加上或减去同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即 若ab，则ambm。

⑵等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：若ab，则有ambm，ab(d0)

dd⑶ 若ab，bc，则有ac（传递性） 三解一元一次方程的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1。

温馨提示：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意等式性质成立的条件 四列一元一次方程解应用题的一般步骤：

①审：分析题意，弄清题目中的数量关系； ②设：用x表示题目中的一个未知数；

③找：找出一个能够表示应用题全部意义的相等关系；

④列:对照这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程； ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值；

⑥答：检验所求出的解是否符合题意，写出答案。

温馨提示：列方程解决应用题的关键是找到“等量关系”，在得到方程的解后，还要检验它是否符合实际意义。 五典题训练：

1已知方程3x23m2m0是关于x的一元一次方程，则m___，x___。

2在2006年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分。若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（ ）

A两胜一负 B一胜两平 C一胜一平一负 D一胜两负 3小王在解方程2a2x15（x是未知数）时，误将2x看作2x，得方程的解为 x3，请求出原方程的解。

4先阅读下列一段文字，然后回答问题：

1x21321x21221已知：方程的解是x12，x2；的解是x13，

2x3x21x214211x2；的解是x14，x2；问题：观察上述方程及其解，再

34x4用心 爱心 专心 1

x211021猜想出方程的解。 x105某水果批发市场香蕉价格如下表：

购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克价格 6元 5元 4元 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次，

第二次分别购买香蕉多少千克？ 类型二：二元一次方程（组） 知识点归纳： 一 定义：

⑴含有两个未知数，并且所含未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程； ⑵含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组； ⑶二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

温馨提示：①二元一次方程的每一组解都是一对数值，而不是一个数值，应用“﹛”表示； ②在没有非负性限制或取整要求的情况下，一个二元一次方程的解有无数种；

③二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个

数也可以超过两个，其中有的方程可以是一元一次方程；但在二元一次方程组的各个方程中，相同的字母必须代表同一个数量，否则不能将两个方程合起来。

二 二元一次方程组的常用解法：

⑴代入消元法，在求解时应注意：①先观察方程组未知数的系数，选择系数为1（或–1）的方程进行变形比较简单；②当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，可进行整式代入；③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程yaxb求出另一个

未知数的值比较简单； ⑵加减消元法，即若方程组中有同一个未知数的系数相同或互为相反数时，将两个方程两边分别相加或相减，消去一个未知数，但要注意当方程组不能直接加减消元时，应根据等式性质把方程两边同时乘以一个适当的数，使方程组中的某一个未知数的系数相等或互为相反数，再把方程进行加减消元。 三 列二元一次方程解应用题问题：

⑴列二元一次方程组解实际问题时，一般情况下，有几个未知量就列几个方程，所列方程应满足：①方程两边表示的是同类量，②同类量的单位要统一，③方程两边所表示的数量要相等；

⑵列二元一次方程组解应用题的关键是认真审题，把握题意，找出等量关系。 ⑶求解后要对求出的解进行验证，看它是否使实际问题有意义。 四 典题训练：

1下列不是二元一次方程组的是（ ）

1xy2x1A B yxy1x1Cxy1 D x0y1

用心 爱心 专心 2

2已知方程组 y2xm的解x,y满足2xy0，则m的取值范围是（ ）

2y3xm1444Am Bm Cm1 Dm1

3333若方程xy3，xy1和x2my0有公共解，则m的取值为_____

4解方程组：⑴ 5x7y15x14y17 ⑵ 3x2y82x5y1

5定义运算“”：ABxy，已知123,234，求34的值 AB(A1)(B1)6阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组 19x18y17时，我们如果直接考虑消元，那将是繁不胜繁的，而采用下面的

17x16y15方法则是轻易而举的。由①－②得2x2y2即xy1③，由③×16得16x16y16④，再由②－④得x1，从而得y2，所以原方程组的解为 x1y2

请你用上述的方法解方程组 2004x2003y2002，并猜测关于x,y的方程组

2002x2001y2000(a2)x(a1)ya（ab）的解是什么？并利用方程组的解加以验证。

(b2)x(b1)yb7为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演。甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格 1套至45套 60元 46套至90套 91套及以上 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元

⑴如果甲、乙两所学校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ ⑵甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？

⑶如果甲校有10名同学抽去参加书法绘画比赛不能参加比赛，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案。 类型三：一元二次方程 知识点归纳： 一 定义：

1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元一次方程，其一般形

22式为axbxc0（a,b,c为已知数，且a0）。其中ax叫做二次项，bx叫做一次项，

用心 爱心 专心 3

c叫做常数项，a,b分别是二次项和一次项的系数。

温馨提示：在一元二次方程的一般式中要注意a0

2使方程左右两边成立的值相等的未知数的值叫做方程的解（又叫做方程的根）。 二 一元二次方程的根存在情况与系数的关系：

1一元二次方程ax2bxc0(a0)是否有实数根，关键由b4ac的值的符号来确定。我们把b4ac叫做一元二次方程的根的判别式。 2一元二次方程的根的存在情况与判别式的关系： ⑴当b4ac0时，方程有两个不相等的实数根； ⑵当b4ac0时，方程有两个相等的实数根； ⑶当b4ac0时，方程没有实数根；反之亦然。 温馨提示：若一元二次方程有实根，则有b4ac0 3一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：

若x1,x2是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根，则有

222222bcx1x2，x1x2

aa三 一元二次方程的解法：

⑴直接开平方法，即利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法。 温馨提示：这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程， 即形如(xm)n(n0)的方程。

⑵配方法，即以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法。 用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①化二次项的系数为1，即方程两边同时除以二次项的系数； ②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边是常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④化原方程为(xm)n的形式；

⑤如果n0就可以用开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解。

温馨提示：①配方法适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程。 ②配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数。 ⑶因式分解法，即用分解因式的方法求一元二次方程的根的方法。 因式分解法的步骤：①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式之积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

温馨提示：①用因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元

用心 爱心 专心

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22一次方程，从而得到一元二次方程的解。

②用因式分解法解题的理论依据是：若ab0，则a0或b0。 ⑷公式法，即用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

bb24ac2一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式是x(b4ac0)

2a2温馨提示：用求根公式求一元二次方程的解时应注意： ①先化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a,b,c的值，并求出b4ac的值；

③若b24ac0，代入求根公式求出x1,x2的值；若b24ac0，则原方程无解。 四 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

⑴审清题意，明确问题中的已知量、未知量以及各种量之间的关系；

⑵设未知数，有直接设未知数和间接设未知数两种，无论怎样设未知数，一定要注意题目的未知量必须用所设的未知数表示出来；

⑶列方程，找出题目中的相等关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式即方程； ⑷解方程，并对求出的解进行检验，看是否符合题目中的实际意义； ⑸作出答案。 五 典题训练：

1方程xx0的解是（ ）

32A0,1 B1,1 C0,1 D0,1,1

2若关于x的方程x2xk0有实数根，则（ ）

2Ak1 B k1 Ck1 Dk1

23若t是一元二次方程axbxc0(a0)的根，则判别式b4ac与完全平方式

2M(2atb)2的关系是（ ）

AM BM CM D大小关系不能确定

4已知a,b为一元二次方程x2x90的两个根，那么aab的值为（ ）

22A7 B0 C7 D11

5若方程x(m1)xm0的两根互为相反数，则m的取值为_____ 6已知关于x的方程2xkx10的一个解与方程

2222x14的解相同， 1x⑴求k的值；⑵求方程2xkx10的另一个解。

7已知下列n(n为正整数）个关于x的一元二次方程：⑴x10；⑵xx20；

2⑶x2x30；…；(n) x(n1)xn0

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㈠请解上述一元二次方程⑴、⑵、⑶、…(n)；

㈡请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。 类型四：分式方程 一 知识点归纳：

1分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2解分式方程的基本思想：设法将分式方程转化为整式方程。

3解分式方程的基本方法——去分母法，即在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母，使分式方程转化为整式方程。 4用去分母法解分式方程的一般步骤：

⑴化简，找出最简公分母； ⑵去分母，将分式方程转化为整式方程； ⑶解所得的整式方程； ⑷验根作答。

温馨提示：⑴解分式方程时，必须将整式方程得到的解代入原方程进行检验，如果最简公分母等于0，它就是原方程的增根，必须舍去；⑵增根有两个重要特征：①增根能使最简公分母等于0，②增根是通过去分母所得到的整式方程的根，但不是原方程的解；⑶有些分式方程，如按常规用去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，有时甚至会转化成高次方程，更让人束手无策，对于其中一部分在构造上有一定特点的分式方程，我们可以采用换元法求解。 5列分式方程解应用题的一般步骤：

⑴审题；⑵设未知数；⑶找出能够表示全部意义的相等关系，列出分式方程；⑷解分式方程；⑸验根:先检验是否有增根，再看是否符合题意；⑹写出答案。 二典题训练： 1如果

x2xx620，则x等于（ ）

A2 B2 C2 D3 2已知方程

1k2有增根，则k_____

x24x23若

122的值为，则______ 2244y6y12y3y71111x232的值为________ 的值为8；当时，33bxbxaxax1112 5已知实数x满足x2x0，那么x的值是（ ）

xxx A1或2 B1或2 C1 D2

AB5x42 6如果，则A_____,B_____ x5x2x3x10mxx1 7当m为何值时，关于x的方程2的解是正值？

xx2x1x2 4当x2时，

8小明和小刚两位是好朋友，一个月里两次同时到一家粮油商店买油，两次的油价有变化，其中第一次的油价为x元/千克，第二次的油价为y元/千克，但他们两人的购买方式不一样，小明每次总是买相同重量的油，小刚则每次只拿出相同数量的钱来买油，请问两种买油方式，哪一种更合算？

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