高中数学考试题

1、已知P(A)0.3,P(B)0.4,P(AB)0.2则P(B|A)________．

2、掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 3、设D(X)4,D(Y)9,R(X,Y)0.5，则D(XY)________． 4、已知X~B(10,0.6),Y~P(0.6),R(X,Y)5、随机变量X~N20,2，若PXa21，则cov(X,Y)________． 41，则a________． 26、设总体X~N(0,1)，X1，X2，X3，X4是总体的一个样本，则

22YX12X2X32X4服从分布。

ˆ，p，X1，X2，，Xn是从总体X中抽取的一个样本，则参数p的矩估计量为p7、设总体X~B1________．

8、从一批零件中抽取9个零件，算得其直径的样本均值为x20.01，设零件直径服从N(,)，且已知则这批零件直径的均值的置信水平为0.95的置信区间为_________________．（已知u0.0251.96） 0.15，

二、选择题（每题3分，共24分）

1、对于任意两事件A、B，与ABB不等价的是（）.

(A)AB；(B)BA；(C)AB；(D)AB.

2、事件A与B互不相容，且P(A)0,P(B)0，则下列关系成立的是（）. (A)A,B相互； (B)A,B不相互；

(C)A,B互为对立事件； (D)A,B不互为对立事件.

3、设Fix是Xi的分布函数，i1,2，为使FxaF1xbF2x是分布函数，则下列给定的各组值中应取（）. (A)a3,b2；(B)a2,b2；

5533(C)a1,b3； (D)a1,b3.

22224、某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）.

222(A)3p(1p)； (B)6p(1p)； (C)3p(1p)； (D)6p(1p).

22225、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于（）. (A)1; (B)0 ; (C)1/2 ; (D)1.

6、设随机变量X~N1,2，Y~N2,4，且X与Y相互，则（）. (A)2XY~N0,1; (B)

2XY~N0,1;

23(C)2XY1~N1,9; (D)

2XY1~N0,1.

237、设X与Y为任意二个随机变量，若已知cov(X,Y)0，则必有（）. (A)D(XY)D(X)D(Y)；(B) X与Y相互；

(C) E(XY)E(X)E(Y)；(D) X与Y不。 8、设随机变量X~tnn1，Y21，则（）. X2

2(A)Y~n；(B)Y~n1；(C)Y~Fn,1；(D)Y~F1,n

三、计算应用题（共52分） 1、（6分）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球。

（1）现随机地抽取一个箱子，再从这个箱子中任取一球，求这个球为白球的概率。（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。

1(1x)exx0 2、（8分）设随机变量X的分布函数为F(x) 其它0（1）求X的概率密度f(x)；（2）求P(|X|1)；（3）求E(eX).

3、（8分）设随机变量X~N(0,1)，求Y2X21的概率密度。

4、（10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）PYX 5、（10分）设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度为：

1xy,fx,y40x1,y1其他

（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度；并讨论X和Y是否； （2）求EX,EY；（3）求PXY1.

e2(x),6、（10分）设X的概率密度为f(x,),0求的极大似然估计。

x,x,0，x1,x2,,xn为来自总体的一个样本，

1n222一、1．；2．；3．7；4．0.3；5．20；6.(4)；7.X或Xi；

ni1358.(19.912,20.108).

二、1．(D)；2．(B)；3．(A)；4．(C)；5．(A)； 6. (B)；7. (C)；8. (C).

三、

1．解：(1)设Bi表示“取出第i个箱子”，i1,2,3；A表示“取到白球”，则

P(Bi)1115，i1,2,3；P(AB1)，P(AB2)，P(AB1)，

2358P(A)P(Bi)P(ABi)i13由全概率公式

111553. 352812011P(B2)P(AB2)3220(2)P(B2A).

53P(A)53120xexx0 2．解：（1）f(x)F(x) . 其它0

（2）P(|X|1)P(X1)1F(1)2e1. （3）E(eX)0xe2xdx1. 43. 解：随机变量X的概率密度为

fx设随机变量Y的分布函数为FYy，则有

12ex22x

y1FY(y)P{Yy}P2X21yPX2

2当y1时，FY(y)0；

当y1时，FY(y)Py1X2y12y12y12y1212ex22dx

202ex22dx,

2e(y1)4fY(y)FY(y)1y1e4,所以：fY(y)2(y1)0,122y112(y1)e1y4

y1y1.

4．解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且

11PX0,Y3，

82PX1,Y1C133311，

822113， 228322PX2,Y1C2311PX3,Y3.

82于是，（1）（X，Y）的联合分布为

Y X 0 1 2 3 1 0 3 1 80 0 3 83 80 1 8

YXPX0,Y1PX0,Y3PX1,Y3PX2,Y3 （2）P11000.

885. 解（1）当x1时，

fXxfx,ydy1xy1dy，

14211,则fXx20,1,同理fYy20,

（2）EXx1其他

y1其他

由于fx,yfXxfYy，所以X和Y不。

xfXxdxxdx0 121同理：EYyfYydy0

xy1（3）PXY1fx,ydxdy

111x1110793dxxydydxxydy

01119246．解似然函数L(x1xn;)en2(xi)i1n,xi,i1,2n，

lnL()2(xi),

i1dlnL2n0, d所以L()单调递增， 而xi，故取x1,^xn最小者，L()最大，所以

极大似然估计为minx1,

xn.

一、填空题（每题3分，共24分）

1、设A,B为随机事件，P(A)0.5，P(B)0.6，P(B|A)0.8则P(AB)。 2、10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，则能打开门的概率为_______．

3、设随机变量X和Y是相互的随机变量且都服从正态分布，X~N(3,4)，则D(3X4Y)。 Y~N(2,9)，4、设随机变量X~B(10000,0.8)，试用切比雪夫不等式估计P(7800X8200)。

5、设X和Y为两个随机变量，且P{X0,Y0}6、已知X的概率密度函数为f(x)34，P{X0)P(Y0}，则P{max(X,Y)0}. 771ex22x1，则E(X)，

D(X)。

，Xn是它的一个简单随机样本，则统计量7、设总体X服从N(,)，X1，X2，二、选择题（每题3分，共18分）

1、设A、B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是（) （A）P(AB)P(A)；（B）P(AB)P(A)； （C）P(B|A)P(B)；（D）P(BA)P(B)P(A).

2、设A, B为任意的两事件，则下列各选项中错误的选项是( )

(A) 若AB，则A,B可能不相容;(B)若AB，则A,B也可能相容;(C) 若AB，则A,B也可能相容;(D)若AB，则A,B一定不相容。

3、设X~P(),且E[(X1)(X2)]1，则（）

（Ａ）1；（B）2；（C）3；（D）0

4、在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是( ) （A）都不是一等品；（B）恰有1件一等品；

(C）至少有1件一等品； (D)至多有1件一等品

5、设随机变量X服从正态分布N(,)，则随的增大，概率P(X)是（）. （A）单调增大；（B）单调减少；（C）保持不变；（D）增减不定.

6、设随机变量X和Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X、Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)（）

22(n1)S22服从分布。

(A)fX(x);(B)fY(y);(C)fX(x)fY(y);(D)fX(x) fY(y)三、计算应用题（共58分） 1、（6分）有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球和两个黑球。由甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。若发现从乙袋中取出的是白球，请问从甲袋中取出放入乙袋的球，黑白哪种颜色可能性大？

2、 (8分)设随机变量X的概率密度为f(x)Aex,x

求（1）系数A；（2）X落在区间(0,1)内的概率； （3）X的分布函数。 3、（10分）设随机变量X的概率密度为

6x(1x),0x1 fx0,其它求Y2X1的概率密度。

4、（10分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

Ae(2x3y)f(x,y)0x0,y0x0或y0

求：（1）系数A；（2）(X,Y)的分布函数；（3）落在区域R:x0,y0,2x3y6内的概率。 （X,Y）5、（12分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

212x2y1xyf(x,y)4其它0

求：（1）E(X),E(Y)及E(XY)；（2）X与Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否相互？ 6、（12分）设总体X 服从泊松分布P(),0为未知参数。如果取得样 本观测值为x1,x2,,xn，求参数的矩估计值和的最大似然估计值。

试题参

一、1．0.7；2．0.533； 3．180； 4．0.96； 5．5/7； 6.1,1/2； 7.(n1)； 二、1．(B)； 2．(D)； 3．(A)； 4．(D)； 5．(C)； 6. (A)；

三、

1．解：（1）设B{从乙袋中取出的球为白球}，A1{从甲袋中放入乙袋的是白球}，A2{从甲袋中放入乙袋的是黑球}，

2P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)

21115 3234121P(A1B)P(A1)P(B|A1)4（2）P(A1|B)3

55P(B)512121P(A2B)P(A2)P(B|A2)1P(A2|B)12

55P(B)51212由大小关系，容易判定白颜色可能性大。 2．解：（1）f(x)dxAexdx2Aexdx

02AeA1 2x02A=1

（2）P0X111x11=edx(1e)0.316

2021xx1xedxex0x1x22（3）Fxedx201exdxx1exdx11ex0222

x0

y1)2f(x)dx 3.解：FY(y)P(2X1y)P(X2当y1时，FY(y)0 当1y3时，FY(y)1y1y1206x(1x)dx1(y1)2(4y) 4当y3时，FY(y)06x(1x)dx1 即

0,y11FY(y)(y1)2(4y),1y3、

41,y3

3(y1)(3y),1y3所以fY(y)4

0,其它4．解：⑴由密度函数的性质：

2xf(x,y)dxdy1可知

000Ae(2x3y)dxdyAe0dxe3ydyA1， 6则A6

（2）由分布函数与密度函数的关系，我们可以知道

F(x,y)xyf(x,y)dxdyxy(2x3y)dxdy(e2x1)(e3y1)x0,y0 006e其它0（3）P((X,Y)R)

322x30f(x,y)dxdydxR06e(2x3y)dy7e610.983

115. 解⑴E(X)213xydy0 1x411217E(Y)yf(x,y)dxdydx2x2y2dy

1x491121E(XY)xyf(x,y)dxdydx2x3y2dy0

1x4xf(x,y)dxdydx2（2）fX(x)2121212xydyx(1x4)1x1x2 f(x,y)dy48其它0

5fY(y)f(x,y)dx0y2127xydxy2y420y1其它

（3）由于f(x,y)fX(x)fY(y)，则X与Y不相互。

1n6．解: (1) 矩估计法 EX,令Xi

ni1ˆx.……. 4分 参数的矩估计值为(2) 最大似然估计 由于PXxnxx!e,

xii1ne似然函数为L enx!i1ixi!ni1nnlnL()xilnlnxi!n

i1i1xidlnL()1nxin=0 令

i1dn1ˆ则最大似然估计为：xi=x ni1一、填空题（每题3分，共24分）

1、设A,B为两随机事件，P(A)0.5,P(AB)0.2，则P(AB)_______． 2、一射手对同一目标进行四次射击，若至少命中一次的概率为3、设随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx,则系数A=_____；B=________．

4、已知随机变量X~N(3,16)，且P(Xc)P(Xc)，则c________． 5、设随机变量X与Y相互，且有同一分布列

X P 0 1 80，则该射手的命中率为____． 81x

12 12

则随机变量Zmax(X,Y)的分布列为____________________．

6、设总体X服从参数为的指数分布e()，X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本，则

D(X).

7、若X~t(n)，则X~ .

2

二、选择题（每题3分，共18分）

1. 设A、B是两个事件，且AB，则下列式子中正确的是( ) （A）P（AB）=P（B）；

（B）P（B | A）=P（B）；

（C）P（BA）； P（A））P（A）（D）P（B

2. 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x有( ) （A）0f(x)1；（B）P(Xx)0； （C）P(Xx)F(x)；（D）P(Xx)3.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X0}与{XY1}相互，则（）.

(A)a=0.2, b=0.3； (B) a=0.4, b=0.1；(C) a=0.3, b=0.2； (D) a=0.1, b=0.4 4.设X,Y为任意二个随机变量，若已知cov(X,Y)0，则必有( ) (A)D(XY)D(X)D(Y)；(B) X与Y相互； (C)E(XY)EXEY；(D) X与Y不

5. 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数ua满足PXua.若PXx,则x等于（）.

（A）ua. （B）u21a2x0f(u)du

. （C）u1a. （D）u1a.

26. 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,1)的样本，X为样本均值，S为样本标准差，欲检验假设

H0:0,H1:0,则检验用的统计量是（）.

（A）n(X0)；(B)X0s/n；(C)X0s/n1；(D)

n1(X0)

三、计算应用题（共58分） 1、（8分）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球。

（1）现随机地抽取一个箱子，再从这个箱子中任取一球，求这个球为白球的概率； （2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。 2、(10分)已知随机变量X的概率密度为

axb,0x1, f(x)0,其他且PX15（1）系数a，b；（2）分布函数F(x)。 ，求：

2823、（10分）设随机变量X服从0,2上的均匀分布，求随机变量YX在0,4内的概率分布密度fYy。

4、（10分）袋中有6个球，分别标有数字1，1，1，1，1，2，从中任取一球，求：

（1）取得的球上标有的数字X的概率分布；（2）PX3。 X125、（10分）设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度为：

1xy,fx,y40x1,y1其他

（1） 求随机变量X和Y的边缘概率密度； （2） 求EX,EY和DX,DY；

（3） 求X和Y的相关系数RX,Y，并说明X和Y是否相关？ 6、（10分）设X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，其密度函数为：

e(x)fX(x)0xx，试求参数的矩估计量和极大似然估计。

参

一、填空题（每题3分，共24分）

1121、0.7； 2、； 3、A,B； 4、3；5、

326、

Z P 0 1 1；7、F(1,n) 2n1 43 4二、选择题（每题3分，共18分）

1．(D)；2．(B)；3．(B)；4．(C)；5．(C)； 6. (A)； 三、计算应用题（共58分）

1．（8分）解：（1）设Bi表示“取出第i个箱子”，i1,2,3；A表示“取到白球”，则

1，i1,2,3； 3115P(AB1)，P(AB2)，P(AB1)

582P(Bi)由全概率公式：

P(A)P(Bi)P(ABi)i13111553 3528120(2)由贝叶斯公式：

11P(B2)P(AB2)3220 P(B2A)53P(A)531201a2．(10分)解：（1）由f(x)dx(axb)dxb1，

021又PX212f(x)dx 12 1(axb)dx3ab5， 828

所以a1,b1 2x（2）F(x)f(t)dt

当x0时，F(x)0dt0；

x1111(t)dtx2xx(x1)；

0222201x1当x1时，F(x)0dt(t)dt0dt1；

012当0x1时，F(x)00dtx,x001综上，F(x)x(x1),0x1

2,x113.(10分)解：先求出Y的分布函数FYy，再求fYy。

由于随机变量X服从0,2上的均匀分布，则

1, x0,2 fXx2其他0, 当y0时，FYy0；当y4时，FYy1； 当0y4时，

FYyPYyPX2yPyXy

yyfXxdxy011dx22y

1, 0y4fYyFYy4y

0, 其他4．(10分)解：（1）X的可能取值为1，1，2， 且P{X1}12131，P{X1}，P{X2}，

66362X P 所以其概率分布为

1 1 31 2 1 21 63PX且X132

（2）PXX12PX1123 1325. (10分)解：（1）当x1时，

fXxfx,ydy1xy1dy，

14211,则fXx20,1,同理fYy20,（2）EXx1其他

y1其他

xfXxdxxdx0 121同理：EY2yfYydy0

1x21EXxfXxdxdx

1231同理：EY2y2fYydy

3112DXEX2EX0

3312同理：DYEY2EY

32（3）EXY111xy1xyfx,ydxdydyxydx 114910EXYEXEY91RX,Y0

13DXDY3所以X和Y相关。

6．(10分)解:（1）E(X)xe(x)dx1

1X ， 的矩估计为：X1.

（2）L(x1,x2,xn,)e(xi)ei1nnexii1n(xi)

两边取对数：LnL()nxi

i1ndlnLn0， L为的单调增函数， d1in故 min{xi}

一、填空题（每题3分，共21分）

1、设A,B为两个随机事件并且P(A)0.5，P(B)0.7，P(B|A)0.8，则P(AUB). 2、在区间[0，2]内随机地取两个数, 则事件“这两个数之和不超过1”的概率为_______．

ex,x0;3、已知某电子管的寿命X服从分布是f(x) , 则三个同样的电

x00,子管串联成系统的寿命Y服从的分布密度是__________________.

224、已知总体X服从正态分布X~N(0,4)，设X1,X2是总体X的简单随机样本，则E(X1X2).

5、设随机变量X、Y且服从N(,)，则2XY3服从的分布是.

6、设Y、Z是两个随机变量，已知它们的方差和相关系数分别为DY25,DZ36,R(Z,Y)0.4，则

2D(2YZ).

7、设总体X服从正态分布N(,)，2已知，要使总体均值的95%置信区间长度不大于标准差, 则样本容量n至少应该取______________.（已知标准正态分布(1.96)0.025）

二、单项选择题（每题3分，共21分）

1、设A、B为两随机事件，且事件B的发生导致事件A的发生，则下列式子正确的是( ). （A）P(B)P(A)；（B）P(AUB)P(A)； （C）P(B|A)P(B)；（D）P(BA)P(B)P(A).

2、设A, B为任意的两事件，则下列各选项中正确的是( ).

(A) 若A,B，则A,B可能不;(B)若AB，则A,B一定不相容; (C) 若A与B，则A,B不相容;(D)若AB，则A,B也可能相容.

3、某射击运动员在射击飞碟比赛中击中飞碟的次数记为X，未击中的次数记为Y,则下列结论正确的是( ). （A）X与Y；（B）协方差COV(X,Y)=0; （C）X与Y线性无关；（D）相关系数R(X,Y)= -1

4、设随机变量X的概率密度为fX(x),设Y4X2, 则其密度函数是 ( ).

212yy21y22yfX()（B）fX()（C）fX()（D）fY() 4444445、设X1,X2,L,Xn是总体X的一个简单随机样本, 其样本均值是X，又DX2，EX，则下列说法错

（A）

误的是( ).

（A）X是总体均值的无偏估计；（B）X是总体均值的一致估计量；

2（C）样本方差的数学期望等于；（D）样本方差是2的一致估计量.

n6、设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X、Y的概率密度，则在Xx的条件下，Y的条件概率密度fY|X(y|x)( ). (A)fX(x);(B)fY(y);2(C)fX(x)fY(y);(D)fX(x) fY(y)227、设总体X服从N(,)，未知，在方差0的假设检验中使用的统计量及分布是( ).

(n1)S22X(n1)S22(A)~(n);(B)~t(n);(C)~(n1);220(D)X~t(n1) S三、计算应用题（共58分） 1、（6分）试卷中有一道选择题，四个选项中只要一个是正确的，任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确的答案；如果他不会，则不妨任选一个答案．设考生会解这道题的概率是0.8，求

(1) 选出正确答案的概率; (2) 已知某考生所选的答案是正确的, 则他确实会解这道题的概率.

Asin2x,0x2、 (9分)设随机变量X的概率密度为f(x)2

其他0,求（1）系数A；（2）X的分布函数; （3）X落在区间(,)内的概率；

44(4) 在三次实验中恰好有两次X落在(,)内的概率.

443、（12分）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

XY 0 1 -1 1 30 0 1 a 11 b 4121且P{XY1|X0},求(1)常数 a,b;(2) 协方差Cov(X,Y);

3(3) 相关系数(X,Y)并判断X,Y是否.

4、（10分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

6e(2xay)x0,y0f(x,y)

x0或y00求：（1）参数a；（2）求条件密度函数fX|Y(x|y)；（3）联合分布函数F(x,y);（4）X与Y是否相互？

5、（12分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

其它求：（1）常数k; （2）E(X)、E(Y)及E(XY)以及{Y0.5}时X的条件密度；(3)落在区域R:y|x|（X,Y）内的概率.

1x,0x16、（9分）设总体X的密度函数f(x),0,,x1,x2,...,xn是简单样本，求: (1)参数的距

其他，0,kx2y,f(x,y)0,x2y1

估计;(2) 求参数的最大似然估计.

答案

一、 填空题（每题3分，共21分）

（1） 0.9；（2）

13e3y,y0;（4） 8; （5）N(3,52)；；（3）（6） 184；（7）16 8y00,二、 单选题（每题3分，共21分）

1. B； 2. D 3. D 4. A 5. C 6. B 7. C

三、 计算应用题（共58分）

1. 共6分

(1) 事件B表示考生会做这道题,A表示考生选出正确答案.

则

P(B)0.8,P(B)0.2;P(A|B)1,P(A|B)0.25

由全概率公式:

P(A)0.810.20.250.85

(2) P(B|A)2. 共9分 (1)

0.810.941 0.85Acos2x|0/2A1. 2/20Asin2xdx0,x0;1 (2)F(x)P(Xx)(1cos2x),0x;

221,x2 (3)

(4) PC323. 共12分 (1) ab/4011sin2xdxcos2x|0/4.

22113. 4281 31P(X0)a

31P{Y1,X0}a P{XY1|X0}13P(X0)a311解得a,b

66(2) EX11,EY 23111,P(XY1);E(XY) 1246P(XY1)Cov(X,Y)EXYEXEY0

(3) 相关系数0.不. 4. 共10分 (1)

f(x,y)dxdy006e(2xay)dxdy31,a3 a0,y0;(2) fY(x)(2x3y) 3y6edy3e,y0.fX|Y(x|y)f(x,y)2e2x,x0;

fY(y)(3) F(x,y)xy(1e2x)(1e3y),x0,y0f(x,y)dxdy

0,其他

2x(4)fX(x)2e,x0;f(x,y)fX(x)fY(y),

5. 共12分

(1) 利用概率密度的性质得c121. 4(2) fX(x)y2122126xydy(xx),1x1 x2482127xydxy5/2,0y1 42fY(y)0Ex=0 ; EY=7/9; EXY=0;

212x*0.当Y=0.5时, fX|Y(x|y)32x2,x20.5 715/2()22P((x,y)R)f(x,y)dxdy2(3)

R212xx2ydy04x1211422(x4x6)dx0.308140

6. 共9分

(1) EX10xx1dx1.

x2 x,解得2(1x)1(2) L()(xi)i1n2n1,0xi1

n122lnxi0

n2 2(lnxi)一、填空题（每题3分，共21分）

1、设A,B为随机事件，P(A)0.5，P(B)0.3，P(AB)0.6，则P(AB) . 2、掷一颗均匀的骰子两次，求其前后两次出现的点数之和为4的概率为________．

3、设随机变量X,Y，且DX2，DY3，cov(X,Y)1，则cov(3X2Y1,X4Y3)=________．

ˆ，若满足________则称ˆ是的无偏估计量. 4、若未知参数的估计量是5、随机变量X~N20,2，若PXa21，则a________． 26、设总体X~N(,)，X1,X2,,Xn是它的一个简单随机样本，则 统计量

2X服从分布. Sn27、从一批零件中抽取9个零件，算得其直径的样本均值为x14.91，设零件直径服从N(,)，且已知0.15，则这批零件直径的均值的置信水平为0.95的置信区间为_________________．（已知u0.0251.96） 二、选择题（每题3分，共24分）

1、对于任意两事件A、B，与ABB不等价的是（）.

(A) AB； (B) BA； (C) AB； (D) AB. 2、设A与B为互斥事件，且，则下列关系成立的是（）. (A) P(B|A)0； (B) P(A|B)P(A)； (C) P(A|B)0； (D) P(AB)P(A)P(B).

3、设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)f(x)，那么对任意给定的a都有（）. (A) F(a)1f(x)dx； (B) F(a)1af(x)dx；

002a(C) F(a)F(a)； (D) F(a)2F(a)1.

4x3,4、设随机变量X有密度函数f(x)0,0x1其它

，使得概率P(Xa)P(Xa)的常数a（）.

11； (D) 1. 34225、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于（）. (A) 1; (B) 0 ; (C) 1/2 ; (D) 1.

16、在区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于的概率为（）.

21231(A) ； (B) ； (C) ； (D) .

4343(A)

41； (B) 422； (C)

7、如果X,Y满足D(XY)DXY，则必有（）

（A）X与Y（B）X与Y不相关（C）DY0（D）DX0 8、设两随机变量X~N(0,1)，Y~(9)，则

23XY服从（）

(A)N(0,1)(B)t(3)(C)t(9)(D)F(1,9)

三、计算应用题（共55分）

1、（10分）进行4次试验，在每次试验中A出现的概率均为0.3。如果A不出现，则B也不出现；如果A出现一次，则B出现的概率为0.6；如果A出现不少于两次，则B出现的概率为1。试求： （1）4次试验中A出现 i 次的概率； （2）B出现的概率；

（3）在B出现的情况下，A出现一次的概率。 2、（12分）设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

C,0x1,x2yxf(x,y)，

其它0,试求：（1）常数C；

（2）求边缘密度函数fX(x),fY(y)，并讨论X和Y的性； （3）P(2YX) 。

3、（9分）设随机变量X~N(0,1)，求Y2X21的概率密度。 4、（12分）设随机变量(X,Y)的联合密度函数

f(x,y)A0x2,yx0其它

求(1)常数A； (2)条件密度函数fYX(yx)； (3)讨论X与Y的相关性。

5、（12分）设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3 P p2 2 p(1-p) p2 1-2p 其中p(0p1/2) 是未知参数。

利用总体X的如下样本值：

1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3

求 (1)p的矩估计值； (2)p的极大似然估计值。

参

一、1．0.3；2．

1ˆ)； 5．20； 6.t(n1)； ； 3．-28； 4．E(127. (14.812,15.008).

二、1．(D)； 2．(C)； 3．(B)； 4．(A)； 5．(A)； 6. (C)； 7. (B)； 8. (C). 三、

1．解：记X为4次试验中A出现的次数， （1）

iP(Xi)C40.3i0.74i, i0,1,2,3,4;

（2）

P(B)P(Xi)P(B|Xi)i014344

iC0.30.70.6C40.3i0.74ii2

0.59526

（3）

10.30.730.6P(X1)P(B|X1)C4P(X1|B)0.4149P(B)0.59526

2．解： （1）由Cdx01xx2dy1得C6

6(xx2), 0x16(yy), 0y1（2）fX(x) fY(y)0, 其它0, 其它 由于f(x,y)fX(x)fY(y)，则X和Y不。

120x2x2（3）P(2YX)dx6dy

3. 解：随机变量X的概率密度为

1 8fx设随机变量Y的分布函数为FYy，则有

12ex22x

y1FY(y)P{Yy}P2X21yPX2

2当y1时，FY(y)0；

当y1时，FY(y)Py1X2y12y12y12y1212ex22dx

202ex22dx,

2e(y1)4fY(y)FY(y)1y1e4,所以fY(y)2(y1)0,122y112(y1)e1y4

y1y1

4. 解：(1) 由于得A1/4.

20dxAdy1

xx(2) fX(x)x(1/4)dyx/20x2f(x,y)dyx

0其他

当0x2时，fY(３)E(X) E(XY)(yx)Xf(x,y)1/(2x)fX(x)02x0xxyx其他

202(x2/2)dx4/3, E(Y)dx(y/4)dy0, xdx(y/4)dy0,cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0

xx0所以X与Y不相关. 5. 解 (1) XXi18i16/82

令E(X)34pX，

ˆ(3X)/41/4. 得p的矩估计为p (2) 似然函数为

L(p)P(Xxi)P(X0)[P(X1)]2P(X2)[P(X3)]4

i184p6(1p)2(12p)4

lnL(p)ln46lnp2ln(1p)4ln(12p)

令[lnL(p)]6280 p1p12p

12p214p30

p(713)/12. 由0p1/2，故p(713)/12舍去 ˆ(713)/120.2828. 所以p的极大似然估计值为p