北京市七年级上册期末数学试卷及答案(12)

北京市七年级上册期末数学试卷（12）

一．选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（3分）A．﹣3

的相反数是（ ）

B．3

C．

D．

2．（3分）地球与太阳之间的距离约为149600000千米，将149600000用科学记数法表示应为（ ） A．1496×10

3

B．14.96×10

2

C．1.496×10

8

D．0.1496×10

9

3．（3分）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．三个点不能在同一直线上

4．（3分） 如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC，若∠BOD＝55°，则∠AOC的度数是（ ）

A．110°

B．70°

C．55°

D．35°

5．（3分）化简5（x+y）﹣3（x+y）的结果是（ ） A．2x+2y 6．（3分）在解方程

B．2x+y

C．x+2y

D．2x﹣2y

时，去分母正确的是（ ）

A．（5x﹣1）＝（2x+1）﹣（2﹣x） B．2（5x﹣1）＝3（2x+1）﹣2﹣x C．10x﹣1＝6x+1﹣2+x

第1页（共20页）

D．2（5x﹣1）＝3（2x+1）﹣（2﹣x） 7．（3分）若（a+3）+|2b﹣2|＝0，则（a+2b）A．﹣2011

B．2011

2

2011

的值（ ）

D．﹣1

C．1

8．（3分）二元一次方程y＝20﹣4x的正整数解的个数是（ ） A．4个

B．5个

C．6个

D．无数个

9．（3分）如图表示一个正方体的平面展开图，把它折成一个正方体时，与顶点K重合的点是（ ）

A．点F、点N

B．点F、点B

C．点F、点M

D．点F、点A

10．（3分）把全体自然数按下面的方式进行排列：

按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应是（ ） A．↓→

B．→↑

C．↑→

D．→↓

二．填空题（本题共20分，每小题2分）

11．（2分）用四舍五入法对0.00356保留两个有效数字得到的近似值是 ． 12．（2分）“比x的2倍小7的数”用式子表示为 ．

13．（2分）已知关于x的方程ax﹣3＝0的解是x＝2，则a的值为 ．

14．（2分）如图，数轴上点P表示数a，将数a，﹣a，1按从小到大的顺序排列为 （用“＜”号连接）

15．（2分）如图，点C在线段AB的延长线上，且BC＝2AB，D是AC的中点，若AB＝6，则

AC的长为 ，BD的长为 ．

16．（2分）如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，若∠ABD＝26°，则∠CBE＝ °．

第2页（共20页）

17．（2分）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是 度． 18．（2分）如果x+6xy＝16，y﹣4xy＝﹣12，那么x+2xy+y的值为 ．

19．（2分）如图，点C、点D在线段AB上，E、F分别是AC、DB的中点，若AB＝16cm，CD＝7cm，则线段EF的长为 cm．

20．（2分）将两个半径为1的四分之一圆的扇形纸片AOB、CO′D叠放在一起，如图所示（点

2

2

2

2

O、O′均在圆弧上），若四边形EOFO′是正方形，则整个阴影图形的面积是 ．

三．用心算一算（本题共16分，每小题4分） 21．（4分）﹣13﹣（﹣15）+（﹣27）+10． 22．（4分）

（﹣

3

）×（﹣）

．

3

23．（4分）（﹣2）×24．（4分）﹣4

2

÷0.8．

四．先化简，再求值（本题4分） 25．（4分）

（6ab﹣4ab）﹣（5ab+3ab），其中a＝，b＝2．

2

2

五．解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分） 26．（5分）27．（5分）

．

．

六．列方程解应用题（本题共10分，每小题5分）

28．（5分）下面是某移动通信公司提供的两种移动电话计费方式收费表：

方式一

第3页（共20页）

方式二

月租费 本地通话费

30元/月 0.30元/分

0 0.40元/分

在一个月内，本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式的收费一样？

29．（5分）甲、乙两地相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半多5千米，动车平均每小时行驶多少千米？ 七．解答题（本题共10分，第30题6分，第31题4分） 30．（6分）已知：如图1，∠AOB＝70°．

（1）如图2，射线OC在∠AOB的内部，OD平分∠AOC，若∠BOD＝40°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOD＝3∠B0C（∠BOC＜45°），且∠AOD＝的度数．

，请你画出图形，并求∠BOC

31．（4分）阅读下列材料：一个直角三角形纸片ABC，分别取AB、AC边的中点M、N，连接

MN，作∠AHM＝∠AHN＝90°，将三角形纸片沿AH、MN剪开分割成三块，如图1所示；如

图2，将三角形纸片①绕AB的中点M旋转至三角形纸片④处，将三角形纸片②绕AC的中点N旋转至三角形纸片⑤处，依此方法操作，可以把直角三角形纸片ABC拼接成一个与它面积相等的长方形纸片DBCE． 解决下列问题：

（1）如图3，一个任意三角形纸片ABC，将其分割后拼接成一个与三角形ABC的面积相等的长方形，在图3中画出分割的实线和拼接的虚线；

（2）如图4，一个任意四边形纸片ABCD，将其分割后拼接成一个与四边形ABCD的面积

第4页（共20页）

相等的长方形，在图4画出分割的实线和拼接的虚线．

北京市七年级上册期末数学试卷及答案（12）

一．选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（3分）A．﹣3

的相反数是（ ）

B．3

C．

D．

【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号． 【解答】解：根据相反数的定义，得故选：D．

【点评】本题考查的是相反数的求法．

2．（3分）地球与太阳之间的距离约为149600000千米，将149600000用科学记数法表示应为（ ） A．1496×10

3

的相反数是．

B．14.96×10

2

C．1.496×10

8

D．0.1496×10

8

9

【分析】根据科学记数法表示数的方法得到149600000＝1.496×10． 【解答】解：149600000＝1.496×10． 故选：C．

【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数：用a×10形式表示数的方法叫科学记数法．也考查了乘方的意义．

3．（3分）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）

n8

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A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．三个点不能在同一直线上

【分析】由直线公理可直接得出答案．

【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：C．

【点评】此题主要考查了考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 4．（3分） 如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC，若∠BOD＝55°，则∠AOC的度数是（ ）

A．110°

B．70°

C．55°

D．35°

【分析】先由角平分线的定义得出∠BOC＝2∠BOD，再根据邻补角定义即可求解． 【解答】解：∵OD平分∠BOC，∠BOD＝55°， ∴∠BOC＝2∠BOD＝110°， ∵AB是直线，

∴∠AOC＝180°﹣∠B0C＝70°． 故选：B．

【点评】此题考查角平分线与邻补角的定义，属于基础题，比较简单． 5．（3分）化简5（x+y）﹣3（x+y）的结果是（ ） A．2x+2y

B．2x+y

C．x+2y

D．2x﹣2y

【分析】先去括号，然后合并同类项可得答案． 【解答】解：原式＝5x+5y﹣3x﹣3y ＝5x﹣3x+5y﹣3y

第6页（共20页）

＝2x+2y． 故选：A．

【点评】本题考查整式的加减，属于基础题，注意去括号时符号的处理． 6．（3分）在解方程

时，去分母正确的是（ ）

A．（5x﹣1）＝（2x+1）﹣（2﹣x） B．2（5x﹣1）＝3（2x+1）﹣2﹣x C．10x﹣1＝6x+1﹣2+x

D．2（5x﹣1）＝3（2x+1）﹣（2﹣x）

【分析】方程两边都乘以分母的最小公倍数6整理即可得解．

【解答】解：方程两边都乘以6，去分母得，2（5x﹣1）＝3（2x+1）﹣（2﹣x）． 故选：D．

【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．

7．（3分）若（a+3）+|2b﹣2|＝0，则（a+2b）A．﹣2011

B．2011

2

2011

的值（ ）

D．﹣1

C．1

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，a+3＝0，2b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝1， 所以，（a+2b）故选：D．

【点评】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．

8．（3分）二元一次方程y＝20﹣4x的正整数解的个数是（ ） A．4个

B．5个

C．6个

D．无数个

2011

＝（﹣3+2×1）

2011

＝﹣1．

【分析】根据二元一次方程，取x为正整数，然后求解即可． 【解答】解：当x＝1时，y＝20﹣4×1＝16， 当x＝2时，y＝20﹣4×2＝12， 当x＝3时，y＝20﹣4×3＝8，

第7页（共20页）

当x＝4时，y＝20﹣4×4＝4，

当x＝5时，y＝20﹣4×5＝0（不符合），

所以，二元一次方程y＝20﹣4x的正整数解的个数是4． 故选：A．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，根据正整数解的定义，给x特殊值进行计算即可，比较简单．

9．（3分）如图表示一个正方体的平面展开图，把它折成一个正方体时，与顶点K重合的点是（ ）

A．点F、点N

B．点F、点B

C．点F、点M

D．点F、点A

【分析】当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，G与M重合、F与K重合、L与C重合、N与J重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时B与F、K的重合点重合，A与G、M的重合点重合．

【解答】解：当把这个平面图形折成正方体时，与顶点K重合的点是F、B． 故选：B．

【点评】本题是考查展开图折叠成几何体，训练学生观察和空间想象的能力，比较简单． 10．（3分）把全体自然数按下面的方式进行排列：

按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应是（ ） A．↓→

B．→↑

C．↑→

D．→↓

【分析】根据图象观察不难发现，每4个数为一个循环组依次进行循环，然后根据2010是第2011个自然数，用2011除以4，然后根据余数的情况确定2010所在的位置是0～3中的2的位置，然后写出箭头的方向即可得解．

【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组进行循环， 2010是第2011个自然数，

第8页（共20页）

∵2011÷4＝502…3，

∴2010在第3个位置，即2的位置， 从2010到2012应为2010↑2011→2012． 即箭头方向为↑→． 故选：C．

【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键，要特别注意，2010是第2011个自然数，这也是本题最容易出错的地方． 二．填空题（本题共20分，每小题2分）

11．（2分）用四舍五入法对0.00356保留两个有效数字得到的近似值是 3.6×10 ． 【分析】先用科学记数法表示为3.56×10，然后利用四舍五入保留两个有效数字得3.6×10．

【解答】解：0.00356＝3.56×10≈3.6×10． 故答案为3.6×10．

【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起，到这个数完为止，所有这些数字叫这个数的有效数字．也考查了科学记数法．

12．（2分）“比x的2倍小7的数”用式子表示为 2x﹣7 ． 【分析】表示出x的2倍，减去7即可列出式子． 【解答】解：根据题意列得：2x﹣7． 故答案为：2x﹣7

【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键． 13．（2分）已知关于x的方程ax﹣3＝0的解是x＝2，则a的值为

．

﹣3

﹣3

﹣3

﹣3

﹣3

﹣3

【分析】先把x＝2代入原方程解一个求出a的一元一次方程就可以求出a的值． 【解答】解：∵x＝2是方程ax﹣3＝0的解， ∴2a﹣3＝0， ∴a＝． 故答案为：

【点评】本题是一道关于一元一次方程解的计算题，考查了如何求一元一次方程的解，在解答的过程中注意对方程解得的意义的理解．

第9页（共20页）

14．（2分）如图，数轴上点P表示数a，将数a，﹣a，1按从小到大的顺序排列为 a＜1＜﹣a （用“＜”号连接）

【分析】根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大进行解答即可． 【解答】解：根据图形，∵右边的数总比左边数的大， ∴a＜1，且|a|＞1， ∵|a|＝﹣a， ∴1＜﹣a，

故数a，﹣a，1按从小到大的顺序排列为：a＜1＜﹣a． 故答案为：a＜1＜﹣a．

【点评】本题考查了数轴与实数的大小关系，熟练掌握数轴上的数，右边的数总比左边的数大是解题的关键．

15．（2分）如图，点C在线段AB的延长线上，且BC＝2AB，D是AC的中点，若AB＝6，则

AC的长为 18 ，BD的长为 3 ．

【分析】根据BC＝2AB求出BC＝12，根据AC＝AB+BC求出AC即可，根据线段中点得出

AD＝AC，求出AD，即可求出BD．

【解答】解：∵BC＝2AB，AB＝6， ∴BC＝12，

∴AC＝AB+BC＝6+12＝18， ∵D是AC的中点， ∴AD＝AC＝9，

∴BD＝AD﹣AB＝9﹣6＝3． 故答案为：18，3．

【点评】本题考查了两点之间的距离和线段的中点等知识点，关键是求出BC、AC的长，题目比较好，难度适中．

16．（2分）如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，若∠ABD＝26°，则∠CBE＝ 26 °．

第10页（共20页）

【分析】利用等角代换可得出∠ABD＝∠CBE，继而可得出答案． 【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠CBE＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE＝26°， 故答案为26°．

【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是根据∠ABD+∠DBC＝90°，∠

DBC+∠CBE＝90°，得出∠ABD＝∠CBE．

17．（2分）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是 60 度．

【分析】本题考查互补和互余的概念，和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角．

【解答】解：根据定义一个角的补角是150°， 则这个角是180°﹣150°＝30°， 这个角的余角是90°﹣30°＝60°． 故填60．

【点评】此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；两个角互为补角和为180°．

18．（2分）如果x+6xy＝16，y﹣4xy＝﹣12，那么x+2xy+y的值为 4 ． 【分析】两式相加得出x+6xy+y﹣4xy＝16+（﹣12），推出x+2xy+y＝4即可． 【解答】解：x+6xy＝16，y﹣4xy＝﹣12， ∵两式相加得：x+6xy+y﹣4xy＝16+（﹣12）， ∴x+2xy+y＝4， 故答案为：4．

【点评】本题考查了求代数式的值的应用，本题考查了学生的应变能力和计算能力，题目比较好，难度不大．

19．（2分）如图，点C、点D在线段AB上，E、F分别是AC、DB的中点，若AB＝16cm，CD＝7cm，则线段EF的长为 11.5cm cm．

第11页（共20页）

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

【分析】根据AB和CD的值求出AC+BD，根据线段的中点求出CE+DF，代入CE+DF+CD求出即可．

【解答】解：∵E、F分别是AC、DB的中点， ∴CE＝AC，DF＝BD， ∵AB＝16cm，CD＝7cm， ∴AC+BD＝16cm﹣7cm＝9cm， ∴CE+DF＝×9cm＝4.5cm，

∴EF＝CE+DF+CD＝4.5cm+7cm＝11.5cm， 故答案为：11.5cm

【点评】本题考查了线段的中点和两点间的距离，关键是能根据题意求出CE+DF的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．

20．（2分）将两个半径为1的四分之一圆的扇形纸片AOB、CO′D叠放在一起，如图所示（点

O、O′均在圆弧上），若四边形EOFO′是正方形，则整个阴影图形的面积是 ．

【分析】连OO′，由OO′＝1，得到正方形边长OE＝

OABOO′＝；再由S阴影部分＝S扇形

+S扇形O′CD﹣S正方形OEO′F，根据扇形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：连OO′，如图， 则OO′＝1， ∴OE＝

OO′＝；

﹣（

）＝

2

∴S阴影部分＝S扇形OAB+S扇形O′CD﹣S正方形OEO′F＝2×故答案为：

．

．

第12页（共20页）

【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S＝lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了正方形的性质． 三．用心算一算（本题共16分，每小题4分） 21．（4分）﹣13﹣（﹣15）+（﹣27）+10．

【分析】先根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，然后将负数与负数相加，正数与正数相加，继而可求得答案． 【解答】解：﹣13﹣（﹣15）+（﹣27）+10 ＝﹣13+15﹣27+10 ＝﹣40+25 ＝﹣15．

【点评】此题考查了有理数的加减混合运算．此题难度不大，注意掌握运算法则． 22．（4分）

（﹣

）×（﹣）

【分析】首先把除法统一化为乘法，再确定结果的符号，再把绝对值相乘即可． 【解答】解：原式＝＝＝

×．

×

×（﹣

）×（﹣）

【点评】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是首先统一化为乘法再计算，注意结果符号的判断． 23．（4分）（﹣2）×

3

．

【分析】原式第一项第一个因式表示三个﹣2的乘积，计算后再利用同号两数相乘的法则计算，第二项除数化为假分数，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分合并即可得到结果．

【解答】解：原式＝﹣8×（﹣）﹣×＝﹣＝﹣．

第13页（共20页）

【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算． 24．（4分）﹣4

2

÷0.8

3

．

【分析】首先计算平方，计算括号内的式子，然后计算乘除，最后进行加减运算即可求解．

【解答】解：﹣4+＝﹣16+＝﹣16+5+3﹣ ＝﹣8．

【点评】本题考查的是有理数的运算能力．注意：

（1）要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序； （2）去括号法则：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．

（3）整式中如果有多重括号应按照先去小括号，再去中括号，最后大括号的顺序进行． 四．先化简，再求值（本题4分） 25．（4分）

（6ab﹣4ab）﹣（5ab+3ab），其中a＝，b＝2．

2

2

2

÷0.8++3﹣

3

（4﹣）

【分析】先去括号，再合并，最后把a、b的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ab+3ab﹣2ab﹣5ab﹣3ab＝﹣6ab， 当a＝，b＝2时，原式＝﹣6××2＝﹣12．

【点评】本题考查了整式 的化简求值，解题的关键是注意去括号、合并同类项． 五．解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分） 26．（5分）

．

2

2

2

2

2

【分析】方程两边同时乘以12去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求得方程的解．

【解答】解：方程两边同时乘以12去分母得：4（2x+1）+3（2﹣5x）＝24 去括号，得8x+4+6﹣15x＝24

第14页（共20页）

移项，得8x﹣15x＝24﹣4﹣6 合并同类项，得﹣7x＝14 系数化为1，得x＝﹣2 故方程的解为x＝﹣2．

【点评】本题考查了一元一次方程的解法，解题的难点在于去分母，主要不要漏乘不含分母的项． 27．（5分）

．

【分析】把第二个方程整理得到y＝1﹣x，然后代入第一个方程消掉y求出x值，再反代入进行计算即可得解． 【解答】解：由②得，y＝1﹣x③，

③代入①得，3x﹣2（1﹣x）＝28， 解得x＝6，

把x＝6代入③得，y＝1﹣6＝﹣5， 所以，方程组的解是

． ，

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 六．列方程解应用题（本题共10分，每小题5分）

28．（5分）下面是某移动通信公司提供的两种移动电话计费方式收费表：

月租费 本地通话费

方式一 30元/月 0.30元/分

方式二 0 0.40元/分

在一个月内，本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式的收费一样？

【分析】设在一个月内，本地累计通话时间为x分钟时，两种方式收费一样，根据表格信息可得出方程，解出即可得出答案．

【解答】解：设在一个月内，本地累计通话时间为x分钟时，两种方式收费一样， 由题意得：30+0.3x＝0.4x， 解得：x＝300．

第15页（共20页）

答：在一个月内，本地累计通话时间为300分钟时，两种方式收费一样．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，仔细审题，获取表格信息，根据收费相同得出方程是解答本题的关键．

29．（5分）甲、乙两地相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半多5千米，动车平均每小时行驶多少千米？

【分析】首先设动车平均每小时行驶x千米，则快车平均每小时行驶（x+5）千米，进而表示出两车行驶的距离得出方程，求出即可．

【解答】解：设动车平均每小时行驶x千米，则快车平均每小时行驶（x+5）千米， 依据题意得出：120+2x+2（x+5）＝1120 解得：x＝330，

答：动车平均每小时行驶330千米．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，培养了学生应用数学解决生活中实际问题的能力，根据已知表示出两车行驶的总路程是解题关键． 七．解答题（本题共10分，第30题6分，第31题4分） 30．（6分）已知：如图1，∠AOB＝70°．

（1）如图2，射线OC在∠AOB的内部，OD平分∠AOC，若∠BOD＝40°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOD＝3∠B0C（∠BOC＜45°），且∠AOD＝的度数．

，请你画出图形，并求∠BOC

【分析】（1）根据角平分线的性质得出∠AOC＝2∠AOD＝60°，进而得出∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC即可；

（2）①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：i）若射线OD在∠AOC内部，ii）若射线OD在∠AOB外部，

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②当射线OD在∠AOB外部时，i）若射线DO在∠AOB内部，ii）若射线OD在∠AOB外部分别求出即可．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝70°，∠BOD＝40°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝70°﹣40°＝30°， ∵OD是∠AOC的平分线， ∴∠AOC＝2∠AOD＝60°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝10°；

（2）设∠BOC＝α， ∴∠BOD＝3∠BOC＝3α， 依据题意，分两种情况：

①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：

i）若射线OD在∠AOC内部，如图2，

∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α， ∵∠AOD＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝2α，

∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°， ∴α＝14°， ∴∠BOC＝14°；

ii）若射线OD在∠AOB外部，如图3，

∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α， ∵∠AOD＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝α，

∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3α﹣α＝α＝70°， ∴α＝30°， ∴∠BOC＝30°；

②当射线OD在∠AOB外部时， 依据题意，此时射线OC靠近射线OB，

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∵∠BOC＜45°，∠AOD＝∠AOC， ∴射线OD的位置也只有两种可能：

i）若射线DO在∠AOB内部，如图4，

则∠COD＝∠BOC+∠BOD＝4α， ∵∠AOD＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝4α， ∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4α，

∴AOB＝∠BOD+∠AOD＝3α+4α＝7α＝70°， ∴α＝10°， ∴∠BOC＝10°

ii）若射线OD在∠AOB外部，如图5，

则∠COD＝∠BOC+∠DOB＝4α， ∵∠AOD＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝α，

∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3α﹣α＝α＝70°， ∴α＝42°， ∴∠BOC＝42°，

综上所述：∠BOC的度数分别是10°，14°，30°，42°．

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【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及分类讨论思想的应用，根据已知正确分射线OD在∠AOB外部或内部得出是解题关键．

31．（4分）阅读下列材料：一个直角三角形纸片ABC，分别取AB、AC边的中点M、N，连接

MN，作∠AHM＝∠AHN＝90°，将三角形纸片沿AH、MN剪开分割成三块，如图1所示；如

图2，将三角形纸片①绕AB的中点M旋转至三角形纸片④处，将三角形纸片②绕AC的中点N旋转至三角形纸片⑤处，依此方法操作，可以把直角三角形纸片ABC拼接成一个与它面积相等的长方形纸片DBCE． 解决下列问题：

（1）如图3，一个任意三角形纸片ABC，将其分割后拼接成一个与三角形ABC的面积相等的长方形，在图3中画出分割的实线和拼接的虚线；

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（2）如图4，一个任意四边形纸片ABCD，将其分割后拼接成一个与四边形ABCD的面积相等的长方形，在图4画出分割的实线和拼接的虚线．

【分析】（1）过两边的中点垂直于第三边剪开，再把得到的两个小直角三角形进行拼接即可得到一矩形；

（2）先连接四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，然后沿两三角形平行于连接的四边形的对角线的中位线剪开，再把剪开得到的小三角形垂直于剪开的边过顶点剪开，进行拼接即可得到一矩形． 【解答】解：（1）如图3所示： （2）如图4所示：

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