2014届高三二轮专题突破-中档大题保分练(三)

中档大题保分练(三)

(推荐时间：50分钟)

A

3Acos x，cos 2x(A>0)，函数f(x)＝m·1． 已知向量m＝(sin x,1)，n＝n的最大值为6. 2

(1)求A；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来

125π1

0，上的值域． 的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在242A

解 (1)f(x)＝m·n＝3Asin xcos x＋cos 2x

2＝A

π312x＋. sin 2x＋cos 2x＝Asin622

因为A>0，由题意知A＝6. π

2x＋. (2)由(1)得f(x)＝6sin6

ππππ

x＋＋＝6sin2x＋的图将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin2312126象；

π1

4x＋的图再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin32象．

π

4x＋. 因此g(x)＝6sin35π0，， 因为x∈24ππ7π，， 所以4x＋∈3365π

0，上的值域为[－3,6]． 故g(x)在242． 某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，

并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员， 学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．

(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；

(2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各抽取多少人？

(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望． 176＋178

解 (1)中位数＝＝177 cm.

2

(2)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人， 51

用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是＝，

3061

所以选中的“合格”有12×＝2人，

61

“不合格”有18×＝3人．

6(3)依题意，X的取值为0,1,2.则 C228148P(X＝0)＝2＝＝，

C126633

1C11C832

P(X＝1)＝2＝＝，

C126633

C2614P(X＝2)＝2＝＝.

C126611因此，X的分布列如下：

X P 0 14 331 16 332 1 1114161222∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 333311333

3． 如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形，

∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝PB，BC＝2AD.点E在棱PA上， 且PE＝2EA.

(1)求证：CD⊥平面PBD； (2)求二面角A－BE－D的余弦值．

(1)证明 以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，

BP所在直线为z轴，建立如图所示坐标系． 设AD＝1，则

210，，， B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1,1,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，E33→→

CD＝(－1,1,0)，BP＝(0,0,1)， →

BD＝(1,1,0)．

→→∴CD·BP＝0，即CD⊥BP. →→CD·BD＝0，即CD⊥BD， 又PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD. (2)解 设平面EBD的法向量n＝(x，y,1)， 21→

0，， BE＝3321→n＝0BE·3y＋3＝0∴⇒

→n＝0BD·x＋y＝011

，－，1， ∴n＝22

→

又平面ABE的法向量为BC，设二面角的平面角为θ， →BC·n16

∴cos θ＝＝＝. →36|BC||n|2·2即二面角A－BE－D的余弦值为6. 6

4． 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a3a6＝55，a2＋a7＝16，数列{bn}的前n

项和为Sn，且Sn＝2bn－2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

an4n

(2)设cn＝，Tn＝c1＋c2＋„＋cn，试比较Tn与的大小，并予以证明．

bn2n＋1解 (1)依题意，设等差数列{an}的公差为d(d>0)，

a1＋2da1＋5d＝55 ①

则有

2a＋7d＝16 ②1

将②代入①得(16－3d)(16＋3d)＝220，

即d2＝4，∵d>0，∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1， 当n＝1时，S1＝2b1－2，b1＝2，

当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－2)－(2bn－1－2)

＝2bn－2bn－1， ∴bn＝2bn－1.

∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． 即bn＝2n.

(2)can2n－1n＝b＝n2n，

T＝122＋3

22＋„＋n－2

n1n

12T13

2n－32n－1n＝22＋23＋„＋2n＋2

n＋1

∴③－④得，12T＝12＋222＋223＋„＋22n－2n－1n2n＋1

＝12＋12＋122＋„＋1

2n－12n－1－2n＋1 1＝121－12n－12n－132n＋32＋1－1－2

n＋1＝2－2n＋1 2∴T2n＋3

n＝3－2

n.

2n＋32n＋32nT4n4n

－2n－1n－2n＋1＝3－2n－2n＋1＝2n＋12n，

要比较T4n

n与2n＋1的大小，

只需比较2n与2n＋1的大小即可．

由2<2×1＋1；22<2×2＋1；23>2×3＋1,24>2×4＋1，„ 可猜想当n≥3时，2n>2n＋1. 证明如下：1°当n＝3时，显然成立．

2°假设n＝k(k≥3)时，猜想成立，即2k>2k＋1， 当n＝k＋1时，

2k＋

1＝2·2k>2(2k＋1)＝4k＋2

＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)>2(k＋1)＋1. ∴当n＝k＋1时，猜想也成立．

由1°，2°知，对一切n≥3的正整数，都有2n>2n＋1. 综上，当n＝1,2时，Tn<

4n2n＋1，当n≥3时，T4n

n>2n＋1

.

③ ④