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2014届高三二轮专题突破-中档大题保分练(三)

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中档大题保分练(三)

(推荐时间:50分钟)

A

3Acos x,cos 2x(A>0),函数f(x)=m·1. 已知向量m=(sin x,1),n=n的最大值为6. 2

(1)求A;

π

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来

125π1

0,上的值域. 的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在242A

解 (1)f(x)=m·n=3Asin xcos x+cos 2x

2=A

π312x+. sin 2x+cos 2x=Asin622

因为A>0,由题意知A=6. π

2x+. (2)由(1)得f(x)=6sin6

ππππ

x++=6sin2x+的图将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin2312126象;

π1

4x+的图再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin32象.

π

4x+. 因此g(x)=6sin35π0,, 因为x∈24ππ7π,, 所以4x+∈3365π

0,上的值域为[-3,6]. 故g(x)在242. 某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,

并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员, 学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.

(1)求甲队队员跳高成绩的中位数;

(2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则各抽取多少人?

(3)若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望. 176+178

解 (1)中位数==177 cm.

2

(2)根据茎叶图,有“合格”12人,“不合格”18人, 51

用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是=,

3061

所以选中的“合格”有12×=2人,

61

“不合格”有18×=3人.

6(3)依题意,X的取值为0,1,2.则 C228148P(X=0)=2==,

C126633

1C11C832

P(X=1)=2==,

C126633

C2614P(X=2)=2==.

C126611因此,X的分布列如下:

X P 0 14 331 16 332 1 1114161222∴E(X)=0×+1×+2×==. 333311333

3. 如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,

∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=PB,BC=2AD.点E在棱PA上, 且PE=2EA.

(1)求证:CD⊥平面PBD; (2)求二面角A-BE-D的余弦值.

(1)证明 以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,

BP所在直线为z轴,建立如图所示坐标系. 设AD=1,则

210,,, B(0,0,0),C(2,0,0),D(1,1,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E33→→

CD=(-1,1,0),BP=(0,0,1), →

BD=(1,1,0).

→→∴CD·BP=0,即CD⊥BP. →→CD·BD=0,即CD⊥BD, 又PB∩BD=B,∴CD⊥平面PBD. (2)解 设平面EBD的法向量n=(x,y,1), 21→

0,, BE=3321→n=0BE·3y+3=0∴⇒

→n=0BD·x+y=011

,-,1, ∴n=22

又平面ABE的法向量为BC,设二面角的平面角为θ, →BC·n16

∴cos θ===. →36|BC||n|2·2即二面角A-BE-D的余弦值为6. 6

4. 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且a3a6=55,a2+a7=16,数列{bn}的前n

项和为Sn,且Sn=2bn-2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

an4n

(2)设cn=,Tn=c1+c2+„+cn,试比较Tn与的大小,并予以证明.

bn2n+1解 (1)依题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0),

a1+2da1+5d=55 ①

则有

2a+7d=16 ②1

将②代入①得(16-3d)(16+3d)=220,

即d2=4,∵d>0,∴d=2,a1=1,∴an=2n-1, 当n=1时,S1=2b1-2,b1=2,

当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)

=2bn-2bn-1, ∴bn=2bn-1.

∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. 即bn=2n.

(2)can2n-1n=b=n2n,

T=122+3

22+„+n-2

n1n

12T13

2n-32n-1n=22+23+„+2n+2

n+1

∴③-④得,12T=12+222+223+„+22n-2n-1n2n+1

=12+12+122+„+1

2n-12n-1-2n+1 1=121-12n-12n-132n+32+1-1-2

n+1=2-2n+1 2∴T2n+3

n=3-2

n.

2n+32n+32nT4n4n

-2n-1n-2n+1=3-2n-2n+1=2n+12n,

要比较T4n

n与2n+1的大小,

只需比较2n与2n+1的大小即可.

由2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1,24>2×4+1,„ 可猜想当n≥3时,2n>2n+1. 证明如下:1°当n=3时,显然成立.

2°假设n=k(k≥3)时,猜想成立,即2k>2k+1, 当n=k+1时,

2k+

1=2·2k>2(2k+1)=4k+2

=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1. ∴当n=k+1时,猜想也成立.

由1°,2°知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1. 综上,当n=1,2时,Tn<

4n2n+1,当n≥3时,T4n

n>2n+1

.

③ ④

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