中档大题保分练(三)
(推荐时间:50分钟)
A
3Acos x,cos 2x(A>0),函数f(x)=m·1. 已知向量m=(sin x,1),n=n的最大值为6. 2
(1)求A;
π
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来
125π1
0,上的值域. 的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在242A
解 (1)f(x)=m·n=3Asin xcos x+cos 2x
2=A
π312x+. sin 2x+cos 2x=Asin622
因为A>0,由题意知A=6. π
2x+. (2)由(1)得f(x)=6sin6
ππππ
x++=6sin2x+的图将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin2312126象;
π1
4x+的图再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin32象.
π
4x+. 因此g(x)=6sin35π0,, 因为x∈24ππ7π,, 所以4x+∈3365π
0,上的值域为[-3,6]. 故g(x)在242. 某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,
并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员, 学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.
(1)求甲队队员跳高成绩的中位数;
(2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则各抽取多少人?
(3)若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望. 176+178
解 (1)中位数==177 cm.
2
(2)根据茎叶图,有“合格”12人,“不合格”18人, 51
用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是=,
3061
所以选中的“合格”有12×=2人,
61
“不合格”有18×=3人.
6(3)依题意,X的取值为0,1,2.则 C228148P(X=0)=2==,
C126633
1C11C832
P(X=1)=2==,
C126633
C2614P(X=2)=2==.
C126611因此,X的分布列如下:
X P 0 14 331 16 332 1 1114161222∴E(X)=0×+1×+2×==. 333311333
3. 如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,
∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=PB,BC=2AD.点E在棱PA上, 且PE=2EA.
(1)求证:CD⊥平面PBD; (2)求二面角A-BE-D的余弦值.
(1)证明 以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,
BP所在直线为z轴,建立如图所示坐标系. 设AD=1,则
210,,, B(0,0,0),C(2,0,0),D(1,1,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E33→→
CD=(-1,1,0),BP=(0,0,1), →
BD=(1,1,0).
→→∴CD·BP=0,即CD⊥BP. →→CD·BD=0,即CD⊥BD, 又PB∩BD=B,∴CD⊥平面PBD. (2)解 设平面EBD的法向量n=(x,y,1), 21→
0,, BE=3321→n=0BE·3y+3=0∴⇒
→n=0BD·x+y=011
,-,1, ∴n=22
→
又平面ABE的法向量为BC,设二面角的平面角为θ, →BC·n16
∴cos θ===. →36|BC||n|2·2即二面角A-BE-D的余弦值为6. 6
4. 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且a3a6=55,a2+a7=16,数列{bn}的前n
项和为Sn,且Sn=2bn-2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
an4n
(2)设cn=,Tn=c1+c2+„+cn,试比较Tn与的大小,并予以证明.
bn2n+1解 (1)依题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0),
a1+2da1+5d=55 ①
则有
2a+7d=16 ②1
将②代入①得(16-3d)(16+3d)=220,
即d2=4,∵d>0,∴d=2,a1=1,∴an=2n-1, 当n=1时,S1=2b1-2,b1=2,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)
=2bn-2bn-1, ∴bn=2bn-1.
∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. 即bn=2n.
(2)can2n-1n=b=n2n,
T=122+3
22+„+n-2
n1n
12T13
2n-32n-1n=22+23+„+2n+2
n+1
∴③-④得,12T=12+222+223+„+22n-2n-1n2n+1
=12+12+122+„+1
2n-12n-1-2n+1 1=121-12n-12n-132n+32+1-1-2
n+1=2-2n+1 2∴T2n+3
n=3-2
n.
2n+32n+32nT4n4n
-2n-1n-2n+1=3-2n-2n+1=2n+12n,
要比较T4n
n与2n+1的大小,
只需比较2n与2n+1的大小即可.
由2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1,24>2×4+1,„ 可猜想当n≥3时,2n>2n+1. 证明如下:1°当n=3时,显然成立.
2°假设n=k(k≥3)时,猜想成立,即2k>2k+1, 当n=k+1时,
2k+
1=2·2k>2(2k+1)=4k+2
=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1. ∴当n=k+1时,猜想也成立.
由1°,2°知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1. 综上,当n=1,2时,Tn<
4n2n+1,当n≥3时,T4n
n>2n+1
.
③ ④
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