初中数学因式分解培优训练

第一讲：因式分解(一)

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将

其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

　　下面再补充几个常用的公式：　　

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；

2

(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　　例1 分解因式：　　

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．　　解 (1)原式

=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y

2)2]

　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2 　　　　　　　

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．　　(2)原式

=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　　

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．　　(3)原式

=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2　　　　　=(a-b+c)2．　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：　　原式

=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

3

　　　　=(a-b+c)2　　(4)原式

=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)　　　　　

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)　　　　　 =(a2-b2)(a5+b5)　　　　　

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　　　　

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

　　分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．　　解 原式

=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc　　　　　 =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)　　　　　

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc　　

　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即

4

a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

　　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．　　解 因为　　

x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以　　

的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．4 分解因式：x3-9x+8．

本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法

5

　　因式分解是多项式乘法　　例　　分析分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．　　解法1 将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9　　　　=(x3-1)-9x+9　　　　

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8　　　　=(x3-x)+(-8x+8)　　　　

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)　　　　

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法4 添加两项-x2+x2．　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8　　　　

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．　　例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x3-3；　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．　　解 (1)将-3拆成-1-1-1．　　原式=x9+x6+x3-1-1-1　　　　

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

6

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x

3+1)+(x3-1)

　　　　=(x3-1)(x6+2x3+3)　　　　

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．　　(2)将4mn拆成2mn+2mn．　　原式

=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn　　　　

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn　　　　

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)　　　　=(mn+1)2-(m-n)2　　　　

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．　　(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．　　原式

=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4　　　　=

［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

　　　　=

［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2　　　　

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

　　(4)添加两项+ab-ab．　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab　　　　

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)　　　　

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)　　　　=a(a-b)

［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)　　　　

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)　　　　

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．　　说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成

7

的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法

复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12． 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 设x2+x=y，则

　　原式

=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10　　　　

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)　　　　

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．　　说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．　　例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．　　分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．　　解 原式

=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90　　　　　

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

8

　　　　换元法指的是将一个较　　例　　分析　　解　　　　　

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．

　　令y=2x2+5x+2，则　　原式=y(y+1)-90=y2+y-90　　　　=(y+10)(y-9)　　　　

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)　　　　

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．　　说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

　　例8 分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　解 设x2+4x+8=y，则　　原式

=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)　　　　

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)　　　　

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．　　说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原

式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6

［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

9

　　例　　解法　　　　　　　

　　　　　　　　　说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．　　解法2　　 　　　

　　原式=x2[6(t2+2)+7t-36]　　　　

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)　　　　

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]　　　　

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)　　　　

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

　　1．双十字相乘法　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些

　　例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．　　分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．　　解 原式

=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则　　原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)　　　　=u4-6u2v+9v2　　　　=(u2-3v)2

　　　　=(x2+2xy+y2-3xy)2　　　　=(x2-xy+y2)2．

第二讲：因式分解(二)

二元二次六项式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我

10

们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即：

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］　　　　

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：

11

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；　　

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的

ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　例1 分解因式：　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；　　(2)x2-y2+5x+3y+4；　　(3)xy+y2+x-y-2；　　

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z

2．

　　解 (1)

　　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．　　(2)

　　原式=(x+y+1)(x-y+4)．

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(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

　　原式=(y+1)(x+y-2)．　　(4)

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　　　　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

　　说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．　　2．求根法

　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)　　f(1)=12-3×1+2=0；

　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

　　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

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　　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．　　定理2　　

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．

　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

　　例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．

　　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有

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　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，

　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

　　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．

　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．

　　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

　　所以

原式=(x-2)(x2-2x+2)．

　　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

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　　例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．　　分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：

　　所以，原式有因式9x2-3x-2．　　解 9x4-3x3+7x2-3x-2　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2　　　=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2　　　=(9x2-3x-2)(x2+1)　　　=(3x+1)(3x-2)(x2+1)

　　说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

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　　总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．

　　3．待定系数法

　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

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　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．　　分析 由于

　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．　　解 设

　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　=(x+2y+m)(x+y+n)

　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

　　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

　　例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

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　　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．　　解 设

　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　　　所以

　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

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　　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

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