1.（2020·浙江省湖州模拟）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．则该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为( )
A．23 C．62
B．6 D．12
2．（2020·黑龙江省绥化模拟）一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )
A．①① C．①①
B．①① D．①①
3.（2020·湖北省鄂州模拟）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．3π＋6 C．3π＋12
B．6π＋6 D．12
4．（2020·安徽省安庆模拟）体积为3的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA①平面ABC，PA＝2，①ABC＝120°，则球O的体积的最小值为( )
77A.π
31919C.π
3
287B.π
37619D.π
3
5．（2020·广东省深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将①DAP绕直线DP翻转至①DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为( )
1A. 21C. 4
B．2
D．4
6.（2020·山东省青岛模拟）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为( )
A．AC①BD B．AC＝BD C．AC①截面PQMN
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
7．（2020·广西省北海模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将①ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )
A．2 C．4
B．3 D．5
8．（2020·陕西省宝鸡模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①AC①BE； ①B1E①平面ABCD；
①三棱锥E－ABC的体积为定值；
①B1E①BC1.
9．（2020·山东省菏泽模拟）如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．则该几何体的俯视图的面积为________，棱PA的长度为________．
10．（2020·四川省宜宾模拟）如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，①AVB＝①BVC＝①CVA＝40°，过A作截面AEF，①AEF周长的最小值为________．
11．（2020·甘肃省酒泉模拟）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部分相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积为________，表面积为________．
12．（2020·云南省临沧模拟）α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB①α于B，CD①α于D，若增加一个条件，就能得出BD①EF，现有下列条件：
①AC①β；
①AC与α，β所成的角相等；
①AC与CD在β内的射影在同一条直线上； ①AC①EF.
其中能成为增加条件的序号是________．
13.（2020·内蒙赤峰四中模拟）如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN①平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
14．(2020·湖南长沙模拟)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为
AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为①ABC的重心．从K，H，G，B′四点中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为________．
15．(2020·安徽合肥调研)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，M为棱AB上一点，BC1①平面A1MC.
(1)求证：AM＝BM；
(2)若①ABC是等边三角形，AB＝AA1，①A1AB＝①A1AC＝60°，①A1MC的面积为42，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
16.（2020·陕西省汉中模拟）如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA①底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
17．(2020·四川成都模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD①平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA①PD，AD①CD，①BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN①平面PCD； (2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．
18．（2020·安徽省铜陵模拟）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE①平面A1MC？请证明你的结论．
19．（2020·吉林省通化模拟）如图(1)，在Rt①ABC中，①ABC＝90°，D为AC的中点，AE①BD于点
E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将①ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM①平面A1EF； (2)求证：BD①A1F；
(3)若平面A1BD①平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．
单元测试
1.（2020·浙江省湖州模拟）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．则该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为( )
A．23 C．62 【答案】B 【解析】
B．6 D．12
由三视图可画出直观图，如图所示，该多面体中两个全等的梯形的面，为该多面体的各个面中面积最1
大的面，S梯形＝×2×(2＋4)＝6.故选B.
2
2．（2020·黑龙江省绥化模拟）一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )
A．①① C．①① 【答案】D
【解析】由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为①；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为①.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.
3.（2020·湖北省鄂州模拟）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
B．①① D．①①
A．3π＋6 C．3π＋12 【答案】A
【解析】由三视图还原几何体如图，该几何体为组合体，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱1111
锥，则其体积V＝××π×32×4＋××3×3×4＝3π＋6.故选A.
4332
B．6π＋6 D．12
4．（2020·安徽省安庆模拟）体积为3的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA①平面ABC，PA＝2，①ABC＝120°，则球O的体积的最小值为( )
77A.π
31919C.π
3【答案】B
133
【解析】设AB＝c，BC＝a，AC＝b，由题可得，3＝×S①ABC×2，解得S①ABC＝，因为①ABC＝120°，
32S①ABC＝
331
＝acsin 120°，所以ac＝6，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝22
287B.π
37619D.π
3
b
3ac＝18，当且仅当a＝c时取等号，此时bmin＝32，设①ABC外接圆的半径为r，则＝2r(b最小，
sin 120°
32则外接圆半径最小)，故＝2rmin，
32
所以rmin＝6，如图，设O1为①ABC外接圆的圆心，过O作OD①PA，垂足为D，R为球O的半径，
222
连接O1A，O1O，OA，OD，PO，设OO1＝h，在Rt①OO1A中，R2＝r2＋OO21＝r＋h，在Rt①OPD 中，R
4342＝6＋1＝7，＝r2＋(2－h)2，联立得h＝1.当rmin＝6时，RminRmin＝7，故球O体积的最小值为πRmin＝π×(7)3
33＝
287π，故选B. 3
5．（2020·广东省深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将①DAP绕直线DP翻转至①DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为( )
1A. 21C. 4
【答案】A 【解析】
B．2
D．4
取A′D的中点N，连接PN，MN，
①M是A′C的中点， 1
①MN①CD，且MN＝CD.
2
①四边形ABCD是矩形，P是AB的中点， 1
①PB①CD，且PB＝CD，
2①MN①PB，且MN＝PB， ①四边形PBMN为平行四边形， ①MB①PN，
①①A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角．
A′N1＝， A′P2
在Rt①A′PN中，tan ①A′PN＝
1
①异面直线BM与PA′所成角的正切值为.故选A.
2
6.（2020·山东省青岛模拟）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为( )
A．AC①BD B．AC＝BD C．AC①截面PQMN
D．异面直线PM与BD所成的角为45° 【答案】B
【解析】因为截面PQMN是正方形， 所以PQ①MN，QM①PN，
则PQ①平面ACD，QM①平面BDA， 所以PQ①AC，QM①BD，
由PQ①QM，可得AC①BD，故A正确； 由PQ①AC，可得AC①截面PQMN，故C正确； 由BD①PN，
所以①MPN(或其补角)是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，故D正确； 由上面可知，BD①PN，MN①AC. PNANMNDN所以＝，＝，
BDADACAD而AN≠DN，PN＝MN，
所以BD≠AC，故B错误．故选B.
7．（2020·广西省北海模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将①ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )
A．2 C．4
B．3 D．5
【答案】B
【解析】设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E①平面ABC， ①D1E①平面ABD1， ①平面ABD1①平面ABC.
①D1E①平面ABC，BC①平面ABC，①D1E①BC， 又AB①BC，D1E∩AB＝E， ①BC①平面ABD1.
又BC①平面BCD1，①平面BCD1①平面ABD1. ①BC①平面ABD1，AD1①平面ABD1， ①BC①AD1，又CD1①AD1，BC∩CD1＝C， ①AD1①平面BCD1.
又AD1①平面ACD1，①平面ACD1①平面BCD1. ①共有3对平面互相垂直．故选B.
8．（2020·陕西省宝鸡模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①AC①BE； ①B1E①平面ABCD；
①三棱锥E－ABC的体积为定值； ①B1E①BC1.
【解析】因为AC①平面BDD1B1，所以AC①BE，故①正确；因为B1D1①平面ABCD，所以B1E①平面1ABCD，故①正确；记正方体的体积为V，则VE－ABC＝V，为定值，故①正确；B1E与BC1不垂直，故①错误．
6
【答案】①①①
9．（2020·山东省菏泽模拟）如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．则该几何体的俯视图的面积为________，棱PA的长度为________．
【解析】
该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2. 由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝62(cm)． 由正视图可知AD＝6 cm，且AD①PD， 所以在Rt①APD中，
PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝63(cm)． 【答案】36 cm2 63 cm
10．（2020·四川省宜宾模拟）如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，①AVB＝①BVC＝①CVA＝40°，过A作截面AEF，①AEF周长的最小值为________．
【解析】如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求①AEF的周长的最小值．
取AA1的中点D，
连接VD，则VD①AA1，①AVD＝60°.
在Rt①VAD中，
AD＝VA·sin 60°＝3，
所以AA1＝2AD＝6，即①AEF周长的最小值为6. 【答案】6
11．（2020·甘肃省酒泉模拟）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部分相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积为________，表面积为________．
【解析】由三视图可知，榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积V＝4×2×3＋π×32×6＝24＋54π，表面积S＝2×π×32＋2×π×3×6＋4×3×2＋2×2×3＝54π＋36.
【答案】24＋54π 54π＋36
12．（2020·云南省临沧模拟）α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB①α于B，CD①α于D，若增加一个条件，就能得出BD①EF，现有下列条件：
①AC①β；
①AC与α，β所成的角相等；
①AC与CD在β内的射影在同一条直线上； ①AC①EF.
其中能成为增加条件的序号是________．
【解析】由题意得，AB①CD，所以A，B，C，D四点共面，
①中，因为AC①β，EF①β，所以AC①EF.又因为AB①α，EF①α，所以AB①EF. 因为AB∩AC＝A，所以EF①平面ABDC.
又因为BD①平面ABDC，所以BD①EF，故①正确；①中，由①可知，若BD①EF成立，则有EF①平面ABDC，则有EF①AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF①AC的，故①错误；
①中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF①AC，由①可知①正确； ①中，仿照①的分析过程可知①错误． 【答案】①①
13.（2020·内蒙赤峰四中模拟）如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN①平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
【解析】连接HN，FH，FN，则FH①DD1，HN①BD，所以平面FHN①平面B1BDD1，只需M①FH，则MN①平面FHN，所以MN①平面B1BDD1.
【答案】点M在线段FH上(或点M与点H重合)
14．(2020·湖南长沙模拟)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为①ABC的重心．从K，H，G，B′四点中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为________．
【解析】取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM
1CC′2
KF，得四边形EFKM为平行四
边形，若取点K为P，则AA′①BB′①CC′①PF，故与平面PEF平行的棱超过2条，不符合题意；因为HB′①MK，MK①EF，所以HB′①EF，若取点H或B′为P，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合题意；连接BC′，则EF①A′B′①AB，若取点G为P，则AB，A′B′与平面PEF平行．
【答案】G
15．(2020·安徽合肥调研)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，M为棱AB上一点，BC1①平面A1MC.
(1)求证：AM＝BM；
(2)若①ABC是等边三角形，AB＝AA1，①A1AB＝①A1AC＝60°，①A1MC的面积为42，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
【解析】(1)证明：如图，连接AC1交A1C于N，连接MN.
①BC1①平面A1MC，BC1①平面ABC1，平面ABC1∩平面A1MC＝MN， ①BC1①MN.
由三棱柱ABC－A1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，①N为AC1的中点． ①M为AB的中点，即AM＝BM. (2)连接A1B，
①①ABC是等边三角形，AB＝AA1，①A1AB＝①A1AC＝60°， ①①ABC，①AA1B，①AA1C是全等的等边三角形， 由(1)知，M为AB的中点，①A1M①AB，CM①AB. ①A1M∩CM＝M，①AB①平面A1MC. 设AB＝2a，则A1M＝CM＝3a，A1C＝2a，
1
①①A1MC的面积为·2a·2a＝2a2＝42，解得a＝2，即AM＝2，
2182①V三棱锥A－A1MC＝·S①A1MC·AM＝，
33从而V三棱柱ABC－A1B1C1＝6·V三棱锥A－A1MC＝162.
16.（2020·陕西省汉中模拟）如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA①底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4， 18
所以四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
33
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，①ME①OC，则①EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，
①(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2， ①①DEM为直角三角形， DE26
①tan①EMD＝＝＝，
EM33
①异面直线OC与MD所成角的正切值为
6
. 3
17．(2020·四川成都模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD①平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA①PD，AD①CD，①BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN①平面PCD； (2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．
【解析】(1)证明：如图，连接BD.①AB＝AD，①BAD＝60°，①①ABD为正三角形．①M为AD的中点，①BM①AD.①AD①CD，CD，BM①平面ABCD，①BM①CD.
又BM①平面PCD，CD①平面PCD，①BM①平面PCD. ①M，N分别是AD，PA的中点，①MN①PD. 又MN①平面PCD，PD①平面PCD， ①MN①平面PCD.
又BM，MN①平面BMN，BM∩MN＝M， ①平面BMN①平面PCD.
(2)在(1)中已证BM①AD.
①平面PAD①平面ABCD，BM①平面ABCD，①BM①平面PAD. 又AD＝6，①BAD＝60°，①BM＝33.
2111
AD＝32，①①PMN的面积S①PMN＝S①PAD＝××(32)22442
①M，N分别是AD，PA的中点，PA＝PD＝9
＝. 4
11993①三棱锥P－BMN的体积VP－BMN＝VB－PMN＝S①PMN·BM＝××33＝.
3344
18．（2020·安徽省铜陵模拟）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设
D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE①平面A1MC？请证明你的结论．
【解析】存在点M为线段AB的中点，使DE①平面A1MC，证明如下： 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C与AC1的交点． 由已知，O为AC1，A1C的中点．
连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为①ABC，①ACC1的中位线， 所以MD
1
AC，OE2
1
AC，因此MD2
OE.
从而四边形MDEO为平行四边形，则DE①MO. 因为DE①平面A1MC，MO①平面A1MC， 所以DE①平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使DE①平面A1MC.
19．（2020·吉林省通化模拟）如图(1)，在Rt①ABC中，①ABC＝90°，D为AC的中点，AE①BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将①ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM①平面A1EF； (2)求证：BD①A1F；
(3)若平面A1BD①平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．
【解析】(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM①EF，又EF①平面A1EF，DM①平面A1EF，所以DM①平面A1EF.
(2)证明：因为A1E①BD，EF①BD且A1E∩EF＝E， 所以BD①平面A1EF.
又A1F①平面A1EF，所以BD①A1F. (3)直线A1B与直线CD不能垂直． 理由如下：
因为平面A1BD①平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF①BD，EF①平面BCD，所以EF①平面A1BD. 因为A1B①平面A1BD，所以A1B①EF. 又因为EF①DM，所以A1B①DM. 假设A1B①CD，
因为CD∩DM＝D，所以A1B①平面BCD，
所以A1B①BD，这与①A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．
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