辽宁省锦州市北镇市2020-2021学年八年级(下)期末数学试卷(含解析)

数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3B．x+3＜y+3C．﹣3x＜﹣3yD．2．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ） A．40°B．70°C．100°D．40° 或100°

3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

4．下列各式的因式分解正确的是（ ） A．a2﹣a+＝（a﹣）2 B．a3﹣4a＝a（a2﹣4） C．a2﹣2a﹣4＝a（a﹣2）﹣4 D．9a2﹣4b2＝（3a+4b）（3a﹣4b） 5．分式

有意义的x的取值范围为（ ）

A．x≠2B．x≠3C．x＝2D．x＝3

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝3

，则点D到AB的距离为．

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7．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）

A．2B．3C．4D．6

8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）

A．4B．6C．8D．10 二、填空题（共8小题）. 9．分解因式：2a3﹣4a2+2a＝．

10．若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是． 11．若关于x的分式方程

＝的解为非负数，则a的取值范围是．

12．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使

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点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为．

14．如图，一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则不等式ax＞bx﹣5的解集为．

15．如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝．

16．在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若EF＝2，则AB的长为．

三、解答题：本大题共3个小题，17题12分，18题，19题各7分，共26分． 17．计算：

（1）因式分解：（a2+1）2﹣4（a2+1）+4．

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（2）解不等式组：18．解方程：

19．先化简，再求值：（

．

．

﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．

四、解答题（本大题共8分）

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．

（1）△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为（3，0），请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

（2）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

21．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF；

（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．

4 / 22

22．如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．

（1）AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由． （2）求证：四边形AECG是平行四边形．

六、解答题（本大题9分）

23．为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：

粽子价格 进价（元/盒） 售价（元/盒）

甲品牌 m 24

乙品牌 m﹣2 16

已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同． （1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？

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七、解答题（本大题9分）

24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；

（2）如图2，点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝

AM．

参

一、选择题（共8小题）.

1．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3B．x+3＜y+3C．﹣3x＜﹣3yD．解：∵x＞y，

∴x_3＞y﹣3，x+3＞y+3，﹣3x＜﹣3y，x＞y． 故选：B．

2．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ） A．40°B．70°C．100°D．40° 或100°解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，

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当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°， 故选：D．

3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：A．

4．下列各式的因式分解正确的是（ ） A．a2﹣a+＝（a﹣）2 B．a3﹣4a＝a（a2﹣4） C．a2﹣2a﹣4＝a（a﹣2）﹣4 D．9a2﹣4b2＝（3a+4b）（3a﹣4b） 解：A、a2﹣a+＝（a﹣）2，符合题意；

B、a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2），不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意；

D、原式＝（3a+2b）（3a﹣2b），不符合题意． 故选：A． 5．分式

有意义的x的取值范围为（ ）

A．x≠2B．x≠3C．x＝2D．x＝3

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解：由题意得：x﹣3≠0， 解得：x≠3， 故选：B．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝3

，则点D到AB的距离为3．

解：过D作⊥AB于E，则线段DE的长度是点D到AB的距离，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，

∵∠ABC的平分线BD交AC于点D， ∴∠CBD＝∴BD＝2CD，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2， 即（2CD）2＝（3

）2+CD2， ABC＝30°，

解得：CD＝3（负数舍去），

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3，

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点D到AB的距离为3， 故答案为：3．

7．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）

A．2B．3C．4D．6

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8，

∵点E、F分别是BD、CD的中点， 8＝4． ∴EF＝BC＝×故选：C．

8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）

A．4B．6C．8D．10

解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

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∴OD∥AB， 又∵OC＝OA，

∴OD是△ABC的中位线， ∴OD＝AB＝3， ∴DE＝2OD＝6． 故选：B．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．分解因式：2a3﹣4a2+2a＝2a（a﹣1）2． 解：原式＝2a（a2﹣2a+1）＝2a（a﹣1）2， 故答案为：2a（a﹣1）2

10．若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是8． 解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程 360°180° ＝（n﹣2）×解得n＝8 故答案为8． 11．若关于x的分式方程

＝的解为非负数，则a的取值范围是a≥1，且a≠4．

解：两边同时乘以2（x﹣2）， 得：4x﹣2a＝x﹣2， 解得x＝

，

由题意可知，x≥0，且x≠2，

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∴，解得：a≥1，且a≠4，

故答案为：a≥1，且a≠4．

12．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为40°．

解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D， ∵直线l∥m， ∴l∥m∥n，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠2+∠3＝60°，

∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°， ∴∠1＝40°．

故答案为：40°．

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13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为

．

解：

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5，

∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED， ∴∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝4，DE＝BC＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，

连接BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD＝即B、D两点间的距离为故答案为：

．

，

＝

＝

，

14．如图，一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则不等式ax＞bx﹣5的解集为x＜2．

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解：∵一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1）， ∴当x＜2时，ax+2＞bx﹣3， 即不等式ax＞bx﹣5的解集为x＜2． 故答案为x＜2．

15．如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝3．

解：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴NA＝NB，

∵△BCN的周长为7， ∴BC+CN+BN＝7，

∴BC+CN+AN＝BC+AC＝7， ∴BC＝7﹣AC＝3， 故答案为：3．

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16．在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若EF＝2，则AB的长为4或6．

解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，

∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∵EF＝2，

∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝10， ∴AB＝6；

②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，

∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∵EF＝2，

∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝10， ∴AB＝4；

综上所述：AB的长为4或6．

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故答案为：4或6．

三、解答题：本大题共3个小题，17题12分，18题，19题各7分，共26分． 17．计算：

（1）因式分解：（a2+1）2﹣4（a2+1）+4． （2）解不等式组：

．

解：（1）（a2+1）2﹣4（a2+1）+4 ＝（a2+1﹣2）2 ＝（a2﹣1）2

＝（a﹣1）2（a+1）2； （2）

，

解不等式①，得x≥﹣2， 解不等式②，得x＜1，

所以，原不等式组的解集是：﹣2≤x＜1． 18．解方程：

．

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解：方程的两边同乘2（2x﹣1），得 2＝2x﹣1﹣3， 解得x＝3．

检验：把x＝3代入2（2x﹣1）≠0． 所以原方程的解为：x＝3． 19．先化简，再求值：（【解答】解；原式＝[＝＝当x＝原式＝

，

时，

＝

＝2

﹣x+1）÷

]•

，其中x＝

﹣2．

四、解答题（本大题共8分）

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．

（1）△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为（3，0），请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

（2）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

16 / 22

解：（1）如图，△A1B1C1为所求，此时点C1的坐标为（4，﹣2）； （2）如图，△A2B2C2为所求，此时点B2的坐标为（2，﹣5）．

五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

21．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF；

（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

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∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中，

∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO，（ASA） ∴OE＝OF；

（2）∵OE＝OF，OE＝3.5， ∴EF＝2OE＝7， 又∵EF⊥AD，

EF＝63， ∴S▱ABCD＝AD×∴AD＝9．

22．如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．

（1）AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由． （2）求证：四边形AECG是平行四边形．

【解答】（1）解：AG⊥CG．理由如下： ∵点E，F分别是边AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，AF＝CF，

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∴EF∥BC， ∴∠FGC＝∠GCD， ∵CG平分∠ACD， ∴∠ACG＝∠GCD， ∴∠ACG＝∠FGC， ∴FG＝FC， 又∵AF＝CF， ∴AF＝FG， ∴∠FAG＝∠AGF，

∵∠FAG+∠AGF+∠FGC+∠ACG＝180°， ∴∠FAG+∠ACG＝∠AGF+∠FGC＝90°， 即∠AGC＝90°， ∴AG⊥CG；

（2）证明：由（1）可知，AF＝CF＝FG， ∴FG＝AC，

∵点E，F分别是边AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC， ∵BC＝AC， ∴FG＝EF， 又∵AF＝CF，

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∴四边形AECG是平行四边形． 六、解答题（本大题9分）

23．为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：

粽子价格 进价（元/盒） 售价（元/盒）

甲品牌 m 24

乙品牌 m﹣2 16

已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同． （1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？ 解：（1）根据题意，得解这个方程，得m＝10． 经检验，m＝10是所列方程的根． 所以m的值为10．

（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒， 根据题意，得2170≤（24﹣10）x+（16﹣8）（200﹣x）≤2200， 解这个不等式组，得95≤x≤100．

∵x为正整数，∴x可取95、96、97、98、99、100． ∴该超市共有6种进货方案．

20 / 22 ，

七、解答题（本大题9分）

24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；

（2）如图2，点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝

AM．

解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠CAD＝∠B，AD＝BD， ∵∠EDF＝∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF；

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（2）如图，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，

∴∠AMP＝90°， ∵∠PAM＝45°， ∴∠P＝∠PAM＝45°， ∴AM＝PM，

∵∠BMN＝∠AMP＝90°， ∴∠BMP＝∠AMN， ∵∠DAC＝∠P＝45°， 在△AMN与△PMB中，

，

∴△AMN≌△PMB（ASA）， ∴AN＝PB，

∴AP＝AB+BP＝AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP， ∴AP＝

AM，

AM．

∴AB+AN＝

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