2014届高三数学一轮复习 平面向量基本定理及坐标表示提分训练题

平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( ) A．(6,3) C．(2,1)

B．(－2，－6)

D．(7,2)

解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B

2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x)，则向量a＋b( )． A．平行于x轴

B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴

D．平行于第二、四象限的角平分线

解析 由题意得a＋b＝(x－x,1＋x)＝(0,1＋x)，易知a＋b平行于y轴． 答案 C

3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )． A．(－2，－4) C．(－4，－8)

B．(－3，－6) D．(－5，－10)

2

2

2

解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案 C

→→

4. 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为( ) A．(3,1) B．(1，－1) C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个

→→→→→→→→

解析 设P(x，y)，则由|AB|＝2|AP|，得AB＝2AP或AB＝－2AP，AB＝(2,2)，AP＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1， P(1，－1)． 答案 C

5.若向量AB=（1,2），BC=（3,4），则AC=( )

A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2) 答案 A

解析 因为AC=AB+BC=(4,6),所以选A.

6．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则

z的取值范围为( )．

A．[－2,2]

B．[－2,3]

1

C．[－3,2] D．[－3,3]

解析 因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1 x＋y≤1 x≥0，y，x－y≤1 x≥0，y＜，

可转化为－x＋y≤1 x＜0，y，

－x－y≤1 x＜0，y＜，

由图可得其对应的可行域为边长为

2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]． 答案 D

m其中λ，m，α为实数．若22

7．设两个向量a＝(λ＋2，λ－cos α)和b＝m，＋sin α，

2

a＝2b，则的取值范围是( )．

mA．[－6,1]

B．[4,8] D．[－1,6]

λ

C．(－∞，1]

λ＋2＝2m，

解析 由a＝2b，得22

λ－cosα＝m＋2sin α.

2

2

2

由λ－m＝cosα＋2sin α＝2－(sin α－1)，得 －2≤λ－m≤2，又λ＝2m－2，

4m－9m＋2≤0，2

则－2≤4(m－1)－m≤2，∴2

4m－9m＋6≥0.

2

2

1λ2m－22

解得≤m≤2，而＝＝2－，

4mmmλ

故－6≤≤1，即选A.

m答案 A 二、填空题

8. 设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 解析 ∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，

∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2. 答案 2

2

11

9．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．

ab→→

解析 AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 111

即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. ab21答案

2

10．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 解析 设a＝λb(λ＜0)，则|a|＝|λ||b|， |a|∴|λ|＝，

|b|

又|b|＝5，|a|＝25. ∴|λ|＝2，∴λ＝－2.

∴a＝λb＝－2(2,1)＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)

11．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.

又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋

n)e2.

m－n＝1，

由平面向量基本定理，得

2m＋n＝1，

2

m＝，3所以1

n＝－3.

21

答案 － 33

12．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，

C(8,6)，则D点的坐标为________．

解析 由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设

→→

D(x，y)，则有AB＝DC，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．

答案 (0，－2) 三、解答题

3

→→→→11

13．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝AB，DA＝－BA，求点C，D的坐标和CD的坐标．

33解析 设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

→

→

→

→

→

由题意得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，

→

DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．

→→→

11

因为AC＝AB，DA＝－BA，所以有

33

x1＋1＝1，

y1－2＝2，

解得

x1＝0，

y1＝4，

－1－x2＝1，和2－y2＝2.

和

x2＝－2，y2＝0.

→

所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)． 14．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)． (1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式； (2)若AC＝2AB，求点C的坐标．

解析：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)， ∵A、B、C三点共线，∴AB∥AC. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵AC＝2AB，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，

a－1＝4，∴

b－1＝－4，

a＝5，

解得

b＝－3.

∴点C的坐标为(5，－3)．

→15．已知向量OA＝(3,4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角

→

→

形，求实数m满足的条件．

→

→→→

→→

解析 ∵AB＝OB－OA＝(3，－7)，

AC＝OC－OA＝(2－m，－7－m)，

4

→→

又A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即AB，AC不共线， ∴3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0， 77

得m≠－，故m应满足m≠－.

1010

→

→

→

16．已知O(0,0)，A (1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，求 (1)t为何值时， P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 2

解析 (1)OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；若P在

3

1＋3t＜0，1

y轴上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，则

32＋3t＞0.

→→→

21

∴－＜t＜－.

33

→

→

→→

(2)因为OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则OA＝PB，∵

3－3t＝1，3－3t＝2

无解．所以四边形OABP不能成为平行四边形．

5