2020年四川省成都七中万达学校中考数学模拟试卷(三)(含解析)

2020年四川省成都七中万达学校中考数学模拟试

卷（三）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图是由4个完全一样的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A.

2.设𝑎为正整数，且√37<𝑎+1，则𝑎的最小值为（ ） A.5

3.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A.

C.

4.九年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（ ） A.4 5.若1√1−2𝑥11

3

1

2

B.

C.

D.

B.6 C.7 D.8

B.

D.

B.4 C.2 D.3

在实数范围内有意义，则𝑥的取值范围是（ ）

B.𝑥<2

C.𝑥≤2

1

A.𝑥<2

D.𝑥≥0

6.下列事件中，是必然事件的是（ ）

1

A.掷一次骰子，向上一面的点数是6

B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C.射击运动员射击一次，命中靶心 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

7.如图，𝑙1 // 𝑙2，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴、𝐵分别在直线𝑙1、𝑙2，则∠1+∠2＝（ ）

A.30∘

8.𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶＝90∘，𝐴𝐶=√15，𝐴𝐵＝4，则cos𝐵的值是（ ）

B.40∘

C.50∘

D.60∘

A.√15

4

B.3 1

C.√15

15

D.4

1

9.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为𝑥尺，下列方程符合题意的是（ ） A.(𝑥+2)2+(𝑥−4)2＝𝑥2 B.(𝑥−2)2+(𝑥−4)2＝𝑥2 C.𝑥2+(𝑥−2)2＝(𝑥−4)2 D.(𝑥−2)2+𝑥2＝(𝑥+4)2

10.如图所示，在平面直角坐标系中，直线𝑦1＝2𝑥+4分别与𝑥轴，𝑦轴交于𝐴，𝐵两点，以线段𝑂𝐵为一条边向右侧作矩形𝑂𝐶𝐷𝐵，且点𝐷在直线𝑦2＝−𝑥+𝑏上，若矩形𝑂𝐶𝐷𝐵的面积为20，直线𝑦1＝2𝑥+4与直线𝑦2＝−𝑥+𝑏交于点𝑃．则𝑃的坐标为（ ）

2

A.(2, 8)

B.(3,3)

1731

C.(,) 33

522

D.(4, 12)

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.3𝑥(𝑥−5)+2(5−𝑥)分解因式的结果为________．

12.将抛物线𝑦＝2𝑥2向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是________．

13.如图：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵＝90∘，以顶点𝐶为圆心，适当长为半径画弧，分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点𝐸、𝐹，再分别以点𝐸、𝐹为圆心，大于𝐸𝐹的长为半径画弧，两弧交于点𝑃，作射线𝐶𝑃交𝐴𝐵于点𝐷，若𝐵𝐷＝2，𝐴𝐶＝6，则△𝐴𝐶𝐷的面积为________．

14.如图，若△𝐴𝐵𝐶内接于半径为6的⊙𝑂，且∠𝐴＝60∘，连接𝑂𝐵、𝑂𝐶，则边𝐵𝐶的长为________．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15.（1）计算：(−2)−2−6sin30∘−(𝜋−3.14)0−|√2−1|15. 𝑥−7<4𝑥+2

（2）解不等式组：{𝑥+5≥𝑥+3 ，并求出所有整数解之和．

32

3

1

16.已知𝑥，𝑦满足方程组{2𝑦)的值．

𝑥−5𝑦=−2

，求代数式(𝑥−𝑦)2−(𝑥+2𝑦)(𝑥−

2𝑥+5𝑦=−1

17.某校组织学生到恩格贝𝐴和康镇𝐵进行研学活动，澄澄老师在网上查得，𝐴和𝐵分

别位于学校𝐷的正北和正东方向，𝐵位于𝐴南偏东37∘方向，校车从𝐷出发，沿正北方向前往𝐴地，行驶到15千米的𝐸处时，导航显示，在𝐸处北偏东45∘方向有一服务区𝐶，且𝐶位于𝐴，𝐵两地中点处．

（1）求𝐸，𝐴两地之间的距离；

（2）校车从𝐴地匀速行驶1小时40分钟到达𝐵地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？

（参考数据：sin37∘=5，cos37∘=5，tan37∘=4）

18.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

3

4

3

4

（1）本次接受问卷调查的学生有________名． （2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中𝐵类节目对应扇形的圆心角的度数为________． （4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．

19.如图，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝐵(0, 7)，与反比例函数𝑦=

−8𝑥

在第二象限内的图象相交于点𝐴(−1, 𝑎)．

(1)求直线𝐴𝐵的解析式；

(2)将直线𝐴𝐵向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点𝐶和点𝐸，与𝑦轴交于点𝐷，求△𝐴𝐶𝐷的面积；

(3)设直线𝐶𝐷的解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛，根据图象直接写出不等式𝑚𝑥+𝑛≤

−8𝑥

的解集．

5

20.如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴，𝐶𝐷为直径，𝑂𝐶与𝐴𝐵相交于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，延长𝐶𝐷交𝐺𝐵的延长线于点𝑃，连接𝐵𝐷．

（1）求证：𝑃𝐺与⊙𝑂相切； （2）若𝐴𝐶=8，求𝑂𝐶的值；

（3）在（2）的条件下，若⊙𝑂的半径为8，𝑃𝐷=𝑂𝐷，求𝑂𝐸的长．

四、填空题（每小题4分，共20分）

21.已知关于𝑥的方程𝑎(𝑥+𝑚)2+𝑏＝0(𝑎、𝑏、𝑚为常数，𝑎≠0)的解是𝑥1＝2，𝑥2＝−1，那么方程𝑎(𝑥+𝑚+2)2+𝑏＝0的解________．

22.有六张正面分别标有数字−2，−1，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为𝑚，则使关于𝑥的分式方程概率为________．

23.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，点𝐴在𝑦轴上，点𝐶在𝑥轴上，𝐵𝐶⊥𝑥轴，tan∠𝐴𝐶𝑂=．延长𝐴𝐶到点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝑥轴于点𝐺，且𝐷𝐺＝𝐺𝐸，连接

3𝐶𝐸，反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象经过点𝐵，和𝐶𝐸交于点𝐹，且𝐶𝐹:𝐹𝐸＝2:1．若△𝐴𝐵𝐸面积为6，则点𝐷的坐标为________．

𝑘

2

1−𝑚𝑥1−𝑥

𝐸𝐹

5

𝐵𝐸

−1=

𝑚2−1𝑥−1

有正整数解的

6

24.如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵＝60∘，点𝑃是△𝐴𝐶𝐷内一点，连接𝑃𝐴、𝑃𝐶、𝑃𝐷，若𝑃𝐴＝5，𝑃𝐷＝12，𝑃𝐶＝13，则𝐴𝐶⋅𝐵𝐷＝________．

25.矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵＝4，边𝐴𝐷上有一点𝑀，连接𝐵𝑀，将𝑀𝐵绕𝑀点逆时针旋转90∘得𝑀𝑁，𝑁恰好落在𝐶𝐷上，过𝑀、𝐷、𝑁作⊙𝑂，⊙𝑂与𝐵𝐶相切，𝑄为⊙𝑂上的动点，连𝐵𝑄，𝑃为𝐵𝑄中点，连𝐴𝑃，则𝐴𝑃的最小值为________．

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26.为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18𝑚，另外三边由36𝑚长的栅栏围成．设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷空地中，垂直于墙的边𝐴𝐵＝𝑥𝑚，面积为𝑦𝑚2（如图）．

（1）求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出自变量𝑥的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160𝑚2，求𝑥的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 单价（元/棵） 合理用地（𝑚2/棵）

甲 14 0.4 乙 16 1 丙 28 0.4 7

27.

（1）证明推断：如图(1)，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝑄分别在边𝐵𝐶，𝐴𝐵上，𝐷𝑄⊥𝐴𝐸于点𝑂，点𝐺，𝐹分别在边𝐶𝐷，𝐴𝐵上，𝐺𝐹⊥𝐴𝐸． ①求证：𝐷𝑄＝𝐴𝐸；

②推断：的值为________；

𝐴𝐸

（2）类比探究：如图(2)，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝑘（𝑘为常数）．将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐺𝐹折叠，使点𝐴落在𝐵𝐶边上的点𝐸处，得到四边形𝐹𝐸𝑃𝐺，𝐸𝑃交𝐶𝐷于点𝐻，连接𝐴𝐸交𝐺𝐹于点𝑂．试探究𝐺𝐹与𝐴𝐸之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接𝐶𝑃，当𝑘=3时，若tan∠𝐶𝐺𝑃=4，𝐺𝐹＝2√10，求𝐶𝑃的长．

28.如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦＝2𝑥+6与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交点𝐶，抛物线𝑦＝−2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐过𝐴，𝐶两点，与𝑥轴交于另一点𝐵．

2

3

𝐵𝐶

𝐺𝐹

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线𝐴𝐶上方的抛物线上有一动点𝐸，连接𝐵𝐸，与直线𝐴𝐶相交于点𝐹，当𝐸𝐹=2𝐵𝐹时，求sin∠𝐸𝐵𝐴的值．

（3）点𝑁是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点𝐸位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点𝑀，使以𝑀，𝑁，𝐸，𝐵为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点𝑀的坐标；若不存在，请说明理由．

1

8

2020年四川省成都七中万达学校中考数学模拟试

卷（三）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图是由4个完全一样的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A.

【解答】

从正面看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形， 2.设𝑎为正整数，且√37<𝑎+1，则𝑎的最小值为（ ） A.5 【解答】 ∵36<37<49， ∴6<√37<7． 又∵√37<𝑎+1， ∴𝑎+1≥7， ∴𝑎≥6． 又∵𝑎为正整数， ∴𝑎的最小值为6．

3.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A.

C.

【解答】

𝐴、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

9

B.

C.

D.

B.6 C.7 D.8

B.

D.

𝐵、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 𝐶、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 𝐷、不是轴对称图形，故本选项符合题意．

4.九年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（ ） A.4 【解答】 画树状图如下：

1

3

1

2

B.4 C.2 D.3

所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种， 则恰好抽中一男一女的概率是12=3； 5.若1√1−2𝑥1

8

2

在实数范围内有意义，则𝑥的取值范围是（ ）

B.𝑥<2

C.𝑥≤2

1

A.𝑥<2

D.𝑥≥0

【解答】

由题意得，1−2𝑥>0， 解得，𝑥<2，

6.下列事件中，是必然事件的是（ ） A.掷一次骰子，向上一面的点数是6

B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C.射击运动员射击一次，命中靶心 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【解答】

𝐴．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；

𝐵.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；

𝐶．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；

10

1

𝐷．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；

7.如图，𝑙1 // 𝑙2，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴、𝐵分别在直线𝑙1、𝑙2，则∠1+∠2＝（ ）

A.30∘ 【解答】 ∵𝑙1 // 𝑙2，

∴∠1+∠𝐶𝐵𝐴+∠𝐵𝐴𝐶+∠2＝180∘， ∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐶𝐵𝐴＝∠𝐵𝐴𝐶＝60∘，

∴∠1+∠2＝180∘−(∠𝐶𝐵𝐴+∠𝐵𝐴𝐶)＝180∘−120∘＝60∘，

8.𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶＝90∘，𝐴𝐶=√15，𝐴𝐵＝4，则cos𝐵的值是（ ）

B.40∘

C.50∘

D.60∘

A.√15

4

B.3 1

C.√15

15

D.4

1

【解答】

∵∠𝐶＝90∘，𝐴𝐶=√15，𝐴𝐵＝4， ∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√16−15=1， ∴cos𝐵==4，

𝐴𝐵

9.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为𝑥尺，下列方程符合题意的是（ ） A.(𝑥+2)2+(𝑥−4)2＝𝑥2 B.(𝑥−2)2+(𝑥−4)2＝𝑥2

11

𝐶𝐵

1

C.𝑥2+(𝑥−2)2＝(𝑥−4)2 D.(𝑥−2)2+𝑥2＝(𝑥+4)2 【解答】

设门对角线的长为𝑥尺，由题意得： (𝑥−2)2+(𝑥−4)2＝𝑥2，

10.如图所示，在平面直角坐标系中，直线𝑦1＝2𝑥+4分别与𝑥轴，𝑦轴交于𝐴，𝐵两点，以线段𝑂𝐵为一条边向右侧作矩形𝑂𝐶𝐷𝐵，且点𝐷在直线𝑦2＝−𝑥+𝑏上，若矩形𝑂𝐶𝐷𝐵的面积为20，直线𝑦1＝2𝑥+4与直线𝑦2＝−𝑥+𝑏交于点𝑃．则𝑃的坐标为（ ）

A.(2, 8) 【解答】

B.(3,3)

1731

C.(,) 33

522

D.(4, 12)

∵直线𝑦1＝2𝑥+4分别与𝑥轴，𝑦轴交于𝐴，𝐵两点， ∴𝐵(0, 4)， ∴𝑂𝐵＝4，

∵矩形𝑂𝐶𝐷𝐵的面积为20， ∴𝑂𝐵⋅𝑂𝐶＝20， ∴𝑂𝐶＝5， ∴𝐷(5, 4)，

∵𝐷在直线𝑦2＝−𝑥+𝑏上， ∴4＝−5+𝑏， ∴𝑏＝9，

∴直线𝑦2＝−𝑥+9， 解{

𝑦=−𝑥+9

得{22 ，𝑦=2𝑥+4𝑦=

3

522

𝑥=3

5

∴𝑃(, )，

33

12

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.3𝑥(𝑥−5)+2(5−𝑥)分解因式的结果为________． 【解答】

原式＝3𝑥(𝑥−5)−2(𝑥−5)， ＝(𝑥−5)(3𝑥−2)，

12.将抛物线𝑦＝2𝑥2向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是________． 【解答】

将抛物线𝑦＝2𝑥2向下平移1个单位得𝑦＝2𝑥2−1，再向左平移3个单位，得𝑦＝2(𝑥+3)2−1；

故所得抛物线的解析式为𝑦＝2(𝑥+3)2−1．

13.如图：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵＝90∘，以顶点𝐶为圆心，适当长为半径画弧，分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点𝐸、𝐹，再分别以点𝐸、𝐹为圆心，大于𝐸𝐹的长为半径画弧，两弧交于点𝑃，作射线𝐶𝑃交𝐴𝐵于点𝐷，若𝐵𝐷＝2，𝐴𝐶＝6，则△𝐴𝐶𝐷的面积为________．

【解答】

如图，作𝐷𝑄⊥𝐴𝐶于𝑄．

由作图知𝐶𝑃是∠𝐴𝐶𝐵的平分线， ∵∠𝐵＝90∘，𝐵𝐷＝2， ∴𝐷𝐵＝𝐷𝑄＝2， ∵𝐴𝐶＝6，

∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=2⋅𝐴𝐶⋅𝐷𝑄=2×6×2＝6，

14.如图，若△𝐴𝐵𝐶内接于半径为6的⊙𝑂，且∠𝐴＝60∘，连接𝑂𝐵、𝑂𝐶，则

13

1

1

边𝐵𝐶的长为________．

【解答】

过点𝑂作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，如图所示： 则𝐵𝐷＝𝐶𝐷，

∵△𝐴𝐵𝐶内接于半径为6的⊙𝑂，且∠𝐴＝60∘， ∴∠𝐵𝑂𝐶＝2∠𝐴＝120∘，𝐶𝑂＝𝐵𝑂＝6， ∴∠𝑂𝐵𝐶＝∠𝑂𝐶𝐵＝30∘， ∴𝑂𝐷=2𝑂𝐵＝3， ∴𝐵𝐷=√62−32=3√3， ∴𝐵𝐶＝2𝐵𝐷＝6√3， 故答案为：6√3．

1

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15.（1）计算：(−2)−2−6sin30∘−(𝜋−3.14)0−|√2−1|15. 𝑥−7<4𝑥+2

2（）解不等式组：{𝑥+5𝑥+3 ，并求出所有整数解之和．

≥32【解答】

原式＝4−6×2−1−(√2−1) ＝4−3−1−√2+1 ＝1−√2；

1

1

14

𝑥−7<4𝑥+2{𝑥+5𝑥+3

≥32解不等式①得𝑥>−3， 解不等式②得𝑥≤1，

∴原不等式组的解集是−3<𝑥≤1， ∴原不等式组的整数解是−2，−1，0，1， ∴所有整数解的和−2−1+0+1＝−2． 16.已知𝑥，𝑦满足方程组{2𝑦)的值． 【解答】

原式＝(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2)−(𝑥2−4𝑦2)＝𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2−𝑥2+4𝑦2＝−2𝑥𝑦+5𝑦2， 方程组{

𝑥−5𝑦=−2

，

2𝑥+5𝑦=−1

1

𝑥−5𝑦=−2

，求代数式(𝑥−𝑦)2−(𝑥+2𝑦)(𝑥−

2𝑥+5𝑦=−1

①+②得：3𝑥＝−3，即𝑥＝−1， 把𝑥＝−1代入①得：𝑦=5， 则原式=5+5=5．

17.某校组织学生到恩格贝𝐴和康镇𝐵进行研学活动，澄澄老师在网上查得，𝐴和𝐵分

别位于学校𝐷的正北和正东方向，𝐵位于𝐴南偏东37∘方向，校车从𝐷出发，沿正北方向前往𝐴地，行驶到15千米的𝐸处时，导航显示，在𝐸处北偏东45∘方向有一服务区𝐶，且𝐶位于𝐴，𝐵两地中点处．

2

1

3

（1）求𝐸，𝐴两地之间的距离；

（2）校车从𝐴地匀速行驶1小时40分钟到达𝐵地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？

（参考数据：sin37∘=5，cos37∘=5，tan37∘=4）

15

3

4

3

【解答】

如图，作𝐶𝐻⊥𝐴𝐷于𝐻．

由题意∠𝐻𝐸𝐶＝45∘，可得𝐶𝐻＝𝐸𝐻，设𝐶𝐻＝𝐻𝐸＝𝑥千米， ∵点𝐶是𝐴𝐵的中点，𝐶𝐻 // 𝐵𝐷， ∴𝐴𝐻＝𝐻𝐷＝(𝑥+15)千米， 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐻中，tan37∘=𝐴𝐻， ∴4=𝑥+15， ∴𝑥＝45，

∴𝐶𝐻＝45（千米），𝐴𝐻＝60（千米），𝐴𝐷＝120（千米）， ∴𝐸𝐴＝𝐴𝐷−𝐷𝐸＝120−15＝105（千米）． 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐻中，𝐴𝐶=√452+602=75（千米）， ∴𝐴𝐵＝2𝐴𝐶＝150（千米）， ∵150÷=90千米/小时，

3∵90<100， ∴校车没有超速．

5

3

𝑥

𝐶𝐻

18.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

16

（1）本次接受问卷调查的学生有________名． （2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中𝐵类节目对应扇形的圆心角的度数为________． （4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数． 【解答】

本次接受问卷调查的学生有：36÷36%=100（名）， 故答案为：100；

喜爱𝐶的有：100−8−20−36−6＝30（人）， 补全的条形统计图如右图所示；

扇形统计图中𝐵类节目对应扇形的圆心角的度数为：360∘×100=72∘， 故答案为：72∘； 2000×100=160（人），

答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．

8

20

19.如图，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝐵(0, 7)，与反比例函数𝑦=

17

−8𝑥

在第二象限内的图象相交于点𝐴(−1, 𝑎)．

(1)求直线𝐴𝐵的解析式；

(2)将直线𝐴𝐵向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点𝐶和点𝐸，与𝑦轴交于点𝐷，求△𝐴𝐶𝐷的面积；

(3)设直线𝐶𝐷的解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛，根据图象直接写出不等式𝑚𝑥+𝑛≤

−8𝑥

的解集．

【解答】

解：(1)∵点𝐴(−1, 𝑎)在反比例函数𝑦=∴𝑎=−1=8， ∴𝐴(−1, 8)， ∵点𝐵(0, 7)，

∴设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+7， ∵直线𝐴𝐵过点𝐴(−1, 8)， ∴8=−𝑘+7，解得𝑘=−1， ∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+7；

(2)∵将直线𝐴𝐵向下平移9个单位后得到直线𝐶𝐷的解析式为𝑦=−𝑥−2， ∴𝐷(0, −2)， ∴𝐵𝐷=7+2=9， 联立{

𝑦=−𝑥−2,𝑦=−𝑥,

8

−8

−8𝑥

的图象上，

𝑥=−4,𝑥=2,

或{ 解得{

𝑦=2𝑦=−4,

∴𝐶(−4, 2)，𝐸(2, −4)，

连接𝐵𝐶，则△𝐶𝐵𝐷的面积=2×9×4=18，

由平行线间的距离处处相等可得△𝐴𝐶𝐷与△𝐶𝐷𝐵面积相等， ∴△𝐴𝐶𝐷的面积为18．

18

1

(3)∵𝐶(−4, 2)，𝐸(2, −4)， ∴不等式𝑚𝑥+𝑛≤

−8𝑥

的解集是：−4≤𝑥<0或𝑥≥2．

20.如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴，𝐶𝐷为直径，𝑂𝐶与𝐴𝐵相交于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，延长𝐶𝐷交𝐺𝐵的延长线于点𝑃，连接𝐵𝐷．

（1）求证：𝑃𝐺与⊙𝑂相切； （2）若𝐴𝐶=8，求𝑂𝐶的值；

（3）在（2）的条件下，若⊙𝑂的半径为8，𝑃𝐷=𝑂𝐷，求𝑂𝐸的长． 【解答】

(1)证明：如图，连接𝑂𝐵，则𝑂𝐵=𝑂𝐷，

𝐸𝐹

5

𝐵𝐸

∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐵𝑂，

∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐶，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐺𝐵𝐶， ∴∠𝐺𝐵𝐶=∠𝐵𝐷𝐶，

19

∵𝐶𝐷是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶=90∘， ∴∠𝐺𝐵𝐶+∠𝑂𝐵𝐶=90∘， ∴∠𝐺𝐵𝑂=90∘， ∴𝑃𝐺与⊙𝑂相切；

解：(2)过点𝑂作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点𝑀，连接𝑂𝐴，

则∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑀=2∠𝐴𝑂𝐶， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶， 又∵∠𝐸𝐹𝐵=∠𝑂𝑀𝐴=90∘， ∴△𝐵𝐸𝐹∽△𝑂𝐴𝑀， ∴𝐴𝑀=𝑂𝐴，

∵𝐴𝑀=2𝐴𝐶，𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴

𝐸𝐹

1𝐴𝐶21

⌢⌢

1

𝐸𝐹𝐵𝐸1

=𝑂𝐶，

5

𝐵𝐸

又∵𝐴𝐶=8， ∴

𝐵𝐸𝑂𝐶

𝐸𝐹

=2×𝐴𝐶=2×8=4；

𝐸𝐹55

(3)∵𝑃𝐷=𝑂𝐷，∠𝑃𝐵𝑂=90∘， ∴𝐵𝐷=𝑂𝐷=8，

在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶中，𝐵𝐶=√𝐷𝐶2−𝐵𝐷2=8√3， 又∵𝑂𝐷=𝑂𝐵，

20

∴△𝐷𝑂𝐵是等边三角形， ∴∠𝐷𝑂𝐵=60∘，

∵∠𝐷𝑂𝐵=∠𝑂𝐵𝐶+∠𝑂𝐶𝐵，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐶𝐵=30∘， ∴𝐶𝐸=2，=√3，

𝐸𝐹

∴可设𝐸𝐹=𝑥，则𝐸𝐶=2𝑥、𝐹𝐶=√3𝑥， ∴𝐵𝐹=8√3−√3𝑥，

在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中，𝐵𝐸2=𝐸𝐹2+𝐵𝐹2， ∴100=𝑥2+(8√3−√3𝑥)2， 解得：𝑥=6±√13， ∵6+√13>8，舍去， ∴𝑥=6−√13， ∴𝐸𝐶=12−2√13，

∴𝑂𝐸=8−(12−2√13)=2√13−4． 四、填空题（每小题4分，共20分）

21.已知关于𝑥的方程𝑎(𝑥+𝑚)2+𝑏＝0(𝑎、𝑏、𝑚为常数，𝑎≠0)的解是𝑥1＝2，𝑥2＝−1，那么方程𝑎(𝑥+𝑚+2)2+𝑏＝0的解________． 【解答】

∵关于𝑥的方程𝑎(𝑥+𝑚)2+𝑏＝0的解是𝑥1＝2，𝑥2＝−1，(𝑎，𝑚，𝑏均为常数，𝑎≠0)，

∴方程𝑎(𝑥+𝑚+2)2+𝑏＝0变形为𝑎[(𝑥+2)+𝑚]2+𝑏＝0，即此方程中𝑥+2＝2或𝑥+2＝−1， 解得𝑥＝0或𝑥＝−3．

22.有六张正面分别标有数字−2，−1，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为𝑚，则使关于𝑥的分式方程概率为________． 【解答】

1−𝑚𝑥1−𝑥

𝐸𝐹

1

𝐹𝐶

−1=

𝑚2−1𝑥−1

有正整数解的

21

方程两边同乘以1−𝑥， 1−𝑚𝑥−(1−𝑥)＝−(𝑚2−1)， ∴𝑥=𝑚−1=𝑚+1，

𝑚−1∵有正整数解，

∴𝑚+1≠1且𝑚+1>0， ∴𝑚>−1且𝑚≠0，

∴使关于𝑥的分式方程1−𝑚𝑥−1=𝑚

1−𝑥1−𝑥

2−1

2

𝑥−1𝑥−1

有正整数解的有：2，3，4， 有正整数解的概率为：6=2．

3

1

∴使关于𝑥的分式方程1−𝑚𝑥−1=𝑚

2−1

23.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，点𝐴在𝑦轴上，点𝐶在𝑥轴上，𝐵𝐶⊥𝑥轴，tan∠𝐴𝐶𝑂=3．延长𝐴𝐶到点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝑥轴于点𝐺，且𝐷𝐺＝𝐺𝐸，连接𝐶𝐸，反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象经过点𝐵，和𝐶𝐸交于点𝐹，且𝐶𝐹:𝐹𝐸＝2:1．若△𝐴𝐵𝐸面积为6，则点𝐷的坐标为________2，-3）．

15

𝑘

2

【解答】

过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶，垂足为𝑀， ∵𝐴𝐵＝𝐴𝐶， ∴𝐵𝑀＝𝐶𝑀， ∵tan∠𝐴𝐶𝑂=3=𝑂𝐶．

∴设𝑂𝐴＝2𝑚，𝑂𝐶＝3𝑚，则𝐵𝐶＝4𝑚，因此点𝐶(3𝑚, 0)、𝐵(3𝑚, 4𝑚)， ∵𝐷𝐸⊥𝑥轴于点𝐺，且𝐷𝐺＝𝐺𝐸， ∴𝐶𝐸＝𝐶𝐷，

∴∠𝐸𝐶𝐺＝∠𝐷𝐶𝐺＝∠𝐴𝐶𝑂， ∴tan∠𝐸𝐶𝐺=𝐶𝐺=tan∠𝐴𝐶𝑂=3，

设𝐸𝐺＝2𝑛，则𝐶𝐺＝3𝑛，因此点𝐸(3𝑚+3𝑛, 2𝑛)， 又∵𝐶𝐹:𝐹𝐸＝2:1．即点𝐹是𝐶𝐸的三等分点，

22

𝐸𝐺

2

2

𝑂𝐴

∴点𝐹(3𝑚+2𝑛, 3𝑛)，

把𝐵(3𝑚, 4𝑚)和𝐹(3𝑚+2𝑛, 3𝑛)代入反比例函数𝑦=𝑥得， 𝑘＝3𝑚⋅4𝑚＝(3𝑚+2𝑛)⋅3𝑛，即(3𝑚−2𝑛)(3𝑚+𝑛)＝0， ∵𝑚>0，𝑛>0， ∴𝑛=2𝑚，

∴点𝐸的坐标为(𝑚, 3𝑚)，

2

∵𝑆△𝐴𝐵𝐸＝6＝𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝑂+𝑆梯形𝐵𝐶𝐺𝐸−𝑆梯形𝐴𝑂𝐺𝐸，

∴(2𝑚+4𝑚)×3𝑚+(4𝑚+3𝑚)×𝑚−(2𝑚+3𝑚)×2222解得𝑚＝1， ∴𝐸(, 3)， 2∴𝐷(, −3)

2

24.如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵＝60∘，点𝑃是△𝐴𝐶𝐷内一点，连接𝑃𝐴、𝑃𝐶、𝑃𝐷，若𝑃𝐴＝5，𝑃𝐷＝12，𝑃𝐶＝13，则𝐴𝐶⋅𝐵𝐷＝________．

15151

1

9

1

152

15

3

44

𝑘

4

𝑚＝6，

【解答】

将线段𝐴𝑃绕点𝐴顺时针旋转60∘得到线段𝐴𝑃′，连接𝑃𝑃′，作𝐴𝐸⊥𝐵𝑃于𝐸． ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴𝐴𝐵＝𝐵𝐶， ∵∠𝐴𝐵𝐶＝60∘， ∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴𝐴𝐵＝𝐵𝐶＝𝐴𝐶，

∵𝐴𝑃′＝𝐴𝑃，∠𝑃′𝐴𝑃＝60∘， ∴△𝐴𝑃′𝑃是等边三角形， ∴𝐴𝑃′＝𝐴𝑃＝𝑃𝑃′＝5， ∵∠𝑃′𝐴𝑃＝∠𝐵𝐴𝐶，

23

∴∠𝑃′𝐴𝐵＝∠𝑃𝐴𝐶， ∴△𝑃′𝐴𝐵≅△𝑃𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝑃′＝𝑃𝐶＝13，

∵𝑃′𝑃2+𝑃𝐵2＝52+122＝169，𝑃′𝐵2＝132＝169， ∴𝑃′𝑃2+𝑃𝐵2＝𝑃′𝐵2， ∴∠𝑃′𝑃𝐵＝90∘， ∵∠𝐴𝑃𝑃′＝60∘，

∴∠𝐴𝑃𝐵＝150∘，∠𝐴𝑃𝐸＝180∘−150∘＝30∘， 在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐸中，𝐴𝑃＝5，∠𝐴𝑃𝐸＝30∘， ∴𝐴𝐸=𝐴𝑃=，𝑃𝐸＝cos30∘×𝐴𝑃=5√3，

222

∴𝐴𝐵2＝𝐴𝐸2+𝐵𝐸2，＝(5)2+(12+5√3)2＝169+60√3，

2

2

1

5

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=1×√3𝐴𝐵⋅𝐴𝐵＝45+169√3， 224

1

又∵𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷＝2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，

∴𝐴𝐶⋅𝐵𝐷＝4𝑆△𝐴𝐵𝐶＝180+169√3，

25.矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵＝4，边𝐴𝐷上有一点𝑀，连接𝐵𝑀，将𝑀𝐵绕𝑀点逆时针旋转90∘得𝑀𝑁，𝑁恰好落在𝐶𝐷上，过𝑀、𝐷、𝑁作⊙𝑂，⊙𝑂与𝐵𝐶相切，𝑄为⊙𝑂上的动点，连𝐵𝑄，𝑃为𝐵𝑄中点，连𝐴𝑃，则𝐴𝑃的最小值为________．

【解答】

设⊙𝑂与𝐵𝐶的交点为𝐹，连接𝑂𝐵、𝑂𝐹，如图1所示．

∵△𝑀𝐷𝑁为直角三角形，

24

∴𝑀𝑁为⊙𝑂的直径， ∵𝐵𝑀与⊙𝑂相切， ∴𝑀𝑁⊥𝐵𝑀，

∵将𝑀𝐵绕𝑀点逆时针旋转90∘得𝑀𝑁， ∴𝑀𝐵＝𝑀𝑁，

∴△𝐵𝑀𝑁为等腰直角三角形，

∵∠𝐴𝑀𝐵+∠𝑁𝑀𝐷＝180∘−∠𝐴𝑀𝑁＝90∘，∠𝑀𝐵𝐴+∠𝐴𝑀𝐵＝90∘， ∴∠𝑁𝑀𝐷＝∠𝑀𝐵𝐴，且𝐵𝑀＝𝑁𝑃，∠𝐴＝∠𝑁𝑀𝐷＝90∘， ∴△𝐴𝐵𝑀≅△𝐷𝑀𝑁(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝑀＝𝐴𝐵＝4，𝐷𝑁＝𝐴𝑀，

设𝐷𝑁＝2𝑎，则𝐴𝑀＝2𝑎，𝑂𝐹＝4−𝑎， 𝐵𝑀=√𝐴𝐵2+𝐴𝑀2=2√4+𝑎2， ∵𝐵𝑀＝𝑀𝑃＝2𝑂𝐹， ∴2√4+𝑎2=2×(4−𝑎)， 解得：𝑎=2，

∴𝐷𝑁＝2𝑎＝3，𝑂𝐹＝4−=，

22∴⊙𝑂半径为，

2

如图2，延长𝐵𝐴，使𝐴𝐻＝𝐴𝐵＝4，连接𝐻𝑄，𝑂𝐻，过𝑂作𝑂𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，

5

3

5

3

∵𝐴𝐵＝𝐴𝐻，𝐵𝑃＝𝑃𝑄， ∴𝐴𝑃=2𝐻𝑄，𝐻𝑄 // 𝐴𝑃，

∴当𝐻𝑄取最小值时，𝐴𝑃有最小值， ∴当点𝑄在𝐻𝑂时，𝐻𝑄的值最小，

25

1

∵𝐻𝐺＝4+4−=

2

5112

，𝐺𝑂＝3+4−2＝5，

∴𝑂𝐻=√𝐻𝐺2+𝐺𝑂2=√121+25=√221，

42∴𝐻𝑄的最小值=√221−5=√221−5，

2

2

2

∴𝐴𝑃的最小值为√221−5，

4

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26.为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18𝑚，另外三边由36𝑚长的栅栏围成．设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷空地中，垂直于墙的边𝐴𝐵＝𝑥𝑚，面积为𝑦𝑚2（如图）．

（1）求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出自变量𝑥的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160𝑚2，求𝑥的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 单价（元/棵） 合理用地（𝑚2/棵） 【解答】

𝑦＝𝑥(36−2𝑥)＝−2𝑥2+36𝑥(9≤𝑥<18) 由题意：−2𝑥2+36𝑥＝160， 解得𝑥＝10或8．

∵𝑥＝8时，36−16＝20>18，不符合题意， ∴𝑥的值为10．

∵𝑦＝−2𝑥2+36𝑥＝−2(𝑥−9)2+162， ∴𝑥＝9时，𝑦有最大值162，

设购买了乙种绿色植物𝑎棵，购买了丙种绿色植物𝑏棵，

甲 14 0.4 乙 16 1 丙 28 0.4 26

由题意：14(400−𝑎−𝑏)+16𝑎+28𝑏＝8600， ∴𝑎+7𝑏＝1500，

∴𝑏的最大值为214，此时𝑎＝2，

需要种植的面积＝0.4×(400−214−2)+1×2+0.4×214＝161.2<162， ∴这批植物可以全部栽种到这块空地上． 27.

（1）证明推断：如图(1)，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝑄分别在边𝐵𝐶，𝐴𝐵上，𝐷𝑄⊥𝐴𝐸于点𝑂，点𝐺，𝐹分别在边𝐶𝐷，𝐴𝐵上，𝐺𝐹⊥𝐴𝐸． ①求证：𝐷𝑄＝𝐴𝐸；

②推断：的值为________；

𝐴𝐸

（2）类比探究：如图(2)，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝑘（𝑘为常数）．将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐺𝐹折叠，使点𝐴落在𝐵𝐶边上的点𝐸处，得到四边形𝐹𝐸𝑃𝐺，𝐸𝑃交𝐶𝐷于点𝐻，连接𝐴𝐸交𝐺𝐹于点𝑂．试探究𝐺𝐹与𝐴𝐸之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接𝐶𝑃，当𝑘=3时，若tan∠𝐶𝐺𝑃=4，𝐺𝐹＝2√10，求𝐶𝑃的长． 【解答】

①证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形， ∴𝐴𝐵＝𝐷𝐴，∠𝐴𝐵𝐸＝90∘＝∠𝐷𝐴𝑄． ∴∠𝑄𝐴𝑂+∠𝑂𝐴𝐷＝90∘． ∵𝐴𝐸⊥𝐷𝐻，

∴∠𝐴𝐷𝑂+∠𝑂𝐴𝐷＝90∘． ∴∠𝑄𝐴𝑂＝∠𝐴𝐷𝑂． ∴△𝐴𝐵𝐸≅△𝐷𝐴𝑄(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝐸＝𝐷𝑄． ②结论：

𝐺𝐹𝐴𝐸

2

3

𝐵𝐶

𝐺𝐹

=1．

27

理由：∵𝐷𝑄⊥𝐴𝐸，𝐹𝐺⊥𝐴𝐸， ∴𝐷𝑄 // 𝐹𝐺， ∵𝐹𝑄 // 𝐷𝐺，

∴四边形𝐷𝑄𝐹𝐺是平行四边形， ∴𝐹𝐺＝𝐷𝑄， ∵𝐴𝐸＝𝐷𝑄， ∴𝐹𝐺＝𝐴𝐸， ∴

𝐺𝐹𝐴𝐸

=1．

故答案为1． 结论：𝐴𝐸=𝑘．

理由：如图2中，作𝐺𝑀⊥𝐴𝐵于𝑀．

𝐹𝐺

∵𝐴𝐸⊥𝐺𝐹，

∴∠𝐴𝑂𝐹＝∠𝐺𝑀𝐹＝∠𝐴𝐵𝐸＝90∘，

∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐴𝐹𝑂＝90∘，∠𝐴𝐹𝑂+∠𝐹𝐺𝑀＝90∘， ∴∠𝐵𝐴𝐸＝∠𝐹𝐺𝑀， ∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐺𝑀𝐹， ∴

𝐺𝐹𝐴𝐸

=

𝐺𝑀𝐴𝐵

，

∵∠𝐴𝑀𝐺＝∠𝐷＝∠𝐷𝐴𝑀＝90∘， ∴四边形𝐴𝑀𝐺𝐷是矩形， ∴𝐺𝑀＝𝐴𝐷， ∴

𝐺𝐹𝐴𝐸

=𝐴𝐵=𝐴𝐵=𝑘．

𝐴𝐷𝐵𝐶

如图2中，作𝑃𝑀⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶的延长线于𝑀．

28

∵𝐹𝐵 // 𝐺𝐶，𝐹𝐸 // 𝐺𝑃， ∴∠𝐶𝐺𝑃＝∠𝐵𝐹𝐸，

∴tan∠𝐶𝐺𝑃＝tan∠𝐵𝐹𝐸=4=𝐵𝐹，

∴可以假设𝐵𝐸＝3𝑘，𝐵𝐹＝4𝑘，𝐸𝐹＝𝐴𝐹＝5𝑘， ∵

𝐹𝐺𝐴𝐸

3

𝐵𝐸

=3，𝐹𝐺＝2√10，

2

∴𝐴𝐸＝3√10，

∴(3𝑘)2+(9𝑘)2＝(3√10)2， ∴𝐾＝1或−1（舍弃）， ∴𝐵𝐸＝3，𝐴𝐵＝9， ∵𝐵𝐶:𝐴𝐵＝2:3， ∴𝐵𝐶＝6，

∴𝐵𝐸＝𝐶𝐸＝3，𝐴𝐷＝𝑃𝐸＝𝐵𝐶＝6， ∵∠𝐸𝐵𝐹＝∠𝐹𝐸𝑃＝∠𝑃𝑀𝐸＝90∘，

∴∠𝐹𝐸𝐵+∠𝑃𝐸𝑀＝90∘，∠𝑃𝐸𝑀+∠𝐸𝑃𝑀＝90∘， ∴∠𝐹𝐸𝐵＝∠𝐸𝑃𝑀， ∴△𝐹𝐵𝐸∽△𝐸𝑀𝑃， ∴

𝐸𝐹𝑃𝐸5

=

𝐵𝐹𝐸𝑀4

=

𝐵𝐸𝑃𝑀3

，

∴==𝑃𝑀， 6𝐸𝑀∴𝐸𝑀=

24

，𝑃𝑀=5

185

， −3=5，

9

9

∴𝐶𝑀＝𝐸𝑀−𝐸𝐶=

245

∴𝑃𝐶=√𝐶𝑀2+𝑃𝑀2=5√5．

28.如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦＝2𝑥+6与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交点

29

𝐶，抛物线𝑦＝−2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐过𝐴，𝐶两点，与𝑥轴交于另一点𝐵．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线𝐴𝐶上方的抛物线上有一动点𝐸，连接𝐵𝐸，与直线𝐴𝐶相交于点𝐹，当𝐸𝐹=2𝐵𝐹时，求sin∠𝐸𝐵𝐴的值．

（3）点𝑁是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点𝐸位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点𝑀，使以𝑀，𝑁，𝐸，𝐵为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点𝑀的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】

在𝑦＝2𝑥+6中，当𝑥＝0时𝑦＝6，当𝑦＝0时𝑥＝−3， ∴𝐶(0, 6)、𝐴(−3, 0)，

∵抛物线𝑦＝−2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过𝐴、𝐶两点， ∴{−18−3𝑏+𝑐=0 ， 𝑐=6

𝑏=−4 解得{ ，

𝑐=6

∴抛物线的解析式为𝑦＝−2𝑥2−4𝑥+6； 令−2𝑥2−4𝑥+6＝0， 解得𝑥1＝−3，𝑥2＝1， ∴𝐵(1, 0)， ∵点𝐸的横坐标为𝑡， ∴𝐸(𝑡, −2𝑡2−4𝑡+6)，

如图，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝑥轴于点𝐻，过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，则𝐸𝐻 // 𝐹𝐺，

1

30

∵𝐸𝐹=2𝐵𝐹， ∴

𝐵𝐹𝐵𝐸

1

=𝐵𝐻=𝐸𝐻=3，

𝐵𝐺𝐹𝐺2

∵𝐵𝐻＝1−𝑡， ∴𝐵𝐺=3𝐵𝐻=3−3𝑡， ∴点𝐹的横坐标为3+3𝑡， ∴𝐹(3+3𝑡, 3+3𝑡)，

∴−2𝑡2−4𝑡+6=2(3+3𝑡)， ∴𝑡2+3𝑡+2＝0， 解得𝑡1＝−2，𝑡2＝−1，

当𝑡＝−2时，−2𝑡2−4𝑡+6＝6， 当𝑡＝−1时，−2𝑡2−4𝑡+6＝8， ∴𝐸1(−2, 6)，𝐸2(−1, 8)，

当点𝐸的坐标为(−2, 6)时，在𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐻中，𝐸𝐻＝6，𝐵𝐻＝3， ∴𝐵𝐸=√𝐸𝐻2+𝐵𝐻2=√62+32=3√5， ∴sin∠𝐸𝐵𝐴=

𝐸𝐻𝐵𝐸

320

4

1

2

20

41

2

2

2

2

=36√=52√5； 5

𝐸𝐻𝐵𝐸

同理，当点𝐸的坐标为(−1, 8)时，sin∠𝐸𝐵𝐴=∴sin∠𝐸𝐵𝐴的值为2√5或4√17；

5

17

=

4√17， 17

∵点𝑁在对称轴上， ∴𝑥𝑁=

−3+12

=−1，

①当𝐸𝐵为平行四边形的边时，分两种情况：（1）点𝑀在对称轴右侧时，𝐵𝑁为对角线，

∵𝐸(−2, 6)，𝑥𝑁＝−1，−1−(−2)＝1，𝐵(1, 0)，

31

∴𝑥𝑀＝1+1＝2，

当𝑥＝2时，𝑦＝−2×22−4×2+6＝−10，

∴𝑀(2, −10)；（2）点𝑀在对称轴左侧时，𝐵𝑀为对角线， ∵𝑥𝑁＝−1，𝐵(1, 0)，1−(−1)＝2，𝐸(−2, 6)， ∴𝑥𝑀＝−2−2＝−4，

当𝑥＝−4时，𝑦＝−2×(−4)2−4×(−4)+6＝−10， ∴𝑀(−4, −10)；

②当𝐸𝐵为平行四边形的对角线时， ∵𝐵(1, 0)，𝐸(−2, 6)，𝑥𝑁＝−1， ∴1+(−2)＝−1+𝑥𝑀， ∴𝑥𝑀＝0， 当𝑥＝0时，𝑦＝6， ∴𝑀(0, 6)；

综上所述，𝑀的坐标为(2, −10)或(−4, −10)或(0, 6)．

32