解析几何基础知识汇总

1.平行与垂直 若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： (1)直线l1∥l2的充要条件是： k1＝k2且b1≠b2 (2)直线l1⊥l2的充要条件是：k1·k2＝－1 2．三种距离 (1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. |Ax0＋By0＋C|(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ A2＋B2(3)两条平行线的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2 3、圆的方程的两种形式 ①．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为(a，b)，半径为r的圆． ②．圆的一般方程 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 DE1－，－，半径为D2＋E2－4F的圆； (1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③222DE－，－； (2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点22(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形． 4、直线与圆的位置关系 ①．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有： 几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离 ②．直线与圆相交 l222直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝d2＋2，即l＝2r－d，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式． 5、两圆位置关系的判断 2(r＞0)，(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的圆心距为d，则 两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r122221．d＞r1＋r2⇔两圆外离；2．d＝r1＋r2⇔两圆外切； 3．|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆相交_；4．d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切； 5．0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含 6.椭圆 一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数2a (大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点. 定义中特别要注意条件2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当2a＝2c时，动点的轨迹是线段；当2a＜2c时，动点的轨迹不存在。 2．椭圆的方程 x2y2(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程：2＋2＝1(a＞b＞0)． aby2x2(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：2＋2＝1(a＞b＞0)． ab 二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2) x2y2标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) a2b2y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2 图 形 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 范围 性 质 对称性 顶点 对称轴：x轴，y轴 对称中心：坐标原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝∈(0,1) ac2＝a2－b2 轴 性 质 焦距 离心率 a，b，c 的关系 7.双曲选 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距. 二、双曲线的标准方程和几何性质 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2标准方程 图形 范围 性质 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率 实虚轴 ④x≥a或x≤－a ⑤_ y≥a或y≤－a 对称轴：x轴、y轴 对称轴：x轴，y轴 对称中心：坐标原点 对称中心：坐标原点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) bay＝±x y＝±x abce＝，e∈(1，＋∞)其中c＝a2＋b2 a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴，b叫做双曲线的虚半轴 a、b、c 关系 c2＝a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0) 8．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程y2px2p0叫做抛物线的标准方程。

pp,0），它的准线方程是x ；

22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]

222y22px标准方程 l 图形 (p0)y o F y22px(p0) x22py(p0)y x22py(p0) y x l x F o l F o x 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 p(,0) 2xp 2(p,0) 2p 2p(0,) 2yp 2p(0,) 2yp 2xx0 x轴 (0,0) e1 x0 x轴 (0,0) e1 y0 y0 y轴 (0,0) e1 y轴 (0,0) e1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

2.焦点弦(以抛物线y2＝2px(p＞0)为例) 设AB是过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)， pp则|AB|＝x1＋x2＋p；|AB|min＝2p；x1·x2＝；y1·y2＝－p；|AF|＝x1＋,|BF|＝x2＋. 224 p2