(完整)二项式定理(习题含答案),推荐文档

一、求展开式中特定项

1、在(x130)的展开式中，x的幂指数是整数的共有（ ）3xA．4项 B．5项 C．6项 D．7项【答案】C

【解析】Tr1Cr30x30r15r1r6，r0,1,2......30，若要是幂指数是Cx303xr5整数，所以r0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C． 3、若(x2【答案】10

【解】由题意得，令x1，可得展示式中各项的系数的和为32，所以2n32，解得

15（用数字作答）)展开式中的常数项为 ．x3n5，所以(x215r105r2展开式的通项为，当时，常数项为r2TCxC10，)r155x3 4、二项式(3x)8的展开式中的常数项为 ．【答案】112

84r2rrr()(2)C8x3（r=0,1,,8）,显x2x【解析】由二项式通项可得，Tr1C(x)r388r然当r2时，T3112，故二项式展开式中的常数项为112.5、(21)(13x)4的展开式中常数项等于________．x【答案】14．【解析】因为(21r)(13x)4中(13x)4的展开式通项为Cr4(3x)，当第一项取2时，x1，此时的展开式中常数为；当第一项取时，C12C0144(3x)12，此时的展开

x式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．

6、设a．

012xaxx22的展开式中常数项是 ，则sinx12cosdx2x6【答案】3322xsinx12cosdxsinxcosxdx(cosxsinx)2，002332a0(ax1616)(2x)的展开式的通项为xx1r)(1)r26rC6rx3r，所以所求常数项为xTr1C6r(2x)6r(35332．T(1)3263C62(1)5265C6二、求特定项系数或系数和

6287、(x2y)的展开式中xy项的系数是（ ）

A．56 B．56 C．28 D．28【答案】A

62【解析】由通式C8rx8r(2y)r，令r2，则展开式中xy项的系数是

C82(2)256．

8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是 ．【答案】15

rr【解】1x的通项Tr1C6x，令r2可得C6215．则x1x中x3的系数为

6615.

9、在(1x)6(2x)的展开式中含x3的项的系数是 ．

【答案】-55

3【解析】(1x)6(2x)的展开式中x3项由2C6(x)3和（-x）C62(x)2两部分组成，3所以x3的项的系数为-2C6C6255．

e10、已知n1613n展开式中含x2项的系数为 ．dx，那么（x）xx【答案】135

e【解析】根据题意，n163n1e6中，由二项式定理的通项公（x）dxlnx|16，则

xxrnrr式Tr1Cnab，可设含x2项的项是Tr1C6rx6r(3)r，可知r2，所以系数为

C629135．

11、已知1xa0a11xa21xLa101x，则a8等于（ ）

A．－5 B．5 C．90 D．180

101082a(1x)(21x)C(2)454180.选Ｄ．810【答案】D 因为，所以等于

1021012、在二项式(3x21nx) 2的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则

n________；展开式中的第4项＝_______．

193【答案】8，7x．

1(nr)(2nr)1r21rrr【解析】由二项式定理展开通项公式Tr1C()x3，由xCn()x322rnr题意得，当且仅当n4时，Cn取最大值，∴n8，第4项为

19(163)1313C()x7x3．

23813、如果(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a0a1a7的值等于（ ）（A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2

【答案】A

【解析】令x1，代入二项式(12x)7a0a1xa2x2a7x7，得

(12)7a0a1a2a71，令x0，代入二项式

(12x)7a0a1xa2x2a7x7，得(10)7a01，所以1a1a2a71，即a1a2a72，故选A．

14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为

﹣2）7 =﹣1，

【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（

15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0

解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.

16、在(．

113)n(nN*)的展开式中，所有项的系数和为32，则的系数等于

xx【答案】270【解析】当x1时，-232，解得n5，那么含

n1的项就是x113，所以系数是-270.C523270xx17、设k20(sinxcosx)dx，若(1kx)8a0a1xa2x2a8x8，则

a1a2a3a8 ．【答案】0.【解析】由k0(sinxcosx)dx(cosxsinx)0(cossin)(cos0sin0)2，

令x1得：(121)8a0a1a2a8，即a0a1a2a81再令x0得：(120)8a0a10a20a80，即a01所以a1a2a3a8018、设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 .【答案】150

解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．

再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0.解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4.

（5x﹣

r？

）n的展开式的通项公式为 Tr+1=

．

？（5x）4﹣r？（﹣1）r？=（﹣1）

？54﹣r？

令4﹣

r？

=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）

？54﹣r=1×6×25=150，

19、设(1x)8a0a1xa7x7a8x8，则a1a7a8 ．【答案】255【解析】a1a7a8a1a2a3a4a5a6a7a8，所以令x1，得到28a0a1a2a3a4a5a6a7a8，所以a1a2a3a4a5a6a7a828-a02561255三、求参数问题

120、若x3的展开式中第四项为常数项，则n（ ）

2xA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B

n【解析】根据二项式展开公式有第四项为T4C(x)为常数，则必有

3nn3(12x3)C2x33n3n52，第四项

n50，即n5，所以正确选项为B.221、二项式(x1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15，则n （ ）A、5 B、 6 C、8 D、10【答案】B

k【解析】二项式(x1)n(nN*)的展开式中的通项为Tk1Cnxnk，令nk2，

n22得kn2，所以x2的系数为CnCnn(n1)15，解得n6；故选B．222、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2

r4r【解析】∵Tr+1=Cr，∴当4r3，即r1时，4ax333T2=C14ax4ax8x,a2．

23、若1x1ax的展开式中x2的系数为10，则实数a（ ）A．10或1 B．或1 C．2或 D．10 【答案】B．

33【解析】由题意得(1ax)4的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式

rrrTr1C4ax，

455221∴C4aC4a10a1或，故选B．

5324、设(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，当

a0a1a2an254时，n等于（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C． 【解析】令x1，

2(2n1)则可得22222n12254n18n7，故选C．

2123n四、其他相关问题

25、20152015除以8的余数为( )【答案】7

【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．

试题解析：解：∵20152015=2015=

？20162012+…+

？2016﹣

？20162015﹣

，

？20162014+？20162013﹣

故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，