“赵爽弦图”考题聚焦Word版

“赵爽弦图”考题聚焦

王云峰

我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理． 第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举 例介绍以弦图为背景的试题，供参考．

例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由 四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，

BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．

解析 如图3，标注出点D、E、F、G． ∵AC＝6，BC＝5． ∴GD＝6．DE＝5． ∵FG＝DC，

∴FD＝2DG＝12．

在Rt△DEF中，由勾股定理，得

EF＝DE2DG252122＝13．

∴这个风车的外围周长为4(EF＋FG)＝4×(13＋6)＝76． 例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），

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下列四个说法：①x＋y＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是( )

(A)①② (B)①②③ (C)①②④ (D)①②③④

解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形 的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形

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斜边长的平方为x＋y，所以x＋y＝49，①正确．

由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x－y＝2，②正确．

大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×即2xy＋4＝49，③正确．

由①、③，得x＋y＋2xy＋4＝49 ×2，即（x＋y）＝94，所以x＋y＝49，④不正确．

综合知，选B．

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1xy＋4＝49，2

例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．

例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边 延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原 法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正方 形AnBnCnDn的面积为______．

解析 由小正方形ABCD的面积为1，知 它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．

如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得 D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5， 所以正方形A1B1C1D1的面积为5． 如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝5，D1A2 ＝2D1A1＝25．

在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得

所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝5．

同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝；……

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于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5． 例5 2002年在北京召开的世界数学大会会 标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大 正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵 爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有 一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、

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1x＋3＋1 2和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为______．

C2、C3、…、Cn分别在直线y＝－

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