导数压轴小题(含答案)

1. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥−可能为 (  )

A. e−𝑚

23

12𝑚2

𝑥2−𝑚𝑥，则函数 𝑓(𝑥) 在 [1,2] 上的最小值不

B. −𝑚ln2𝑚

sin𝑥𝑥

π3

C. 2e2−4𝑚

2π3

D. e2−2𝑚

2. 已知函数 𝑓(𝑥)=，若 <𝑎<𝑏<

𝑎+𝑏2

，则下列结论正确的是 (  )

𝑎+𝑏2

A. 𝑓(𝑎)<𝑓(√𝑎𝑏)<𝑓(C. 𝑓(√𝑎𝑏)<𝑓(

𝑎+𝑏2

) B. 𝑓(√𝑎𝑏)<𝑓(D. 𝑓(𝑏)<𝑓(

2

)<𝑓(𝑏)

)<𝑓(𝑎)

𝑎+𝑏

)<𝑓(√𝑎𝑏)

3. 已知 e 为自然对数的底数，对任意的 𝑥1∈[0,1]，总存在唯一的 𝑥2∈

2𝑥2

[−1,1]，使得 𝑥1+𝑥2e−𝑎=0 成立，则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

A. [1,e] B. (1,e]

𝑧2

C. (1+,e]

e

𝑦𝑧

1

D. [1+,e]

e𝑦𝑥

1

4. 若存在正实数 𝑥，𝑦，𝑧 满足 ≤𝑥≤e𝑧 且 𝑧ln=𝑥，则 ln 的取值范围为 (  ) A. [1,+∞) C. (−∞,e−1]

32

B. [1,e−1] D. [1,+ln2]

21

5. 已知方程 ln∣𝑥∣−𝑎𝑥2+=0 有 4 个不同的实数根，则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

e2

e2

e2

e23

A. (0,)

2

值之和为 (  )

B. (0,]

2C. (0,)

3

D. (0,]

6. 设函数 𝑓(𝑥)=e𝑥(sin𝑥−cos𝑥)(0≤𝑥≤2016π)，则函数 𝑓(𝑥) 的各极小

e2π(1−e2016π)

1−e2π1−e2π

e2π(1−e1008π)

1−eπe2π(1−e2014π)

1−e2π

A. −C. −

B. − e2π(1−e1008π)

D. −

第1页（共52 页）

7. 若函数 𝑓(𝑥) 满足 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑓ʹ(𝑥)−ln𝑥)，且 𝑓()=，则 e𝑓(e𝑥)<

ee

𝑓ʹ()+1 的解集为 (  )

e

A. (−∞,−1)

B. (−1,+∞)

C. (0,)

e

1

1

11

D. (,+∞)

e

1

8. 已知 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) 都是定义在 𝐑 上的函数，且满足以下条件：

① 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥⋅𝑔(𝑥)（𝑎>0，且 𝑎≠1）；② 𝑔(𝑥)≠0；③ 𝑓(𝑥)⋅𝑔ʹ(𝑥)>𝑓ʹ(𝑥)⋅𝑔(𝑥)．若

𝑓(1)𝑔(1

𝑓(−1)𝑔(−1

52

+)

=，则 𝑎 等于 (  ) )C.

45

A. 2

1

B. 2

1+ln𝑥𝑥

D. 2 或

2

1

9. 已知函数 𝑓(𝑥)=，若关于 𝑥 的不等式 𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0 有两个整

数解，则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

A. (−C. (−

1+ln221+ln22

,−,−

1+ln333

) ]

B. (

1+ln31+ln23

,

23

) ]

1+ln3

D. (−1,−

1+ln3

10. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥ln𝑥，若 𝑚∈𝐙，且 𝑓(𝑥)−𝑚(𝑥−1)>0 对任意

的 𝑥>1 恒成立，则 𝑚 的最大值为 (  ) A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

𝑥ln(1+𝑥)+𝑥2,𝑥≥0

11. 已知函数 𝑓(𝑥)={，若 𝑓(−𝑎)+𝑓(𝑎)≤2

−𝑥ln(1−𝑥)+𝑥,𝑥<0

2𝑓(1)，则实数 𝑎 的取值范围是 (  ) A. (−∞,−1]∪[1,+∞) C. [0,1]

B. [−1,0] D. [−1,1]

12. 已知 𝑓ʹ(𝑥) 是定义在 (0,+∞) 上的函数 𝑓(𝑥) 的导函数，若方程 𝑓ʹ(𝑥)=

0 无解，且 ∀𝑥∈(0,+∞)，𝑓[𝑓(𝑥)−log2016𝑥]=2017，设 𝑎=𝑓(20.5)，𝑏=𝑓(logπ3)，𝑐=𝑓(log43)，则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系是 (  )

A. 𝑏>𝑐>𝑎 B. 𝑎>𝑐>𝑏 C. 𝑐>𝑏>𝑎 D. 𝑎>𝑏>𝑐

第2页（共52 页）

ln𝑥,

𝑥13. 已知函数 𝑓(𝑥)={

1−,

2

𝑥≥1

，若 𝐹(𝑥)=𝑓[𝑓(𝑥)+1]+𝑚 有两个零𝑥<1

点 𝑥1，𝑥2，则 𝑥1⋅𝑥2 的取值范围是 (  )

A. [4−2ln2,+∞) C. (−∞,4−2ln2]

B. (√e,+∞) D. (−∞,√e)

14. 已知函数 𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的奇函数，当 𝑥<0 时，𝑓(𝑥)=

(𝑥+1)e𝑥 ， 则对任意的 𝑚∈𝐑，函数 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))−𝑚 的零点个数至多有 (  )

A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 9 个

15. 设 𝑓(𝑥)=∣ln𝑥∣，若函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥 在区间 (0,3] 上有三个零点，

则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

1

ln33

ln33

ln313

A. (0,)

e

B. (,e) C. (0,] D. [

,) e

16. 已知 𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的偶函数，其导函数为 𝑓ʹ(𝑥)，若 𝑓ʹ(𝑥)<𝑓(𝑥)，

且 𝑓(𝑥+1)=𝑓(3−𝑥)，𝑓(2015)=2，则不等式 𝑓(𝑥)<2e𝑥−1 的解集为 (  )

1

A. (1,+∞) B. (e,+∞) C. (−∞,0)

D. (−∞,)

e

17. 设函数 𝑓(𝑥) 的导函数为 𝑓ʹ(𝑥)，对任意 𝑥∈𝐑 都有 𝑓ʹ(𝑥)>𝑓(𝑥) 成立，

则 (  )

A. 3𝑓(ln2)>2𝑓(ln3) B. 3𝑓(ln2)=2𝑓(ln3) C. 3𝑓(ln2)<2𝑓(ln3)

D. 3𝑓(ln2) 与 2𝑓(ln3) 的大小不确定 18. 已知函数 𝑓(𝑥)=

𝑥33

+𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐，方程 𝑓ʹ(𝑥)=0 两个根分别在区

2𝑏−2𝑎−1

1

间 (0,1) 与 (1,2) 内，则 的取值范围为 (  )

第3页（共52 页）

A. (,1)

4C. (−1,−)

4

1

1

B. (−∞,)∪(1,∞)

4D. (,2)

4

1

1

19. 已知 𝑓(𝑥)=∣𝑥e𝑥∣，又 𝑔(𝑥)=𝑓2(𝑥)−𝑡𝑓(𝑥)(𝑡∈𝐑)，若满足 𝑔(𝑥)=

−1 的 𝑥 有四个，则 𝑡 的取值范围是 (  )

e2+1e

e2+1e

A. (−∞,−C. (−

e2+1e

) B. (,+∞)

e

,−2) D. (2,

e2+1

)

20. 已知 𝑓(𝑥) 是定义在 (0,+∞) 上的单调函数，且对任意的 𝑥∈(0,+∞)，

都有 𝑓[𝑓(𝑥)−log2𝑥]=3，则方程 𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)=2 的解所在的区间是 (  )

A. (0,)

2

1

B. (,1)

2

1

C. (1,2) D. (2,3)

2,+9𝑥𝑥≤0，点 𝐴，𝐵 是函数 𝑓(𝑥) 图象上不√121. 已知函数 𝑓(𝑥)={

1+𝑥e𝑥−1,𝑥>0

同两点，则 ∠𝐴𝑂𝐵（𝑂 为坐标原点）的取值范围是 (  )

A. (0,)

4

π

B. (0,]

4

π

C. (0,)

3

π

D. (0,]

3

π

22. 定义：如果函数 𝑓(𝑥) 在 [𝑎,𝑏] 上存在 𝑥1，𝑥2 (0<𝑥1<𝑥2＜𝑎) 满足

𝑓ʹ(𝑥1)=

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

，𝑓ʹ(𝑥2)=

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

，则称函数 𝑓(𝑥) 是 [𝑎,𝑏] 上的“双

中值函数”．已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+𝑎 是 [0,𝑎] 上的“双中值函数”，则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

A. (,)

32

11

3

1

13

B. (,3)

2C. (,1)

2

D. (,1)

23. 已知函数 𝑓(𝑥)=2𝑚𝑥2−2(4−𝑚)𝑥+1，𝑔(𝑥)=𝑚𝑥，若对于任意实

数 𝑥，函数 𝑓(𝑥) 与 𝑔(𝑥) 的值至少有一个为正值，则实数 𝑚 的取值范围是 (  )

A. (2,8) B. (0,2) C. (0,8) D. (−∞,0)

第4页（共52 页）

24. 已知 𝑎,𝑏∈𝐑，且 e𝑥+1≥𝑎𝑥+𝑏 对 𝑥∈𝐑 恒成立，则 𝑎𝑏 的最大值是

(  )

A. e3

21

B.

√23e 2

C.

√33e 2

D. e3

25. 函数 𝑓(𝑥) 是定义在区间 (0,+∞) 上的可导函数 ， 其导函数为 𝑓ʹ(𝑥)，

且满足 𝑥𝑓ʹ(𝑥)+2𝑓(𝑥)>0，则不等式 为 (  ) A. {𝑥>−2011} C. {𝑥∣

−2011<𝑥<0}

𝑎)2

+(ln𝑥−

𝑎224

(𝑥+2016)𝑓(𝑥+2016)

5

<

5𝑓(5)𝑥+2016

的解集

B. {𝑥∣𝑥<−2011} ∣D. {𝑥∣)+

𝑎24

−2016<𝑥＜−2011}

26. 设 𝐷=√(𝑥−

(  )

A.

√22

+1(𝑎∈𝐑)，则 𝐷 的最小值为

B. 1 C. √2 D. 2

27. 已知定义在 𝐑 上的函数 𝑦=𝑓(𝑥) 满足：函数 𝑦=𝑓(𝑥+1) 的图象关于

直线 𝑥=−1 对称，且当 𝑥∈(−∞,0) 时，𝑓(𝑥)+𝑥𝑓ʹ(𝑥)<0 成立（𝑓ʹ(𝑥) 是函数 𝑓(𝑥) 的导函数），若 𝑎=0.76𝑓(0.76)，𝑏=log106𝑓(log106)，𝑐=60.6𝑓(60.6)，则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系是 (  )

77

A. 𝑎>𝑏>𝑐 B. 𝑏>𝑎>𝑐 C. 𝑐>𝑎>𝑏 D. 𝑎>𝑐>𝑏

28. 对任意的正数 𝑥，都存在两个不同的正数 𝑦，使 𝑥2(ln𝑦−ln𝑥)−𝑎𝑦2=

0 成立，则实数 𝑎 的取值范围为 (  )

1

1

1

1

A. (0,)

2e

B. (−∞,)

2eC. (,+∞)

2e

13

𝑎+12

D. (,1)

2e

29. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥3−6𝑥2+9𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥3−

数 𝑎 的取值范围为 (  )

𝑥2+𝑎𝑥−(𝑎>1)

3

1

若对任意的 𝑥1∈[0,4]，总存在 𝑥2∈[0,4]，使得 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，则实

A. (1,]

4

9

B. [9,+∞)

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C. (1,]∪[9,+∞)

4

9

D. [,]∪[9,+∞)

24

39

30. 定义在 𝐑 上的偶函数 𝑓(𝑥) 满足 𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且当 𝑥∈[1,2] 时，

𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑥+1，若函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚𝑥 有 7 个零点，则实数 𝑚 的取值范围为 (  )

1−ln21−ln28688

ln2−1ln2−16

A. (B. (

,

68

)∪(,

8

)

ln2−1ln2−1

,) )

C. (D. (

1−ln21−ln2

,

66

1−ln2ln2−1

,)

𝑥≥0

，若方程 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) 有五个不同的根，𝑥<0

C. (1,+∞)

D. (e,+∞)

e𝑥,

31. 已知函数 𝑓(𝑥)={

𝑎𝑥,

A. (−∞,−e)

则实数 𝑎 的取值范围为 (  )

B. (−∞,−1)

32. 已知 𝑓ʹ(𝑥) 是奇函数 𝑓(𝑥) 的导函数，𝑓(−1)=0，当 𝑥>0 时，

𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)>0，则使得 𝑓(𝑥)>0 成立的 𝑥 的取值范围是 (  ) A. (−∞,−1)∪(0,1) C. (−1,0)∪(0,1)

B. (−1,0)∪(1,+∞) D. (−∞,−1)∪(1,+∞)

33. 已知函数 𝑓(𝑥) 在定义域 𝐑 上的导函数为 𝑓ʹ(𝑥)，若方程 𝑓ʹ(𝑥)=0 无解，

且 𝑓[𝑓(𝑥)−2017𝑥]=2017，当 𝑔(𝑥)=sin𝑥−cos𝑥−𝑘𝑥 在 [−,] 上

22ππ

与 𝑓(𝑥) 在 𝐑 上的单调性相同时，则实数 𝑘 的取值范围是 (  )

A. (−∞,−1]

B. (−∞,√2]

e𝑥∣𝑥∣

C. [−1,√2] D. [√2,+∞)

34. 已知函数 𝑓(𝑥)=，关于 𝑥 的方程 𝑓2(𝑥)−2𝑎𝑓(𝑥)+𝑎−1=

0(𝑎∈𝐑) 有 3 个相异的实数根，则 𝑎 的取值范围是 (  )

A. (,+∞)

2e−1

e2−1

B. (−∞,) 2e−1

e2−1

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C. (0,) 2e−1

e2−1

D. {} 2e−1

∣𝑘𝐴−𝑘𝐵∣∣𝐴𝐵∣

e2−1

35. 函数 𝑦=𝑓(𝑥) 图象上不同两点 𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2) 处的切线的斜率分

别是 𝑘𝐴，𝑘𝐵，规定 𝜑(𝐴,𝐵)=

叫做曲线在点 𝐴 与点 𝐵 之间的

“弯曲度”．设曲线 𝑦=e𝑥 上不同的两点 𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，且 𝑥1−𝑥2=1，若 𝑡⋅𝜑(𝐴,𝐵)<3 恒成立，则实数 𝑡 的取值范围是 (  )

A. (−∞,3]

B. (−∞,2]

C. (−∞,1]

D. [1,3]

36. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+3𝑥2+1，若至少存在两个实数 𝑚，使得

𝑓(−𝑚)，𝑓(1)，𝑓(𝑚+2) 成等差数列，则过坐标原点作曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 的切线可以作 (  )

A. 3 条 B. 2 条 C. 1 条 D. 0 条

37. 已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，

(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，⋯，则第 60 个整数对是 (  )

A. (5,7) B. (4,8) C. (5,8) 0<𝑥<3,3≤𝑥≤9.

D. (6,7)

∣log3𝑥∣,

38. 已知函数 𝑓(𝑥)={π

−cos(𝑥),

3

𝑥2⋅𝑥3⋅𝑥4 的取值范围是 (  )

若存在实数 𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，

当 𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4 时，满足 𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=𝑓(𝑥3)=𝑓(𝑥4)，则 𝑥1⋅

A. (7,)

4

29

13

13

B. (21,) C. [27,30)

12

D. (27,)

39. 已知函数 𝑓(𝑥)=e2𝑥，𝑔(𝑥)=ln𝑥+ 的图象分别与直线 𝑦=𝑏 交于 𝐴，

𝐵 两点，则 ∣𝐴𝐵∣ 的最小值为 (  )

12

A. 1 B. e

𝑥2𝑎2

C. −

𝑦2𝑏2

2+ln22

D. e−

ln32

40. 设 𝐴，𝐵 分别为双曲线 𝐶：

=1(𝑎>0,𝑏>0) 的左、右顶点，𝑃，

𝑄 是双曲线 𝐶 上关于 𝑥 轴对称的不同两点，设直线 𝐴𝑃，𝐵𝑄 的斜率分

第7页（共52 页）

别为 𝑚，𝑛，则

2𝑏𝑎

++

𝑏

𝑎12∣𝑚𝑛∣

+ln∣𝑚∣+ln∣𝑛∣ 取得最小值时，双曲

线 𝐶 的离心率为 (  )

A. √2

B. √3 C. √6

D.

√62

41. 已知 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) 都是定义在 𝐑 上的函数，且满足以下条件：① 𝑓(𝑥)=

𝑎𝑥⋅𝑔(𝑥)（𝑎>0,𝑎≠1）；② 𝑔(𝑥) ≠0；③ 𝑓(𝑥)⋅𝑔ʹ(𝑥)>𝑓ʹ(𝑥)⋅𝑔(𝑥)．若 (  )

1

𝑓(1)𝑔(1

𝑓(−1)𝑔(−1

52

+)

=，则使 log𝑎𝑥>1 成立的 𝑥 的取值范围是 )

B. (0,)

2D. (2,+∞)

1

A. (0,)∪(2,+∞)

2C. (−∞,)∪(2,+∞)

2

1

42. 已知函数 𝑓(𝑥)=∣sin𝑥∣(𝑥∈[−π,π])，𝑔(𝑥)=𝑥−2sin𝑥(𝑥∈[−π,π])，

设方程 𝑓(𝑓(𝑥))=0，𝑓(𝑔(𝑥))=0，𝑔(𝑔(𝑥))=0 的实根的个数分别为 𝑚，𝑛，𝑡，则 𝑚+𝑛+𝑡= (  )

A. 9 B. 13 C. 17 D. 21

43. 设 𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的奇函数，且 𝑓(2)=0，当 𝑥>0 时，有

𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)

𝑥2

<0 恒成立，则不等式 𝑥2𝑓(𝑥)>0 的解集是 (  )

B. (−∞,−2)∪(0,2) D. (−2,0)∪(0,2)

A. (−2,0)∪(2,+∞) C. (−∞,−2)∪(2,+∞)

−𝑥2+2𝑥,𝑥≤0

44. 已知函数 𝑓(𝑥)={，若 ∣𝑓(𝑥)∣≥𝑎𝑥，则 𝑎 的取值范

ln(𝑥+1),𝑥>0

围是 (  ) A. (−∞,0]

B. (−∞,1]

C. [−2,1]

D. [−2,0]

𝑥+1𝑥

45. 已知函数 𝑓(𝑥)(𝑥∈𝐑) 满足 𝑓(−𝑥)=2−𝑓(𝑥)，若函数 𝑦= 与 𝑦=

𝑓(𝑥) 图象的交点为 (𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，⋯，(𝑥𝑚,𝑦𝑚)，则 ∑𝑚𝑖=1(𝑥𝑖+𝑦𝑖)= (  )

第8页（共52 页）

A. 0 B. 𝑚

13

C. 2𝑚 D. 4𝑚

46. 若函数 𝑓(𝑥)=𝑥−sin2𝑥+𝑎sin𝑥 在 (−∞,+∞) 单调递增，则 𝑎 的取

值范围是 (  )

A. [−1,1] B. [−1,]

3

1

C. [−,]

33

11

D. [−1,−]

3

1

47. 已知两曲线 𝑦=𝑥3+𝑎𝑥 和 𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 都经过点 𝑃(1,2)，且在点

𝑃 处有公切线，则当 𝑥≥ 时，log𝑏

21

𝑎𝑥2−𝑐2𝑥12

的最小值为 (  )

D. 0

A. −1 B. 1 C.

48. 直线 𝑦=𝑚 分别与 𝑦=2𝑥+3 及 𝑦=𝑥+ln𝑥 交于 𝐴，𝐵 两点，则

∣𝐴𝐵∣ 的最小值为 (  ) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

49. 设函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+1+𝑎ln𝑥 有两个极值点 𝑥1，𝑥2，且 𝑥1<𝑥2，

则 𝑓(𝑓2) 的取值范围是 (  ) A. (0,C. (

1+2ln244

1−2ln24

) B. (,0)

4

1+2ln2

,+∞) D. (−∞,

1−2ln2

)

−ln𝑥,

50. 设直线 𝑙1，𝑙2 分别是函数 𝑓(𝑥)={

ln𝑥,

𝐵，则 △𝑃𝐴𝐵 的面积的取值范围是 (  )

0<𝑥<1,

图象上点 𝑃1，𝑃2

𝑥>1,

处的切线，𝑙1 与 𝑙2 垂直相交于点 𝑃，且 𝑙1，𝑙2 分别与 𝑦 轴相交于点 𝐴，

A. (0,1)

B. (0,2)

C. (0,+∞)

D. (1,+∞)

51. 已知定义在 𝐑 上的奇函数 𝑓(𝑥)，其导函数为 𝑓ʹ(𝑥)，对任意正实数 𝑥 满

足 𝑥𝑓ʹ(𝑥)>2𝑓(−𝑥)，若 𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)，则不等式 𝑔(𝑥)<𝑔(1−3𝑥) 的解集是 (  )

1

1

A. (,+∞)

4C. (0,)

4

1

B. (−∞,)

4

D. (−∞,)∪(,+∞)

44

第9页（共52 页）

1

1

52. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥(ln𝑥−𝑎𝑥) 有两个极值点，则实数 𝑎 的取值范围是

(  ) A. (−∞,0)

B. (0,)

2

1

C. (0,1) D. (0,+∞)

53. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥ln𝑥，若 𝑚∈𝐙，且 (𝑚−2)(𝑥−2)<𝑓(𝑥) 对任

意的 𝑥>2 恒成立，则 𝑚 的最大值为 (  ) A. 4

B. 5

𝑎𝑥

C. 6 D. 8

. 已知函数 𝑓(𝑥)=+𝑥ln𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥3−𝑥2−5，若对任意的 𝑥1,𝑥2∈

[,2]，都有 𝑓(𝑥1)−𝑔(𝑥2)≥2 成立，则 𝑎 的取值范围是 (  )

21

A. (0,+∞) B. [1,+∞) C. (−∞,0) D. (−∞,−1]

55. 设函数 𝑓(𝑥)=e𝑥(2𝑥−1)−𝑎𝑥+𝑎，其中 𝑎<1，若存在唯一的整数

𝑥0 使得 𝑓(𝑥0)<0，则 𝑎 的取值范围是 (  )

32e

3

3

3

3

3

A. [−

,1) B. [−

,) 2e4C. [,)

2e4

D. [,1)

2e

(𝑥−𝑎)2+e,𝑥≤2

56. 函数 𝑓(𝑥)={𝑥（e 是自然对数的底数），若 𝑓(2)

+𝑎+10,𝑥>2

ln𝑥

是函数 𝑓(𝑥) 的最小值，则 𝑎 的取值范围是 (  )

A. [−1,6]

B. [1,4]

C. [2,4]

D. [2,6]

57. 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)(𝑔(𝑥)≠0) 分别是定义在 𝐑 上的奇函数和偶函数，当 𝑥<0

时，𝑓ʹ(𝑥)𝑔(𝑥)<𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)，且 𝑓(−3)=0，

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

<0 的解集为 (  )

A. (−∞,−3)∪(3,+∞) C. (−3,0)∪(3,+∞)

B. (−3,0)∪(0,3) D. (−∞,−3)∪(0,3)

58. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑（𝑏，𝑐，𝑑 为常数），当 𝑥∈(0,1)

时 𝑓(𝑥) 取得极大值，当 𝑥∈(1,2) 时 𝑓(𝑥) 取得极小值，则 (𝑏+)+

2(𝑐−3)2 的取值范围是 (  )

12

√37A. (,5)

2

B. (√5,5)

C. (,25)

4

37

D. (5,25)

第10页（共52 页）

59. 若关于 𝑥 的方程 ∣𝑥4−𝑥3∣=𝑎𝑥 在 𝐑 上存在 4 个不同的实根，则实数

𝑎 的取值范围为 (  )

4

4

4

2

4

2

A. (0,)

27

B. (0,]

27C. (,)

273

D. (,]

273

60. 设函数 𝑓(𝑥) 在 𝐑 上存在导函数 𝑓ʹ(𝑥)，若对 ∀𝑥∈𝐑，有 𝑓(−𝑥)+

𝑓(𝑥)=𝑥2，且当 𝑥∈(0,+∞) 时，𝑓ʹ(𝑥)>𝑥．若 𝑓(2−𝑎)−𝑓(𝑎)≥2−2𝑎，则 𝑎 的取值范围是 (  )

A. (−∞,1] B. [1,+∞) C. (−∞,2]

1e

D. [2,+∞)

61. 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 𝑥∈[,1]，总存在唯一的 𝑦∈

[−1,1]，使得 ln𝑥−𝑥+1+𝑎=𝑦2e𝑦 成立，则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

A. [,e]

e

1

B. (,e]

e

2

C. (,+∞)

e

2

D. (,e+)

ee

21

2𝑥+1,𝑥>0,

𝑚

62. 设函数 𝑓(𝑥)={0,𝑥=0, .若不等式 𝑓(𝑥−1)+𝑓()>0 对任意

𝑥

2𝑥−1,𝑥<0

𝑥>0 恒成立，则实数 𝑚 的取值范围是 (  ) A. (−,)

44

11

B. (0,)

4

1

C. (,+∞)

4

1

D. (1,+∞)

63. 若 0<𝑥1<𝑥2<1，则 (  )

A. e𝑥2−e𝑥1>ln𝑥2−ln𝑥1 C. 𝑥2e𝑥1>𝑥1e𝑥2

B. e𝑥1−e𝑥2. 函数 𝑓(𝑥) 在定义域 𝐑 内可导，若 𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，且 (𝑥−1)𝑓ʹ(𝑥)<

0，若 𝑎=𝑓(0),𝑏=𝑓(),𝑐=𝑓(3), 则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系是 (  )

2

1

A. 𝑎>𝑏>𝑐 B. 𝑏>𝑎>𝑐

9

𝑥+11∣𝑥+𝑏∣

C. 𝑐>𝑏>𝑎 D. 𝑎>𝑐>𝑏

65. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥−4+

值 𝑏，则函数 𝑔(𝑥)=()𝑎

,𝑥∈(0,4)．当 𝑥=𝑎 时，𝑓(𝑥) 取得最小

的图象为 (  )

第11页（共52 页）

A. B.

C. D.

66. 𝑓(𝑥) 是定义在 (0,+∞) 上的单调函数，且对 ∀𝑥∈(0,+∞) 都有

𝑓(𝑓(𝑥)−ln𝑥)=e+1，则方程 𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)=e 的实数解所在的区间是 (  )

1

1

A. (0,)

e

B. (,1)

e

C. (1,e) D. (e,3)

67. 已知 𝐑 上的奇函数 𝑓(𝑥) 满足 𝑓ʹ(𝑥)>−2，则不等式 𝑓(𝑥−1)<

𝑥2(3−2ln𝑥)+3(1−2𝑥) 的解集是 (  )

1

A. (0,)

e

68. 已知函数 𝑓(𝑥)=

B. (0,1)

sin𝑥𝑥

C. (1,+∞) D. (e,+∞)

，给出下面三个结论：

π

π

①函数 𝑓(𝑥) 在区间 (−,0) 上单调递增，在区间 (0,) 上单调递减；

22 ②函数 𝑓(𝑥) 没有最大值，而有最小值；

③函数 𝑓(𝑥) 在区间 (0,π) 上不存在零点，也不存在极值点． 其中，所有正确结论的序号是 (  )

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

69. 已知函数 𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的可导函数，𝑓ʹ(𝑥) 为其导函数，若对于

任意实数 𝑥，有 𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)>0，则 A. e𝑓(2015)>𝑓(2016) B. e𝑓(2015)<𝑓(2016)

第12页（共52 页）

C. e𝑓(2015)=𝑓(2016)

D. e𝑓(2015) 与 𝑓(2016) 大小不能确定

70. 若存在正实数 𝑚，使得关于 𝑥 的方程 𝑥+𝑎(2𝑥+2𝑚−4e𝑥)[ln(𝑥+

𝑚)−ln𝑥]=0 有两个不同的根，其中 e 为自然对数的底数，则实数 𝑎 的取值范围是 (  )

1

A. (−∞,0)

C. (−∞,0)∪(,+∞)

2eπ

1

B. (0,)

2eD. (,+∞)

2e

1

71. 定义在 (0,) 上的函数 𝑓(𝑥)，𝑓ʹ(𝑥) 是它的导函数，且恒有 𝑓(𝑥)⋅

2

tan𝑥<𝑓ʹ(𝑥) 成立，则 (  ) A. √3𝑓()>√2𝑓()

43C. √2𝑓()>𝑓() A. ∃𝑥0∈𝐑，𝑓(𝑥0)=0

B. 函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象是中心对称图形

C. 若 𝑥0 是 𝑓(𝑥) 的极小值点，则 𝑓(𝑥) 在区间 (−∞,𝑥0) 单调递减 D. 若 𝑥0 是 𝑓(𝑥) 的极值点，则 𝑓ʹ(𝑥0)=0

73. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln+，𝑔(𝑥)=e𝑥−2，若 𝑔(𝑚)=𝑓(𝑛) 成立，则 𝑛−

2

2𝑥

1

π

π

π

π

B. 𝑓(1)<2𝑓()sin1

6D. √3𝑓()<𝑓()

63

π

π

π

72. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，下列结论中错误的是 (  )

𝑚 的最小值为 (  )

A. 1−ln2

B. ln2

C. 2√e−3

D. e2−3

74. 设函数 𝑓(𝑥)=e𝑥(𝑥3−3𝑥+3)−𝑎e𝑥−𝑥(𝑥≥−2)，若不等式 𝑓(𝑥)≤

0 有解．则实数 𝑎 的最小值为 (  ) A. −1

e2

B. 2− e

2

C. 1+2e2 D. 1− e

1

第13页（共52 页）

75. 设函数 𝑓(𝑥)=2ln𝑥−𝑚𝑥2−𝑛𝑥，若 𝑥=2 是 𝑓(𝑥) 的极大值点，则

2

1

𝑚 的取值范围为 (  )

A. (−,+∞)

2C. (0,+∞)

1

B. (−,0)

2

D. (−∞,−)∪(0,+∞)

2

1，

1

1

76. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2−2(𝑎≠0) 有且仅有两个不同的零点 𝑥

𝑥2，则 (  )

A. 当 𝑎<0 时，𝑥1+𝑥2<0，𝑥1𝑥2>0B. 当 𝑎<0 时，𝑥1+𝑥2>0，C. 当 𝑎>0 时，𝑥1+𝑥2<0，𝑥1𝑥2>0D. 当 𝑎>0 时，𝑥1+𝑥2>0，

𝑥1𝑥2<0

𝑥1𝑥2<0

77. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3−3𝑥2+1 ，若 𝑓(𝑥) 存在唯一的零点 𝑥0 ，且

𝑥0>0 ，则 𝑎 的取值范围为 (  )

A. (2,+∞)

B. (1,+∞)

C. (−∞,−2)

D. (−∞,−1)

78. 设 𝑓(𝑥) 、 𝑔(𝑥) 是定义域为 𝐑 的恒大于零的可导函数，且 𝑓ʹ(𝑥)𝑔(𝑥)−

𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)<0，则当 𝑎<𝑥<𝑏 时，有 (  ) A. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)>𝑓(𝑏)𝑔(𝑏) C. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑏)>𝑓(𝑏)𝑔(𝑥)

B. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑎)>𝑓(𝑎)𝑔(𝑥) D. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)>𝑓(𝑎)𝑔(𝑎)

79. 设函数 𝑓ʹ(𝑥) 是函数 𝑓(𝑥)(𝑥∈𝐑) 的导函数，𝑓(0)=1，且 3𝑓(𝑥)=

𝑓ʹ(𝑥)−3，则 4𝑓(𝑥)>𝑓ʹ(𝑥) 的解集为 (  )

A. (

ln43

,+∞) B. (

ln23

,+∞)

C. (,+∞)

2

√3D. (

√e,+∞) 3

80. 下列关于函数 𝑓(𝑥)=(2𝑥−𝑥2)e𝑥 的判断正确的是 (  ) ① 𝑓(𝑥)>0 的解集是 {𝑥∣0<𝑥<2}； ② 𝑓(−√2) 是极小值，𝑓(√2) 是极大值； ③ 𝑓(𝑥) 没有最小值，也没有最大值；

第14页（共52 页）

④ 𝑓(𝑥) 有最大值，没有最小值．

A. ①③

B. ①②③

C. ②④

D. ①②④

第15页（共52 页）

参，仅供参考啊

1. D 【解析】𝑓ʹ(𝑥)=e𝑥+𝑥e𝑥−𝑚(𝑥+1)=(𝑥+1)(e𝑥−𝑚)， 因为 1≤𝑥≤2， 所以 e≤e𝑥≤e2，

①当 𝑚≤e 时，e𝑥−𝑚≥0，由 𝑥≥1，可得 𝑓ʹ(𝑥)≥0，此时函数 𝑓(𝑥) 单调递增．

所以当 𝑥=1 时，函数 𝑓(𝑥) 取得最小值，𝑓(1)=e−𝑚．

23

②当 𝑚≥e2 时，e𝑥−𝑚≤0，由 𝑥≥1，可得 𝑓ʹ(𝑥)≤0，此时函数 𝑓(𝑥) 单调递减．

所以当 𝑥=2 时，函数 𝑓(𝑥) 取得最小值，𝑓(2)=2e2−4𝑚． ③当 e2>𝑚>e 时，由 e𝑥−𝑚=0，解得 𝑥=ln𝑚． 当 1≤𝑥0，此时函数 𝑓(𝑥) 单调递增． 所以当 𝑥=ln𝑚 时，函数 𝑓(𝑥) 取得极小值即最小值，𝑓(ln𝑚)=−2. D 【解析】𝑓ʹ(𝑥)=

π2

𝑥cos𝑥−sin𝑥

𝑥24π2𝑚2

ln2𝑚．

(0<𝑥<π)．

（i） 当 𝑥= 时，𝑓ʹ(𝑥)=−

<0；

𝑥cos𝑥−sin𝑥

𝑥2

（ii） 当 0<𝑥<π，且 𝑥≠ 时，𝑓ʹ(𝑥)=

2

π2

π

=

cos𝑥(𝑥−tan𝑥)

𝑥2

．

① 当 0<𝑥< 时，根据三角函数线的性质，得 𝑥0，所以 𝑓ʹ(𝑥)<0；

② 当 <𝑥<π 时，tan𝑥<0，则 𝑥−tan𝑥>0，又 cos𝑥<0，所以 𝑓ʹ(𝑥)<

2π

0．

综合（i）（ii），当 0<𝑥<π 时，𝑓ʹ(𝑥)<0． 所以 𝑓(𝑥) 在 (0,π) 上是减函数． 若 <𝑎<𝑏<

3π

2π3

π3

𝑎+𝑏2

2π3

，则 <𝑎<√𝑎𝑏<

<𝑏<

，

第16页（共52 页）

所以 𝑓(𝑎)>𝑓(√𝑎𝑏)>𝑓(

𝑎+𝑏2

)>𝑓(𝑏)．来自QQ群339444963

3. C 【解析】令 𝑓(𝑥1)=𝑎−𝑥1，

则 𝑓(𝑥1)=𝑎−𝑥1 在 𝑥1∈[0,1] 上单调递减，且 𝑓(0)=𝑎，𝑓(1)=𝑎−1．

2𝑥2

令 𝑔(𝑥2)=𝑥2e，

2𝑥2则 𝑔ʹ(𝑥2)=2𝑥2e𝑥2+𝑥2e=𝑥2e𝑥2(𝑥2+2)，且 𝑔(0)=0，𝑔(−1)=，e1

𝑔(1)=e．

2𝑥2若对任意的 𝑥1∈[0,1]，总存在唯一的 𝑥2∈[−1,1]，使得 𝑥1+𝑥2e−𝑎=0

成立，

即 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，

则 𝑓(𝑥1)=𝑎−𝑥1 的最大值不能大于 𝑔(𝑥2) 的最大值， 即 𝑓(0)=𝑓≤e，

因为 𝑔(𝑥2) 在 [−1,0] 上单调递减，在 (0,1] 上单调递增， 所以当 𝑔(𝑥2)∈(0,] 时，有两个 𝑥2 使得 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)．

e1

若只有唯一的 𝑥2∈[−1,1]，使得 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)， 则 𝑓(𝑥1) 的最小值要比 大，

e11e

所以 𝑓(1)=𝑎−1>， 所以 𝑎>1+，

e1

故实数 𝑎 的取值范围是 (1+,e]．来自QQ群339444963

e

1

4. B 【解析】𝑧ln=𝑥，

𝑧

𝑦

所以 =ln𝑦−ln𝑧，

𝑧

𝑥

所以 ln𝑦=+ln𝑧，

𝑧

𝑥

所以 ln=ln𝑦−ln𝑥=+ln𝑧−ln𝑥=+ln，

𝑥

𝑧

𝑧

𝑥

𝑦𝑥𝑥𝑧

令 =𝑡，则 ln=+ln𝑡，

𝑥

𝑥

𝑡

𝑧𝑦1

又因为 ≤𝑥≤e𝑧，

2

𝑧

第17页（共52 页）

所以 ≤≤e，

2

𝑧

1𝑥

即 𝑡∈[,2]，令 ln=+ln𝑡=𝑓(𝑡)，

e

𝑥

𝑡

1𝑦1

则 𝑓ʹ(𝑡)=

1e

𝑡−1𝑡2

，令 𝑓ʹ(𝑡)=0 即 𝑡=1，

又因为 ≤𝑡≤2，

所以 𝑡∈[,1] 时 𝑓ʹ(𝑡)<0，𝑓(𝑡) 单调减，𝑡∈[1,2] 时 𝑓ʹ(𝑡)>0，𝑓(𝑡) 单调

e1

增，

所以 𝑡=1 时 𝑓(𝑡) 取极小值，即 𝑓(1)=1， 𝑓(2)=+ln2，𝑓()=e+ln=e−1

2ee

𝑓()−𝑓(2)=e−ln2−>e−lne−=e−>0， e222所以 𝑓(𝑡) 最大值为 e−1， 所以 𝑓(𝑡)∈[1,e−1]， 所以 ln∈[1,e−1]．

𝑥𝑦1

3

3

5

1

1

1

5. A

【解析】由 ln∣𝑥∣−𝑎𝑥2+=0 得 𝑎𝑥2=ln∣𝑥∣+，

2

2

3

3

因为 𝑥≠0， 所以方程等价为 𝑎=设 𝑓(𝑥)=

ln∣𝑥∣+𝑥2

3

2ln∣𝑥∣+𝑥232，

，则函数 𝑓(𝑥) 是偶函数，

ln𝑥+𝑥2

32当 𝑥>0 时，𝑓(𝑥)=则 𝑓ʹ(𝑥)=

==

，

123

⋅𝑥−(ln𝑥+)⋅2𝑥𝑥2

4𝑥

𝑥−2𝑥ln𝑥−3𝑥−2𝑥(1+ln𝑥)

𝑥4𝑥4

,

由 𝑓ʹ(𝑥)>0 得 −2𝑥(1+ln𝑥)>0，得 1+ln𝑥<0，

第18页（共52 页）

即 ln𝑥<−1，得 0<𝑥<，此时函数单调递增，

e

1

由 𝑓ʹ(𝑥)<0 得 −2𝑥(1+ln𝑥)<0，得 1+ln𝑥>0， 即 ln𝑥>−1，得 𝑥>，此时函数单调递减，

e1

即当 𝑥>0 时，𝑥= 时，函数 𝑓(𝑥) 取得极大值 𝑓()=

ee

3

11

ln+13

e212()e=(−1+

e2=e2， )22

作出函数 𝑓(𝑥) 的图象如图：

1

要使 𝑎=

ln∣𝑥∣+𝑥23

2，有 4 个不同的交点，

12e． 2

则满足 0<𝑎<

6. D 【解析】提示：令 𝑓ʹ(𝑥)=2sin𝑥⋅e𝑥=0，得 𝑥=𝑘π，易知当 𝑥=2𝑘π(𝑘∈Z),1≤𝑘≤1007 时 𝑓(𝑥) 取到极小值，故各极小值之和为

𝑓(2π)+𝑓(4π)+⋯+𝑓(2014π)=−(e2π+e4π+⋯+e2014π)

e2π(1−e2014π)

=−.

1−e2π

7. A 【解析】因为 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑓ʹ(𝑥)−ln𝑥)， 所以 𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥， 所以

𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)

𝑥2𝑓(𝑥)𝑥

ln𝑥𝑥

=

𝑥

，

所以 [

]ʹ=

𝑓(𝑥)𝑥ln𝑥𝑥

ln𝑥

，

令 𝐹(𝑥)=则 𝐹ʹ(𝑥)=

，

，𝑓(𝑥)=𝑥𝐹(𝑥)，

第19页（共52 页）

所以 𝑓ʹ(𝑥)=𝐹(𝑥)+𝑥𝐹ʹ(𝑥)=𝐹(𝑥)+ln𝑥， 所以 𝑓ʺ(𝑥)=𝐹ʹ(𝑥)+=

𝑥

1

1

ln𝑥+1𝑥

，

1

因为 𝑥∈(0,)，𝑓ʺ(𝑥)<0，𝑓ʹ(𝑥) 单减，𝑥∈(,+∞)，𝑓ʺ(𝑥)>0，𝑓ʹ(𝑥) 单

ee增，

所以 𝑓ʹ(𝑥)≥𝑓ʹ()=𝐹()+ln=e𝑓()−1=0，

eeee所以 𝑓ʹ(𝑥)≥0，

所以 𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上单增，

因为 e⋅𝑓(e𝑥)<𝑓ʹ()+1，𝑓ʹ()=−1+e⋅𝑓()=0， eee所以 e⋅𝑓(e𝑥)<1， 所以 𝑓(e𝑥)<，

e1

1

1

1

1

1

1

1

所以 𝑓(e𝑥)<𝑓()， e所以 0e1

1

所以不等式的解集为 𝑥<−1． 8. A 9. C 【解析】因为 𝑓ʹ(𝑥)=

1−(1+ln𝑥)

𝑥2=−

ln𝑥𝑥2，

所以 𝑓(𝑥) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,,+∞) 上单调递减，

当 𝑎>0 时，𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0⇔𝑓(𝑥)<−𝑎 或 𝑓(𝑥)>0，此时不等式 𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0 有无数个整数解，不符合题意；

当 𝑎=0 时，𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0⇔𝑓(𝑥)≠0，此时不等式 𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0 有无数个整数解，不符合题意；

当 𝑎<0 时，𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0⇔𝑓(𝑥)<0 或 𝑓(𝑥)>−𝑎，要使不等式 𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)>0 恰有两个整数解，必须满足 𝑓(3)≤−𝑎<𝑓(2)，得 −10. B

【解析】因为 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥ln𝑥，所以 𝑓(𝑥)−𝑚(𝑥−1)>0 对任意 𝑥>1 恒成立，

第20页（共52 页）

1+ln22

1+ln33

<𝑎≤−

．

即 𝑚(𝑥−1)<𝑥+𝑥ln𝑥， 因为 𝑥>1，也就是 𝑚<令 ℎ(𝑥)=

𝑥⋅ln𝑥+𝑥𝑥−1

𝑥⋅ln𝑥+𝑥𝑥−1

对任意 𝑥>1 恒成立．

，

1

𝑥−1𝑥

𝑥

，则 ℎʹ(𝑥)=

𝑥−ln𝑥−2(𝑥−1)2令 𝜑(𝑥)=𝑥−ln𝑥−2(𝑥>1)，则 𝜑ʹ(𝑥)=1−=所以函数 𝜑(𝑥) 在 (1,+∞) 上单调递增．

因为 𝜑(3)=1−ln3<0，𝜑(4)=2−2ln2>0，

>0，

所以方程 𝜑(𝑥)=0 在 (1,+∞) 上存在唯一实根 𝑥0，且满足 𝑥0∈(3,4)． 当 1<𝑥<𝑥0 时，𝜑(𝑥)<0，即 ℎʹ(𝑥)<0， 当 𝑥>𝑥0 时，𝜑(𝑥)>0，即 ℎʹ(𝑥)>0，

所以函数 ℎ(𝑥) 在 (1,𝑥0) 上单调递减，在 (𝑥0,+∞) 上单调递增． 所以 [ℎ(𝑥)]min=ℎ(𝑥0)=

𝑥0(1+𝑥0−2)

𝑥0−1

=𝑥0∈(3,4)．

所以 𝑚<[𝑔(𝑥)]min=𝑥0，

因为 𝑥0∈(3,4)，故整数 𝑚 的最大值是 3． 11. D

𝑥ln(1+𝑥)+𝑥2,

【解析】函数 𝑓(𝑥)={

−𝑥ln(1−𝑥)+𝑥2,

𝑥≥0

， 𝑥<0

将 𝑥 换为 −𝑥，函数值不变，即有 𝑓(𝑥) 图象关于 𝑦 轴对称， 即 𝑓(𝑥) 为偶函数，有 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，

当 𝑥≥0 时，𝑓(𝑥)=𝑥ln(1+𝑥)+𝑥2 的导数为 𝑓ʹ(𝑥)=ln(1+𝑥)+2𝑥≥0，

则 𝑓(𝑥) 在 [0,+∞) 递增，𝑓(−𝑎)+𝑓(𝑎)≤2𝑓(1)，即为 2𝑓(𝑎)≤2𝑓(1)， 可得 𝑓(∣𝑎∣)≤𝑓(1)，可得 ∣𝑎∣≤1，解得 −1≤𝑎≤1． 12. D

【解析】由题意，可知 𝑓(𝑥)−log2016𝑥 是定值，不妨令 𝑡=

1𝑥ln2016

𝑥1+𝑥

+

𝑓(𝑥)−log2016𝑥，则 𝑓(𝑥)=log2016𝑥+𝑡，又 𝑓(𝑡)=2017，所以 log2016𝑡+𝑡=2017⇒𝑡=2016，即 𝑓(𝑥)=log2016𝑥+2016，则 𝑓ʹ(𝑥)=

，显然当 𝑥∈(0,+∞) 时，有 𝑓ʹ(𝑥)>0，即函数 𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上为单调递增，又 20.5>1>logπ3>log43，所以 𝑓(20.5)>𝑓(logπ3)>𝑓(log43)．

第21页（共52 页）

13. D 【解析】当 𝑥≥1 时，𝑓(𝑥)=ln𝑥≥0，

所以 𝑓(𝑥)+1≥1，

所以 𝑓[𝑓(𝑥)+1]=ln(𝑓(𝑥)+1)，

当 𝑥<1，𝑓(𝑥)=1−>，𝑓(𝑥)+1>，

2

2

2

𝑥

1

3

𝑓[𝑓(𝑥)+1]=ln(𝑓(𝑥)+1)，

综上可知：𝐹[𝑓(𝑥)+1]=ln(𝑓(𝑥)+1)+𝑚=0，

则 𝑓(𝑥)+1=e−𝑚，𝑓(𝑥)=e−𝑚−1，有两个根 𝑥1，𝑥2，（不妨设 𝑥1<𝑥2）， 当 𝑥≥1 是，ln𝑥2=e−𝑚−1，当 𝑥<1 时，1−令 𝑡=e−𝑚−1>，则 ln𝑥2=𝑡，𝑥2=e𝑡，1−

21

𝑥122

=e−𝑚−1，

𝑥1

=𝑡，𝑥1=2−2𝑡，

所以 𝑥1𝑥2=e𝑡(2−2𝑡)，𝑡>，

2

1

设 𝑔(𝑡)=e𝑡(2−2𝑡)，𝑡>，

2

1

求导 𝑔ʹ(𝑡)=−2𝑡e𝑡，

𝑡∈(,+∞)，𝑔ʹ(𝑡)<0，函数 𝑔(𝑡) 单调递减，

21

所以 𝑔(𝑡)<𝑔()=√e，

2所以 𝑔(𝑥) 的值域为 (−∞,√e)， 所以 𝑥1𝑥2 取值范围为 (−∞,√e)． 14. A

1

1

【解析】当 𝑥<0 时，𝑓(𝑥)=(𝑥+1)e𝑥，可得 𝑓ʹ(𝑥)=(𝑥+2)e𝑥，

可知 𝑥∈(−∞,−2)，函数是减函数，𝑥∈(−2,0) 函数是增函数，𝑓(−2)=−2，𝑓(−1)=0，且 𝑥→0 时，𝑓(𝑥)→1，

e

又 𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的奇函数，𝑓(0)=0，而 𝑥∈(−∞,−1) 时，𝑓(𝑥)<0， 所以函数的图象如图：

第22页（共52 页）

令 𝑡=𝑓(𝑥) 则 𝑓(𝑡)=𝑚，由图象可知：当 𝑡∈(−1,1) 时，方程 𝑓(𝑥)=𝑡 至多 3 个根，当 𝑡∉(−1,1) 时，方程没有实数根，而对于任意 𝑚∈𝐑，方程 𝑓(𝑡)=𝑚 至多有一个根，𝑡∈(−1,1)，从而函数 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))−𝑚 的零点个数至多有 3 个． 15. D

【解析】函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥 在区间 (0,3] 上有三个零点即函数 𝑓(𝑥)=∣ln𝑥∣ 与 𝑦=𝑎𝑥 在区间 (0,3] 上有三个交点．画图如下．

当 𝑎≤0 时，显然，不合乎题意，当 𝑎＞0 时，由图知，当 𝑥∈(0,1] 时，存在一个交点，当 𝑥＞1 时，𝑓(𝑥)=ln𝑥，可得 𝑔(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥(𝑥∈(1,3])，𝑔ʹ(𝑥)=−𝑎=

𝑥

1𝑎

1

1−𝑎𝑥𝑥

1

，若 𝑔ʹ(𝑥)＜0，可得 𝑥＞，𝑔(𝑥) 为减函数，若 𝑔ʹ(𝑥)

𝑎

＞0，可得 𝑥＜，𝑔(𝑥) 为增函数，此时 𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑎𝑥 必须在 [1,3] 上𝑔()＞0,𝑎

有两个交点，即 𝑦=𝑔(𝑥) 在 [1,3] 上有两个零点，所以 {𝑔(3)≤0, 解得

𝑔(1)≤0,

ln33

1

≤𝑎＜，故函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥 在区间 (0,3] 上有三个零点时，

e

1e

1ln33

≤

𝑎＜． 16. A

【解析】因为函数 𝑓(𝑥) 是偶函数，

所以 𝑓(𝑥+1)=𝑓(3−𝑥)=𝑓(𝑥−3)．

所以 𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)，即函数 𝑓(𝑥) 是周期为 4 的周期函数． 因为 𝑓(2015)=𝑓(4×504−1)=𝑓(−1)=𝑓(1)=2， 所以 𝑓(1)=2． 设 𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)e𝑥

𝑓ʹ(𝑥)e𝑥−𝑓(𝑥)e𝑥

e2𝑥

𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)

e𝑥

，则 𝑔ʹ(𝑥)=

=<0，

第23页（共52 页）

所以 𝑔(𝑥) 在 𝐑 上单调递减． 不等式 𝑓(𝑥)<2e𝑥−1 等价于 所以 𝑥>1，

所以不等式 𝑓(𝑥)<2e𝑥−1 的解集为 (1,+∞)． 17. C

【解析】构造函数 𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)e𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)

e𝑥𝑓(𝑥)e𝑥<，即 𝑔(𝑥)<𝑔(1)，

e

2

，则函数求导得 𝑔ʹ(𝑥)=．

由已知 𝑓ʹ(𝑥)>𝑓(𝑥)，所以 𝑔ʹ(𝑥)>0，即 𝑔(𝑥) 在实数范围内单调递增， 所以 𝑔(ln2)<𝑔(ln3)，即 18. A

𝑓(ln2)eln2<

𝑓(ln3)eln3，解得 3𝑓(ln2)<2𝑓(ln3)．

【解析】由题意，𝑓ʹ(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+2𝑏，因为 𝑓ʹ(𝑥) 是开口朝上

𝑓ʹ(0)>0𝑏>0,

的二次函数，所以 {𝑓ʹ(1)<0，得 {𝑎+𝑎+2𝑏<0, 由此可画出可行域，如图，

2+𝑎+𝑏>0,𝑓ʹ(2)>0

𝑏−2

𝑎−1

表示可行域内的点 (𝑎,𝑏) 和点 𝑃(1,2) 连线的斜率，显然 𝑃𝐴 的斜率最小，

𝑃𝐶 的斜率最大．

19. B 【解析】令 𝑦=𝑥e𝑥，则 𝑦ʹ=(1+𝑥)e𝑥，由 𝑦ʹ=0，得 𝑥=−1，当 𝑥∈(−∞,−1) 时，𝑦ʹ<0，函数 𝑦 单调递减，

当 𝑥∈(−1,∞) 时，𝑦ʹ>0 函数单调递增．做出 𝑦=𝑥e𝑥 图象，利用图象变换得 𝑓(𝑥)=∣𝑥e𝑥∣ 图象（如图），

第24页（共52 页）

令 𝑓(𝑥)=𝑚，则关于 𝑚 方程 ℎ(𝑚)=𝑚2−𝑡𝑚+1=0 两根分别在 (0,)，

e(e,+∞) 时（如图），

1

1

满足 𝑔(𝑥)=−1 的 𝑥 有 4 个，由 ℎ()=2−𝑡+1<0 解得 𝑡>

eee20. C

111

e2+1e

．

【解析】根据题意，对任意的 𝑥∈(0,+∞)，都有 𝑓[𝑓(𝑥)−log2𝑥]=3， 又由 𝑓(𝑥) 是定义在 (0,+∞) 上的单调函数， 则 𝑓(𝑥)−log2𝑥 为定值，

设 𝑡=𝑓(𝑥)−log2𝑥，则 𝑓(𝑥)=log2𝑥+𝑡， 又由 𝑓(𝑡)=3，即 log2𝑡+𝑡=3，解可得，𝑡=2； 则 𝑓(𝑥)=log2𝑥+2，𝑓ʹ(𝑥)=将 𝑓(𝑥)=log2𝑥+2，𝑓ʹ(𝑥)=可得 log2𝑥+2−即 log2𝑥−

1ln2⋅𝑥

1ln2⋅𝑥

1ln2⋅𝑥1ln2⋅𝑥

，

代入 𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)=2，

=2，

=0，

1ln2⋅𝑥1ln21

令 ℎ(𝑥)=log2𝑥−

，

<0，ℎ(2)=1−

12ln2

分析易得 ℎ(1)=−则 ℎ(𝑥)=log2𝑥−则方程 log2𝑥−21. A

1

>0，

ln2⋅𝑥

的零点在 (1,2) 之间，

ln2⋅𝑥

=0，即 𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)=2 的根在 (1,2) 上．

【解析】当 𝑥≤0 时，由 𝑦=√1+9𝑥2 得 𝑦2−9𝑥2=1(𝑥≤0)，

此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为 𝑦=−3𝑥，此时渐近线的斜率 𝑘1=−3，

第25页（共52 页）

当 𝑥>0 时，𝑓(𝑥)=1+𝑥e𝑥−1，

当过原点的直线和 𝑓(𝑥) 相切时，设切点为 (𝑎,1+𝑎e𝑎−1)，函数的导数 𝑓ʹ(𝑥)=e𝑥−1+𝑥e𝑥−1=(𝑥+1)e𝑥−1，则切线斜率 𝑘2=𝑓ʹ(𝑎)=(𝑎+1)e𝑎−1，则对应的切线方程为 𝑦−(1+𝑎e𝑎−1)=(1+𝑎)e𝑎−1(𝑥−𝑎)，即 𝑦=(1+𝑎)e𝑎−1(𝑥−𝑎)+1+𝑎e𝑎−1，

当 𝑥=0，𝑦=0 时，(1+𝑎)e𝑎−1(−𝑎)+1+𝑎e𝑎−1=0，即 𝑎2e𝑎−1+𝑎e𝑎−1=1+𝑎e𝑎−1，即 𝑎2e𝑎−1=1，得 𝑎=1，此时切线斜率 𝑘2=2，则切线和 𝑦=−3𝑥 的夹角为 𝜃，

−3−2∣5π

则 tan𝜃=∣==1，则 𝜃=， ∣1−2×3∣

故 ∠𝐴𝑂𝐵（𝑂 为坐标原点）的取值范围是 (0,)．来自QQ群339444963

4

π

22. C 【解析】由题意可知，因为 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+𝑎 在区间 [0,𝑎] 存

𝑓(𝑎)−𝑓(0)

𝑎

在 𝑥1，𝑥2 (𝑎<𝑥1<𝑥2＜𝑏)，满足 𝑓ʹ(𝑥1)=𝑓ʹ(𝑥2)=因为 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+𝑎， 所以 𝑓ʹ(𝑥)=3𝑥2−2𝑥，

=𝑎2−𝑎，

所以方程 3𝑥2−2𝑥=𝑎2−𝑎 在区间 (0,𝑎) 有两个不相等的解． 令 𝑔(𝑥)=3𝑥2−2𝑥−𝑎2+𝑎，(0<𝑥<𝑎)．

第26页（共52 页）

𝛥=4−12(−𝑎2+𝑎)>0,

𝑔(0)=−𝑎2+𝑎>0,则 𝑔(𝑎)=2𝑎2−𝑎>0,

0<1<𝑎.{6

解得：<𝑎<1．来自QQ群339444963

21

12

所以实数 𝑎 的取值范围是 (,1)． 23. C

【解析】当 𝑚<0 时，

函数 𝑓(𝑥) 的图象为开口向下的抛物线，所以在 𝑥>0 时，𝑓(𝑥)>0 不恒成立． 函数 𝑔(𝑥)=𝑚𝑥 当 𝑥>0 时，𝑔(𝑥)<0． 所以不满足题意．

当 𝑚=0 时，𝑓(𝑥)=−8𝑥+1，𝑔(𝑥)=0，不满足题意． 当 𝑚>0 时，

需 𝑓(𝑥)>0 在 𝑥<0 时恒成立，

𝛥≥0,

所以令 𝛥<0 或 {−2𝑎≥0,

𝑓(0)>0,

4(4−𝑚)2−8𝑚≥0,

即 4(4−𝑚)2−8𝑚<0 或 {4−𝑚

≥0.

2𝑚

𝑏

解得 2<𝑚<8 或 0<𝑚≤2．综合得：0<𝑚<8． 24. A

【解析】若 𝑎<0，由于一次函数 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 单调递减，不能满

足且 e𝑥+1≥𝑎𝑥+𝑏 对 𝑥∈𝐑 恒成立，则 𝑎≥0． 若 𝑎=0，则 𝑎𝑏=0．

若 𝑎>0，由 e𝑥+1≥𝑎𝑥+𝑏 得 𝑏≤e𝑥+1−𝑎𝑥，则 𝑎𝑏≤𝑎e𝑥+1−𝑎2𝑥． 设函数 𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥+1−𝑎2𝑥，

所以 𝑓ʹ(𝑥)=𝑎e𝑥+1−𝑎2=𝑎(e𝑥+1−𝑎)，令 𝑓ʹ(𝑥)=0 得 e𝑥+1−𝑎=0，解得 𝑥=ln𝑎−1，

因为 𝑥第27页（共52 页）

所以 𝑓ʹ(𝑥)<0，所以函数 𝑓(𝑥) 递减；

同理，𝑥>ln𝑎−1 时，𝑓ʹ(𝑥)>0，所以函数 𝑓(𝑥) 递增；

所以当 𝑥=ln𝑎−1 时，函数取最小值，𝑓(𝑥) 的最小值为 𝑓(ln𝑎−1)=2𝑎2−𝑎2ln𝑎．

设 𝑔(𝑎)=2𝑎2−𝑎2ln𝑎(𝑎>0)，𝑔ʹ(𝑎)=𝑎(3−2ln𝑎)(𝑎>0)，

由 𝑔ʹ(𝑎)=0 得 𝑎=e，不难得到 𝑎0；𝑎>e 时，𝑔ʹ(𝑎)<0；

所以函数 𝑔(𝑎) 先增后减，所以 𝑔(𝑎) 的最大值为 𝑔(e)=e3，即 𝑎𝑏 的最大

2

1

值是 e3，此时 𝑎

2

323232321

=e，𝑏=e2．

2

32

13

25. D 来自QQ群339444963

【解析】构造函数 𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)，𝑔ʹ(𝑥)=𝑥(2𝑓(𝑥)+𝑥𝑓ʹ(𝑥))， 当 𝑥>0 时，

因为 2𝑓(𝑥)+𝑥𝑓ʹ(𝑥)>0， 所以 𝑔ʹ(𝑥)>0，

所以 𝑔(𝑓) 在 (0,+∞) 上单调递增， 因为不等式

(𝑥+2016)𝑓(𝑥+2016)

5

5𝑓(5)𝑥+2016

<

，

所以 𝑥+2016>0 时，即 𝑥＞−2016 时， (𝑥+2016)2𝑓(𝑥+2016)<52𝑓(5)， 所以 𝑔(𝑥+2016)<𝑔(5)， 所以 𝑥+2016<5， 所以 −2016<𝑥<−2011． 26. C

【解析】𝑆=(𝑥−𝑎

)2

+(ln𝑥−

𝑎24

𝑎24

2

)(𝑎∈𝐑)，

其几何意义为：两点 (𝑥,ln𝑥)，(𝑎,由 𝑦=ln𝑥 的导数为 𝑦ʹ=，

𝑥1

) 的距离的平方，

第28页（共52 页）

所以 𝑘=

1𝑥11212

，点 (𝑎,

𝑎2

在曲线 𝑦=𝑥2 上， )44

1

所以 𝑦ʹ=𝑥， 所以 𝑘=𝑥2，

令 𝑓(𝑥)=ln𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥2，

41

则 𝐷(𝑥)=√(𝑥1−𝑥2)2+[𝑓(𝑥1)−𝑔(𝑥2)]2+𝑔(𝑥2)+1， 而 𝑔(𝑥2)+1 是抛物线 𝑦=𝑥2 上的点到准线 𝑦=−1 的距离，

41

14

即抛物线 𝑦=𝑥2 上的点到焦点 (0,1) 的距离，

则 𝐷 可以看作抛物线上的点 (𝑥2,𝑔(𝑥2)) 到焦点距离和到 𝑓(𝑥)=ln𝑥 上的点的距离的和， 即 ∣𝐴𝐹∣+∣𝐴𝐵∣，

由两点之间线段最短，得 𝐷 最小值是点 𝐹(0,1) 到 𝑓(𝑥)=ln𝑥 上的点的距离的最小值，

由点到直线上垂线段最短，这样就最小， 即取 𝐵(𝑥0,ln𝑥0)， 则 𝑓ʹ(𝑥0)⋅

ln𝑥0−1𝑥0

=−1，垂直，

2

则 ln𝑥0−1=−𝑥0，解得 𝑥0=1，

所以 𝐹 到 𝐵(1,0) 的距离就是点 𝐹(0,1) 到 𝑓(𝑥)=ln𝑥 上的点的距离的最小值， 所以 𝐷 的最小值为 ∣𝐷𝐹∣=√2．

第29页（共52 页）

27. D 【解析】定义在 𝐑 上的函数 𝑦=𝑓(𝑥) 满足：函数 𝑦=𝑓(𝑥+1)

的图象关于直线 𝑥=−1 对称，可知函数 𝑓(𝑥) 是偶函数， 所以 𝑦=𝑥𝑓(𝑥) 是奇函数，

又因为当 𝑥∈(−∞,0) 时，𝑓(𝑥)+𝑥𝑓ʹ(𝑥)<0 成立（𝑓ʹ(𝑥) 是函数 𝑓(𝑥) 的导函数），

所以函数 𝑦=𝑥𝑓(𝑥) 在 𝐑 上既是奇函数又是减函数； 0.7∈(0,1)，6

6

0.6

12<9∈(2,4)，log106≈log1.56∈(4,6)．

7所以 𝑎>𝑐>𝑏．来自QQ群339444963 28. A

𝑦𝑥

【解析】由 𝑥2(ln𝑦−ln𝑥)−𝑎𝑦2=0(𝑥,𝑦>0)，可得：𝑎=

ln

𝑥

()𝑦𝑥𝑦2，令 =𝑡>0， 所以 𝑎=

ln𝑡𝑡

，设 𝑔(𝑡)=2ln𝑡𝑡

，𝑔ʹ(𝑡)=21

×𝑡2−2𝑡ln𝑡𝑡𝑡4=

1−2ln𝑡𝑡3．

令 𝑔ʹ(𝑡)>0．

解得 0<𝑡<√e，此时函数 𝑔(𝑡) 单调递增； 令 𝑔ʹ(𝑡)<0．

解得 𝑡>√e，此时函数 𝑔(𝑡) 单调递减．

又 𝑡>1 时，𝑔(𝑡)>0；1>𝑡>0 时，𝑔(𝑡)<0． 可得函数 𝑔(𝑡) 的图象．

第30页（共52 页）

因此当 𝑎∈(0,) 时，存在两个正数，使得 𝑎=

2e

1ln𝑡𝑡2

成立，即对任意的正数 𝑥，

都存在两个不同的正数 𝑦，使 𝑥2(ln𝑦−ln𝑥)−𝑎𝑦2=0 成立．

29. C 【解析】函数 𝑓(𝑥)=𝑥3−6𝑥2+9𝑥，导数为 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−

12𝑥+9=3(𝑥−1)(𝑥−3)，可得 𝑓(𝑥) 的极值点为 1，3，由 𝑓(0)=0，𝑓(1)=4，𝑓(3)=0，𝑓(4)=4，可得 𝑓(𝑥) 在 [0,4] 的值域为 [0,4]；𝑔(𝑥)=

13

𝑎+12

13

𝑥3−𝑥2+𝑎𝑥−(𝑎>1)，导数为 𝑔′(𝑥)=𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎=

(𝑥−1)(𝑥−𝑎)，

当 1<𝑥<𝑎 时，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥) 递减；当 𝑥<1 或 𝑥>𝑎 时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥) 递增．

由 𝑔(0)=−，𝑔(1)=(𝑎−1)，𝑔(𝑎)=−𝑎3−𝑎2−>−，𝑔(4)=

3

2

6

2

3

3

1

1

1

1

1

1

13−4𝑎，

当 3≤𝑎≤4 时，13−4𝑎≤(𝑎−1)，𝑔(𝑥) 在 [0,4] 的值域为 [−,(𝑎−

2

32

1

11

1)]，由对任意的 𝑥1∈[0,4]，总存在 𝑥2∈[0,4]，使得 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，可得 [0,4]⊆[−,(𝑎−1)]，即有 4≤(𝑎−1)，解得 𝑎≥9 不成立；

32

2

11

1

当 1<𝑎<3 时，13−4𝑎>(𝑎−1)，𝑔(𝑥) 在 [0,4] 的值域为 [−,13−4𝑎]，

2

3

11

由题意可得 [0,4]⊆[−,13−4𝑎]，即有 4≤13−4𝑎，解得 𝑎≤，即为 1<

3

4

19

𝑎≤；

4

9

当 𝑎>4 时，可得 𝑔(1) 取得最大值，𝑔(4)<−3 为最小值，即有 [0,4]⊆[13−4𝑎,(𝑎−1)]，可得 13−4𝑎≤0，4≤(𝑎−1)，即 𝑎≥

2

2

1

1

134

，且 𝑎≥9，

解得 𝑎≥9．

第31页（共52 页）

综上可得，𝑎 的取值范围是 (1,]∪[9,+∞)．

4

9

30. A

【解析】因为函数 𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥) 可得图象关于直线 𝑥=1 对称，且函数为偶函数则其周期为 𝑇=2， 又因为 𝑓ʹ(𝑥)=−1=

𝑥1

1−𝑥𝑥

，当 𝑥∈[1,2] 时有 𝑓ʹ(𝑥)≤0，则函数在 𝑥∈[1,2]

为减函数，作出其函数图象如图所示：

其中 𝑘𝑂𝐴=(

ln2−1ln2−16

ln2−16

，𝑘𝑂𝐵=

ln2−18

，当 𝑥<0 时 , 要使符合题意则 𝑚∈

,

8

)，

1−ln21−ln28

根据偶函数的对称性，当 𝑥>0 时，要使符合题意则 𝑚∈(综上所述，实数 𝑚 的取值范围为 (31. A

1−ln21−ln28

,

6

)．

,

6

)∪(

ln2−1ln2−16

,

8

)．

𝑥>0𝑥=0． 𝑥<0

e,

【解析】因为 𝑓(𝑥)={

𝑎𝑥,

𝑥

−𝑎𝑥,

𝑥≥0

，所以 𝑓(−𝑥)={1,𝑥<0

e−𝑥,

显然 𝑥=0 是方程 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) 的一个根， 当 𝑥>0 时，e𝑥=−𝑎𝑥, ⋯⋯① 当 𝑥<0 时，e−𝑥=𝑎𝑥, ⋯⋯②

显然，若 𝑥0 为方程 ① 的解，则 −𝑥0 为方程 ② 的解， 即方程 ①，② 含有相同个数的解， 因为方程 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) 有五个不同的根， 所以方程 ① 在 (0,+∞) 上有两解，

做出 𝑦=e𝑥(𝑥>0) 和 𝑦=−𝑎𝑥(𝑥>0) 的函数图象，如图所示：

第32页（共52 页）

设 𝑦=𝑘𝑥 与 𝑦=e𝑥 相切，切点为 (𝑥0,𝑦0)， e𝑥0=𝑘,则 { 解得 𝑥0=1，𝑘=e．

𝑘𝑥0=e𝑥0,

因为 𝑦=e𝑥 与 𝑦=−𝑎𝑥 在 (0,+∞) 上有两个交点， 所以 −𝑎>e，即 𝑎<−e． 32. B 【解析】𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)𝑥

𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)

𝑥2

，则 𝑔ʹ(𝑥)=

>0 .所以 𝑔(𝑥) 单调递

增．又因为 𝑓ʹ(𝑥) 是奇函数且 𝑓(−1)=0．所以使得 𝑓(𝑥)>0 成立的 𝑥 的取值范围是 (−1,0)∪(1,+∞) . 33. A 立，

所以 𝑓(𝑥) 为 𝐑 上的单调函数， ∀𝑥∈𝐑 都有 𝑓[𝑓(𝑥)−2017𝑥]=2017，

则 𝑓(𝑥)−2017𝑥 为定值，设 𝑡=𝑓(𝑥)−2017𝑥，则 𝑓(𝑥)=𝑡+2017𝑥， 易知 𝑓(𝑥) 为 𝐑 上的增函数， 因为 𝑔(𝑥)=sin𝑥−cos𝑥−𝑘𝑥，

所以 𝑔ʹ(𝑥)=cos𝑥+sin𝑥−𝑘=√2sin(𝑥+)−𝑘，又 𝑔(𝑥) 与 𝑓(𝑥) 的单调性

4相同，

所以 𝑔(𝑥) 在 [−,] 上单调递增，则当 𝑥∈[−,] 时，𝑔ʹ(𝑥)≥0 恒成立，

22

22

ππ

πππ

【解析】若方程 𝑓ʹ(𝑥)=0 无解，则 𝑓ʹ(𝑥)>0 或 𝑓ʹ(𝑥)<0 恒成

当 𝑥∈[−,] 时，𝑥+∈[−,

22

4

4

ππππ3π

]，sin(𝑥+)∈[−44

π

√2,1]，√2sin(𝑥2

+)∈4

π

[−1,√2]，此时 𝑘≤−1．

第33页（共52 页）

34. D

e𝑥(𝑥−1)𝑥2【解析】当 𝑥>0 时，𝑓(𝑥)=

e𝑥𝑥

，函数的导数 𝑓ʹ(𝑥)=

e𝑥⋅𝑥−e𝑥

𝑥2=

，

当 𝑥>1 时，𝑓ʹ(𝑥)>0，当 0<𝑥<1 时，𝑓ʹ(𝑥)<0，则当 𝑥=1 时，函数取得极小值 𝑓(1)=e，

当 𝑥<0 时，𝑓(𝑥)=−，函数的导数 𝑓ʹ(𝑥)=−

𝑥e𝑥

e𝑥⋅𝑥−e𝑥

𝑥2e𝑥(𝑥−1)𝑥2=−

，此时

𝑓ʹ(𝑥)>0 恒成立，此时函数为增函数，． 作出函数 𝑓(𝑥) 的图象如图：

设 𝑡=𝑓(𝑥)，则 𝑡>e 时，𝑡=𝑓(𝑥) 有 3 个根， 当 𝑡=e 时，𝑡=𝑓(𝑥) 有 2 个根， 当 0<𝑡则 𝑓2(𝑥)−2𝑎𝑓(𝑥)+𝑎−1=0(𝑚∈𝐑) 有三个相异的实数根，等价为 𝑡2−2𝑎𝑡+𝑎−1=0(𝑚∈𝐑) 有 2 个相异的实数根， 当 𝑡=e 时，e−2𝑎e+𝑎−1=0，即 𝑎=

2

e2−12e−1

，此时满足条件．

35. A

【解析】𝑦=e𝑥 的导数为 𝑦ʹ=e𝑥，

第34页（共52 页）

𝜑(𝐴,𝐵)=

==

13𝜑(𝐴,𝐵)3

∣𝑘𝐴−𝑘𝐵∣∣𝐴𝐵∣

∣e𝑥1−e𝑥2∣√(𝑥1−𝑥2)2+(e𝑥1−e𝑥2)2 ∣e𝑥1−e𝑥2∣√1+(e𝑥1−e𝑥2)2>0,

可得 𝑡<由

𝜑(𝐴,𝐵

=)

√1+(e𝑥1−e𝑥2)2∣e𝑥1−e𝑥2∣

=√1+(

1e𝑥1−e𝑥2)2>1，𝑡⋅𝜑(𝐴,𝐵)<3 恒成立，则

恒成立，

𝜑(𝐴,𝐵)

>3，

即有 𝑡≤3．

36. B 【解析】至少存在两个实数 𝑚，使得 𝑓(−𝑚)，𝑓(1)，𝑓(𝑚+2) 成等差数列，

可得 𝑓(−𝑚)+𝑓(2+𝑚)=2𝑓(1)=2(𝑎+4)，即有 𝑓(𝑥) 的图象关于点 (1,𝑎+4) 对称，

𝑓(𝑥) 的导数为 𝑓ʹ(𝑥)=3𝑎𝑥2+6𝑥，

𝑓ʺ(𝑥)=6𝑎𝑥+6，由 𝑓ʺ(𝑥)=0，可得 𝑥=−，

𝑎1

由 𝑓(−+𝑥)+𝑓(−−𝑥) 为常数，可得 −=1，解得 𝑎=−1．

𝑎

𝑎

𝑎

111

即有 𝑓(𝑥)=−𝑥3+3𝑥2+1，𝑓ʹ(𝑥)=−3𝑥2+6𝑥，

设切点为 (𝑡,−𝑡+3𝑡+1)，可得切线的斜率为 −3𝑡+6𝑡=

3

2

2

−𝑡3+3𝑡2+1

𝑡

，化

为 2𝑡3−3𝑡2+1=0，

设 𝑔(𝑡)=2𝑡3−3𝑡2+1，𝑔ʹ(𝑡)=6𝑡2−6𝑡，

当 0<𝑡<1 时，𝑔ʹ(𝑡)<0，𝑔(𝑡) 递减；当 𝑡>1 或 𝑡<0 时，𝑔ʹ(𝑡)>0，𝑔(𝑡) 递增．

可得 𝑔(𝑡) 在 𝑡=0 处取得极大值，且为 1>0；在 𝑡=1 处取得极小值，且为 0．

第35页（共52 页）

可知 2𝑡3−3𝑡2+1=0 有两解，即过坐标原点作曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 的切线可以作 2 条． 37. A

【解析】数对中第一个数 为 1 的数对的位置分别是 1，2，4，7，

11，⋯，另外，数对的数字和从 2 开始稳步变大，可以构造一个数列 {𝑎𝑛}，其中 𝑎𝑛 是数对和第一次达到 𝑛 的数对的位置，𝑛≥2，𝑎2=1,𝑎3=2,𝑎4=4,⋯．可发现 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑛−2，此时利用累加法可求出：𝑎𝑛=38. D

【解析】作出函数 𝑓(𝑥) 的图象（如图），

(𝑛−2)(𝑛−1)

2

+

1，容易求出 𝑎12=56，即 (1,11) 是第 56 个整数对．依次往下写可得答案．

可以发现 ∣log3𝑥1∣=∣log3𝑥2∣，即 −log3𝑥1=log3𝑥2，所以 log3𝑥1+log3𝑥2=log3(𝑥1⋅𝑥2)=0，𝑥1⋅𝑥2=1．由余弦函数的图象可知，𝑓(𝑥) 在 [3,9] 上的图象关于直线 𝑥=6 对称，所以 𝑥3+𝑥4=12，且 𝑥3∈(3,)，因此 𝑥1⋅𝑥2⋅𝑥3⋅

2

2

𝑥4 变形为 𝑔(𝑥3)=𝑥3(12−𝑥3)=−𝑥3+12𝑥3=−(𝑥3−6)2+36，

9

所以当 𝑥3=3 时，𝑔(𝑥3)min=27；当 𝑥3= 时，𝑔(𝑥3)max=

2

913

．所以 𝑥1⋅

𝑥2⋅𝑥3⋅𝑥4 的取值范围是 (27,39. C

40. D

13

)．

2

2𝑥0𝑏(2𝑎

2

【解析】设 𝑃(𝑥0,𝑦0)，则 𝑄(𝑥0,−𝑦0)，𝑦0

=−1)，

即有

2−𝑎2𝑥0

2𝑦0

=

𝑏2𝑎2

，

由双曲线的方程可得 𝐴(−𝑎,0)，𝐵(𝑎,0)， 则 𝑚=

𝑦0𝑥0+𝑎

，𝑛=

2𝑦0

𝑦0𝑎−𝑥0

𝑎

，

所以 𝑚𝑛=

2𝑎2−𝑥0

=−2，

第36页（共52 页）

𝑏2

所以

2𝑏

𝑎

++

𝑏

𝑎12∣𝑚𝑛∣

+ln∣𝑚∣+ln∣𝑛∣=

2𝑏𝑎

++

𝑏𝑎

𝑎

𝑎22𝑏2

+ln

𝑏2𝑎2

=𝑓(),

𝑏

𝑎𝑏

2𝑡

12

2𝑡22𝑡

(𝑡+1)(𝑡2−2)

𝑡2

令 =𝑡>0，则 𝑓(𝑡)=+𝑡+𝑡2−2ln𝑡． 𝑓ʹ(𝑡)=−

+1+𝑡−=

12

，

可知：当 𝑡=√2 时，函数 𝑓(𝑡) 取得最小值， 𝑓(√2)=

𝑎𝑏

2√2+√2+×2−2ln√2=2√2+1−ln2．

所以 =√2． 所以 𝑒=

𝑐𝑎

=√1+()=√1+=

𝑎2

𝑓(𝑥)ℎ(𝑥

𝑏21

√6． 2

41. B 【解析】令 ℎ(𝑥)=

𝑥=𝑎，由③可得 ℎʹ(𝑥)<0，所以 ℎ(𝑥) 是减函)

52

12

数，即 0<𝑎<1，然后由 ℎ(1)+ℎ(−1)= 可求得 𝑎=．

42. B【解析】由条件可知函数 𝑓(𝑥) 的值域为 [0,1]，方程 𝑓(𝑥)=0 的根为 0，−π，π，

所以方程 𝑓(𝑓(𝑥))=0 的根为方程 𝑓(𝑥)=0 或 𝑓(𝑥)=−π 或 𝑓(𝑥)=π 的根，

显然方程 𝑓(𝑥)=0 有 3 个实根，𝑓(𝑥)=−π 与 𝑓(𝑥)=π 均无实根， 所以方程 𝑓(𝑓(𝑥))=0 的实根个数为 3，即 𝑚=3；

由 𝑔(𝑥)=𝑥−2sin𝑥 是奇函数，先考虑 𝑥∈[0,π] 的图象，因 𝑔ʹ(𝑥)=1−2cos𝑥，

由 𝑔ʹ(𝑥)>0 得 𝑥∈(,π]，可知 𝑔(𝑥) 在 (,π]

3

3

π

π

上递增，

由 𝑔ʹ(𝑥)≤0，得 𝑥∈(0,]，可知 𝑔(𝑥) 在 (0,] 上递减，

3

3

π

π

又 𝑔(0)=0，𝑔(π)=π，

由图象关于原点对称得 𝑔(𝑥) 的示意图，

第37页（共52 页）

极小值为 𝑔()=−√3≈−0.7，极大值为 𝑔(−)≈0.7．

333

方程 𝑓(𝑔(𝑥))=0 的实根为方程 𝑔(𝑥)=0 或 𝑔(𝑥)=−π 或 𝑔(𝑥)=π 的根， 显然方程 𝑔(𝑥)=0 有 3 个根，方程 𝑔(𝑥)=−π 与 𝑔(𝑥)=π 各有 1 个根， 从而方程 𝑓(𝑔(𝑥))=0 实根的个数为 5，即 𝑛=5； 记方程 𝑔(𝑥)=0 除 0 外的另外两个实根分别为 𝑥0，−𝑥0，

可知 𝑥0>1，方程 𝑔(𝑔(𝑥))=0 的实根为方程 𝑔(𝑥)=0 或 𝑔(𝑥)=𝑥0 或 𝑔(𝑥)=−𝑥0 的根，显然方程 𝑔(𝑥)=0 有 3 个根， 方程 𝑔(𝑥)=𝑥0 与 𝑔(𝑥)=−𝑥0 各有 1 个根， 从而方程 𝑔(𝑔(𝑥))=0 根的个数为 5，即 𝑡=5， 故 𝑚+𝑛+𝑡=13．

43. B 【解析】因为当 𝑥>0 时，有 所以 (

𝑓(𝑥)𝑥

𝑥𝑓ʹ(𝑥)−𝑓(𝑥)

𝑥2

πππ

<0 恒成立，

)ʹ<0 恒成立，

𝑓(𝑥)𝑥

所以函数 𝑔(𝑥)= 在 (0,+∞) 内单调递减．

因为函数 𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的奇函数，𝑓(2)=0， 所以 𝑔(𝑥) 为偶函数，且 𝑔(2)=0．

所以当 0<𝑥<2 时，𝑔(𝑥)>0，此时 𝑓(𝑥)>0． 同理可得，当 𝑥<−2 时，𝑔(𝑥)<0，此时 𝑓(𝑥)>0． ∣𝑥<−2或0<𝑥<2}． 所以 𝑓(𝑥)>0 的解集为 {𝑥∣

因为不等式 𝑥2𝑓(𝑥)>0 的解集即为不等式 𝑓(𝑥)>0 且 𝑥≠0 的解集，

第38页（共52 页）

所以其解集为 (−∞,−2)∪(0,2)． 44. D

【解析】作出函数 ∣𝑓(𝑥)∣ 的图象，如图，

要使 ∣𝑓(𝑥)∣≥𝑎𝑥 成立，则必有 𝑎≤0．当 𝑥≤0 时，∣𝑓(𝑥)∣=∣−𝑥2+2𝑥∣=∣𝑥2−2𝑥∣=𝑥2−2𝑥，则 𝑦=𝑥2−2𝑥 与 𝑦=𝑎𝑥 相等时，满足条件． 由 𝑥2−2𝑥=𝑎𝑥⇒𝑥2−(𝑎+2)𝑥=0， 𝛥=(𝑎+2)2=0， 所以 𝑎=−2， 所以 −2≤𝑎≤0． 45. B

【解析】由 𝑓(−𝑥)=2−𝑓(𝑥) 得 𝑓(𝑥) 关于 (0,1) 对称，而 𝑦=

𝑚2

𝑥+1𝑥

1

=1+ 𝑥

也关于 (0,1) 对称，所以对于每一组对称点 𝑥𝑖+𝑥𝑖ʹ=0，𝑦𝑖+𝑦𝑖ʹ=2，所以

𝑚𝑚

∑𝑚()∑∑𝑥+𝑦=𝑥+𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑖=1𝑖=1𝑦𝑖=0+2⋅

=𝑚．

13

46. C 【解析】解法1：用特殊值法：取 𝑎=−1，𝑓(𝑥)=𝑥−sin2𝑥−

23

sin𝑥，𝑓ʹ(𝑥)=1−cos2𝑥−cos𝑥，

但 𝑓ʹ(0)=1−−1=−<0，不具备在 (−∞,+∞) 单调递增，排除 𝐴，𝐵，

3

3

2

2

𝐷．

解法2：𝑓ʹ(𝑥)=−cos2𝑥+𝑎cos𝑥+，因为 𝑓ʹ(𝑥) 是关于 cos𝑥 开口向下的

3

3

4

5

𝑓ʹ(−1)≥0,11二次函数，由 𝑓(𝑥) 在 𝐑 上单调递增，有 { 解得 𝑎∈[−,] .

33𝑓ʹ(1)≥0,47. D

48. B 【解析】设 𝐴(𝑥1,𝑚)，𝐵(𝑥2,𝑚)，

由图象知 𝑦=2𝑥+3 的图象总在 𝑦=𝑥+ln𝑥 图象的上方，

第39页（共52 页）

故 𝑥1<𝑥2，且 𝑥2>0． 所以 ∣𝐴𝐵∣=𝑥2−𝑥1，

又 2𝑥1+3=𝑚，𝑥2+ln𝑥2=𝑚，

所以 𝑥2−𝑥1=𝑥2−(𝑥2+ln𝑥2−3)=𝑥2−ln𝑥2+，

2

2

2

2

1

1

1

3

12

12

32

令 𝑔(𝑥)=𝑥−ln𝑥+， 𝑔ʹ(𝑥)=−

21

12𝑥

=

𝑥−12𝑥

，

12

32

𝑥∈(0,1) 时，𝑔(𝑥) 单调递减，𝑥∈(1,+∞) 时，𝑔(𝑥) 单调递增， 所以 𝑔(𝑥)min=𝑔(1)=−0+=2．

49. B 【解析】由已知得：𝑓(𝑥) 的定义域为 𝑥>0，且 𝑓ʹ(𝑥)=因为 𝑓(𝑥) 有两个极值点 𝑥1，𝑥2，

所以 𝑥1，𝑥2 是方程 2𝑥2−2𝑥+𝑎=0 的两根，

2

又因为 0<𝑥1<𝑥2，且 𝑥1+𝑥2=1，所以，<𝑥2<1，𝑎=2𝑥2−2𝑥2，

2

2)所以 𝑓(𝑥2)=(𝑥2−1)2+(2𝑥2−2𝑥2ln𝑥2，

1

2𝑥2−2𝑥+𝑎

𝑥

，

令 𝑔(𝑡)=(𝑡−1)2+(2𝑡−2𝑡2)ln𝑡（其中 <𝑡<1），

2

1

则 𝑔ʹ(𝑡)=2(1−2𝑡)ln𝑡>0， 故 𝑔(𝑡) 递增，

所以 𝑔()<𝑔(𝑡)<𝑔(1)，

2而 𝑔()=

250. A

1

1−2ln24

1

，𝑔(1)=0，

4

所以 𝑓(𝑥2)∈(

1−2ln2

,0)．

【解析】设 𝑃1(𝑥1,ln𝑥1)，𝑃2(𝑥2,−ln𝑥2)（不妨设 𝑥1>1，0<𝑥2<1）， 则由导数的几何意义易得切线 𝑙1，𝑙2 的斜率分别是 𝑘1=由已知得 𝑘1𝑘2=−1， 所以 𝑥1𝑥2=1，

1𝑥1

,𝑘2=−．

𝑥2

1

第40页（共52 页）

所以 𝑥2=

1𝑥1

．

1𝑥1

所以切线 𝑙1 的方程为 𝑦−ln𝑥1=切线 𝑙2 的方程为 𝑦+ln𝑥2=−即 𝑦−ln𝑥1=−𝑥1(𝑥−

1𝑥1

1𝑥2

(𝑥−𝑥1)，

(𝑥−𝑥2)，

)．

分别令 𝑥=0 得 𝐴(0,−1+ln𝑥1)，𝐵(0,1+ln𝑥1)． 又 𝑙1 与 𝑙2 的交点为 𝑃(因为 𝑥1>1，

所以 𝑆△𝑃𝐴𝐵=∣𝑦𝐴−𝑦𝐵∣⋅∣𝑥𝑃∣=<=1，

21+𝑥21+𝑥21

1

2𝑥1

21+𝑥1

,ln𝑥1+

21−𝑥121+𝑥1

)．

1

2𝑥1

21+𝑥1

所以 0<𝑆△𝑃𝐴𝐵<1．

51. B 52. B 【解析】由已知得 𝑓ʹ(𝑥)=0 有两个正实数根 𝑥1,𝑥2(𝑥1<𝑥2) ，即 𝑓ʹ(𝑥) 的图象与 𝑥 轴有两个交点，从而得 𝑎 的取值范围．

𝑓ʹ(𝑥)=ln𝑥+1−2𝑎𝑥,

依题意 ln𝑥+1−2𝑎𝑥=0 有两个正实数根 𝑥1,𝑥2(𝑥1<𝑥2) ．

设 𝑔(𝑥)=ln𝑥+1−2𝑎𝑥 ，函数 𝑔(𝑥)=ln𝑥+1−2𝑎𝑥 有两个零点，显然当 𝑎≤0 时不合题意，必有 𝑎>0 ；

1

𝑔ʹ(𝑥)=−2𝑎,

𝑥 令 𝑔ʹ(𝑥)=0 ，得 𝑥=于是 𝑔(𝑥) 在 (0,

1

12𝑎

，

1

) 上单调递增，在 (2𝑎,+∞) 上单调递减， 2𝑎

12𝑎

所以 𝑔(𝑥) 在 𝑥= 处取得极大值，即

111

𝑓ʹ()=ln>0,>1, 2𝑎2𝑎2𝑎 所以

1

0<𝑎<.

2

第41页（共52 页）

53. C 【解析】因为 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥ln𝑥，若 𝑚∈𝐙，且 (𝑚−2)(𝑥−2)<

𝑥ln𝑥+3𝑥−4

𝑥−2

𝑓(𝑥) 对任意的 𝑥>2 恒成立，则 𝑚<令 𝑔(𝑥)=

𝑥ln𝑥+3𝑥−4

𝑥−2

对任意的 𝑥>2 恒成立．

，则 𝑔ʹ(𝑥)=

𝑥−2ln𝑥−4(𝑥−2)2．

𝑥−2𝑥

令 ℎ(𝑥)=𝑥−2ln𝑥−4，则 ℎʹ(𝑥)=1−=

𝑥

2

，

所以函数 ℎ(𝑥) 在 (2,+∞) 上单调递增．

因为 ℎ(8)=4−2ln8<0，ℎ(9)=5−2ln9>0，

所以方程 ℎ(𝑥)=0 在 (2,+∞) 上存在唯一实数根 𝑥0，且满足 𝑥0∈(8,9)． 当 2<𝑥<𝑥0 时，ℎ(𝑥)<0，即 𝑔ʹ(𝑥)<0，

当 𝑥>𝑥0 时，ℎ(𝑥)>0，即 𝑔ʹ(𝑥)>0，来自QQ群339444963 所以函数 𝑔(𝑥) 在 (2,𝑥0) 上单调递减，在 (𝑥0,+∞) 上单调递增． 又 𝑥0−2ln𝑥0−4=0， 所以 ln𝑥0=

𝑥0−42

，

𝑥0ln𝑥0+3𝑥0−4

𝑥0−2

所以 𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑥0)=

=

𝑥02

+2∈(6,6.5)，

所以 𝑚<𝑔(𝑥)min∈(6,6.5)， 所以整数 𝑚 的最大值为 6．

. B 【解析】函数 𝑔(𝑥) 的导数 𝑔ʹ(𝑥)=3𝑥2−2𝑥=𝑥(3𝑥−2)，

所以函数 𝑔(𝑥) 在 [,] 上递减，在 (,2] 上递增，𝑔()=−−5=−，

2332848𝑔(2)=8−4−5=−1，𝑔(𝑥)max=𝑔(2)=−1．

若对任意的 𝑥1,𝑥2∈[,2]，都有 𝑓(𝑥1)−𝑔(𝑥2)≥2 成立，即当 ≤𝑥≤2 时，

2

2

1

1

12

2

1

1

1

41

𝑓(𝑥)≥1 恒成立，即 +𝑥ln𝑥≥1 恒成立，即 𝑎≥𝑥−𝑥2ln𝑥 在 [,2] 上恒成

𝑥

2

𝑎1

立，

令 ℎ(𝑥)=𝑥−𝑥2ln𝑥，则 ℎʹ(𝑥)=1−2𝑥ln𝑥−𝑥，ℎʺ(𝑥)=−3−2ln𝑥， 当 ≤𝑥≤2 时，ℎʺ(𝑥)=−3−2ln𝑥<0，即 ℎʹ(𝑥)=1−2𝑥ln𝑥−𝑥 在 [,2]

2

2

1

1

上单调递减，

第42页（共52 页）

由于 ℎʹ(1)=0，来自QQ群339444963

所以当 ≤𝑥<1 时，ℎʹ(𝑥)>0，ℎ(𝑥) 单调递增，

21

当 1<𝑥≤2 时，ℎʹ(𝑥)<0，ℎ(𝑥) 单调递减， 所以 ℎ(𝑥)≤ℎ(1)=1， 所以 𝑎≥1． 55. D

【解析】法一：

考虑函数 𝑔(𝑥)=e𝑥(2𝑥−1)，以及函数 ℎ(𝑥)=𝑎(𝑥−1)，则题意要求存在唯一的整数 𝑥0 使得 𝑔(𝑥0)<ℎ(𝑥0)．

注意到 𝑔ʹ(𝑥)=e𝑥(2𝑥+1)，尤其注意到 𝑦=𝑥−1 为 𝑦=𝑔(𝑥) 在 (0,−1) 处的切线，如图．

𝑓(0)<0

3

于是可以确定符合题意的唯一整数 𝑥0=0，则 {𝑓(1)≥0，解得 ≤𝑎<1．

2e

𝑓(−1)≥0法二：

首先 𝑓(0)=−1+𝑎<0，所以唯一的整数为 0． 而 𝑓(−1)=

12

−3e

32e

+2𝑎≥0，解得 𝑎≥

．

又 𝑎<1，对 𝑓(𝑥) 求导得 𝑓ʹ(𝑥)=e𝑥(2𝑥+1)−𝑎， 当 𝑥<− 时，𝑓ʹ(𝑥)<0； 当 𝑥>0 时，𝑓ʹ(𝑥)>0．

第43页（共52 页）

从而 𝑓(𝑥) 在 (−∞,−) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增．

2而当 𝑎≥

32e

1

时，有 𝑓(−1)≥0，𝑓(0)<0，𝑓(1)>0，

故在 (−∞,−1]∪[1,+∞) 上 𝑓(𝑥)≥0，𝑓(0)<0，满足题意． 所以满足条件的 𝑎 的取值范围为 [,1)．

2e3

56. D 【解析】当 𝑥>2 时，对函数 𝑓(𝑥)=

𝑥ln𝑥

+𝑎+10 的单调性进行

研究，求导后发现 𝑓(𝑥) 在 (2,e) 上单调递减，在 (e,+∞) 上单调递增，即函数 𝑓(𝑥) 在 𝑥>2 时的最小值为 𝑓(e)；当 𝑥≤2 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)2+e 是对称轴方程为 𝑥=𝑎 的二次函数，欲使 𝑓(2) 是函数的最小值，则 𝑎≥2,𝑎≥2,

⇒{⇒2≤𝑎≤6.来自QQ群339444963 {()

𝑓2≤𝑓(e)−1≤𝑎≤657. C

【解析】令 ℎ(𝑥)=

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

，

因为 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)(𝑔(𝑥)≠0) 分别是定义在 𝐑 上的奇函数和偶函数， 所以 ℎ(−𝑥)=

𝑓(−𝑥)𝑔(−𝑥

=)

−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

=−ℎ(𝑥)，

所以 ℎ(𝑥) 为 𝐑 上的奇函数．

因为当 𝑥<0 时，𝑓ʹ(𝑥)𝑔(𝑥)<𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)， 所以 ℎʹ(𝑥)=

𝑓ʹ(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)

𝑔2(𝑥)

<0，

所以 ℎ(𝑥) 在 (−∞,0) 上单调递减， 又因为 ℎ(𝑥) 为 𝐑 上的奇函数， 所以 ℎ(𝑥) 在 (0,+∞) 上单调递减．

当 𝑥<0 时，由 𝑓(−3)=0，且 ℎ(𝑥) 单调递减，可得 {𝑥∣

−3<𝑥<0}；

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

<0 的解集为

当 𝑥>0 时，由 𝑓(−3)=−𝑓(3)=0，且 ℎ(𝑥) 单调递减，可得 集为 {𝑥∣𝑥>3}． 综上可知：

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

<0 的解

∣<0 的解集为 {𝑥∣−3<𝑥<0,或𝑥>3}．

第44页（共52 页）

58. D 59. A 【解析】方程 ∣𝑥4−𝑥3∣=𝑎𝑥 可以写成 ∣𝑥∣∣𝑥3−

𝑥2∣=𝑎𝑥，显然，0 为方程的一个根．当 𝑥>0 时，𝑎=∣𝑥3−𝑥2∣，令 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2，𝑓ʹ(𝑥)=3𝑥2−2𝑥，

所以 𝑓(𝑥) 在 (0,) 上单调递减，在 (−∞,0)，(,+∞) 上单调递增，又

33𝑓(1)=0，所以当 𝑥= 时，函数 𝑓(𝑥) 取得极小值 𝑓()=−，∣𝑓(𝑥)∣ 取

3327得极大值 ．所以 𝑔(𝑥)=

274

∣𝑥4−𝑥3∣

𝑥

2

2

4

2

2

∣𝑓(𝑥)∣,𝑥>0,

={ 的图象如图所示， −∣𝑓(𝑥)∣,𝑥<0

则由题可知直线 𝑦=𝑎 与 𝑔(𝑥) 的图象有 3 个交点，故 𝑎∈(0,)．

2760. A

1e

1−𝑥𝑥

4

61. B【解析】设 𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑥+1+𝑎，当 𝑥∈[,1] 时，𝑓ʹ(𝑥)=

1e

1e

>0，

𝑓(𝑥) 是增函数，所以 𝑥∈[,1] 时，𝑓(𝑥)∈[𝑎−,𝑎]，设 𝑔(𝑦)=𝑦2e𝑦，因为对任意的 𝑥∈[,1]，总存在唯一的 𝑦∈[−1,1]，使得 ln𝑥−𝑥+1+𝑎=𝑦2e𝑦

e1

成立，所以 [𝑎−,𝑎] 是 𝑔(𝑦) 的不含极值点的单调区间的子集，因为

e

1

𝑔𝑦ʹ(𝑦)=e𝑦𝑦(2+𝑦)，所以 𝑦∈[−1,1] 时，若 𝑦∈[−1,0)，𝑔𝑦ʹ(𝑦)<0，𝑔(𝑦) 是减函数，若 𝑦∈(0,1]，𝑔𝑦ʹ(𝑦)>0，𝑔(𝑦) 是增函数，因为 𝑔(−1)=e1

𝑔(1)，所以 [𝑎−,𝑎]⊆(,e]，所以 <𝑎≤e．

e

e

e

112

62. C

𝑚

【解析】因为 𝑓(𝑥) 是奇函数且在 𝐑 上单调递增，又 𝑓(𝑥−1)+

𝑚

𝑚

𝑓()>0，即 𝑓(𝑥−1)>−𝑓() ，所以 𝑓(𝑥−1)>𝑓(−) ，即 𝑥−1>𝑥𝑥𝑥

第45页（共52 页）

− 恒成立．即 𝑚>−𝑥2+𝑥 恒成立．令 𝑔(𝑥)=𝑥−𝑥2，则当 𝑥>0 时，

𝑥

𝑚

𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=，所以 𝑚 的取值范围为 (,+∞) .

4

4

11

63. C

𝑥e𝑥−1𝑥

【解析】设 𝑓(𝑥)=e𝑥−ln𝑥(0<𝑥<1)，则 𝑓ʹ(𝑥)=e𝑥−=

𝑥

1𝑥

1

．令 𝑓ʹ(𝑥)=0，得 𝑥e𝑥−1=0．根据函数 𝑦=e𝑥 与 𝑦= 的图象可知

e𝑥𝑥

e𝑥(𝑥−1)𝑥2

两函数图象交点 𝑥0∈(0,1)，因此函数 𝑓(𝑥) 在 (0,1) 上不是单调函数，故 A，B 选项不正确．设 𝑔(𝑥)=

(0<𝑥<1)，则 𝑔ʹ(𝑥)=

.又 0<𝑥<1 ，

所以 𝑔ʹ(𝑥)<0．所以函数 𝑔(𝑥) 在 (0,1) 上是减函数．又 0<𝑥1<𝑥2<1 ，所以 𝑔(𝑥1)>𝑔(𝑥2) ，所以 𝑥2e𝑥1>𝑥1e𝑥2．

. B【解析】由 (𝑥−1)𝑓ʹ(𝑥)<0 可得当 𝑥>1时，𝑓ʹ(𝑥)<0；当 𝑥<1 时，𝑓ʹ(𝑥)>0．

即 𝑓(𝑥) 在 (−∞,1) 为增函数，在 (1,+∞) 为减函数．

由 𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥) 可知 𝑓(𝑥) 的图象关于 𝑥=1 对称，所以 𝑓(3)=𝑓(−1)． 所以 𝑓(−1)<𝑓(0)<𝑓()，所以 𝑐<𝑎<𝑏．

265. B

【解析】𝑓(𝑥)=𝑥−4+

9𝑥+1

9𝑥+1

9

1

=(𝑥+1)+

−5≥2√(𝑥+1)×(

𝑥+1)

−5=1，

当且仅当 (𝑥+1)2=9，即 𝑥=2（𝑥=−4 舍去）时等号成立，故 𝑎=2,𝑏=1，

所以函数 𝑔(𝑥)=()

2位得到． 66. C

67. B 【解析】令 𝑔(𝑥)=3𝑥2−2𝑥2ln𝑥+3−6𝑥−𝑓(𝑥−1)，则

𝑔ʹ(𝑥)=4𝑥−4𝑥ln𝑥−6−𝑓ʹ(𝑥−1)，由已知可得 𝑓ʹ(𝑥−1)>−2，所以 𝑔ʹ(𝑥)<4𝑓−4𝑥ln𝑥−4．令 ℎ(𝑥)=𝑥−𝑥ln𝑥−1，则 ℎʹ(𝑥)=−ln𝑥，当 𝑥∈(0,1) 时，ℎʹ(𝑥)>0，ℎ(𝑥) 单调递增，当 𝑥∈(1,+∞) 时，ℎʹ(𝑥)<0，ℎ(𝑥) 单调递减，所以 ℎ(𝑥) 在 𝑥=1 处取得最大值 0，故 𝑔ʹ(𝑥)<0 恒成立，所以

1∣𝑥+1∣

1∣𝑥∣

，其图象是把函数 𝑦=() 的图象向左平移一个单

2

第46页（共52 页）

𝑔(𝑥) 在 (0,+∞) 上单调递减．因为 𝑓(𝑥) 是奇函数，所以 𝑓(0)=0，所以 𝑔(1)=0，不等式 𝑓(𝑥−1)<𝑥2(3−2ln𝑥)+3(1−2𝑥) 等价于不等式 𝑔(𝑥)>𝑔(1)，所以 0<𝑥<1． 68. D

【解析】函数 𝑓(𝑥)=

π

sin𝑥𝑥

表示点 (0,0) 与点 (𝑥,sin𝑥) 连线的斜率，

π

所以当 𝑥∈(−,0) 时，𝑓(𝑥) 单调递增，当 𝑥∈(0,) 时，𝑓(𝑥) 单调递减，

22①正确．当 𝑥→0 时，𝑓(𝑥)→1，而 𝑥≠0，所以 𝑓(𝑥)<1，即 𝑓(𝑥) 没有最大值，当点 (0,0) 与点 (𝑥,sin𝑥) 的连线与 𝑓(𝑥)=sin𝑥 相切时，𝑓(𝑥) 取到最小值，故②正确．当 𝑥∈(0,π) 时，sin𝑥≠0，所以 𝑓(𝑥)≠0，且 𝑓(𝑥) 单调递减，所以 𝑓(𝑥) 在区间 (0,π) 上不存在零点，也不存在极值点． 69. A 𝑓(2016) . 70. D

1

𝑥+𝑚𝑥

𝑥+𝑚𝑥

e𝑥𝑥

【解析】当 𝑓(𝑥)= ，有 𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)>0．代入得 e𝑓(2015)>

【解析】当 𝑎=0 时，方程只有一个解，不满足题意，所以 𝑎≠0， 所以原方程有两个不同的根等价于方程 =2(2e−

𝑎

)ln

有两个不同

的根． 令 𝑡=

𝑥+𝑚𝑥

>1，则 =2(2e−𝑡)ln𝑡．

𝑎

1

设 𝑓(𝑡)=2(2e−𝑡)ln𝑡， 则 𝑓ʹ(𝑡)=2(

2e𝑡

−ln𝑡−1)，

当 𝑡>e 时，𝑓ʹ(𝑡)<0，当 1<𝑡0， 所以 𝑓(𝑡) 在 (e,+∞) 上单调递减，在 (1,e) 上单调递增， 所以 𝑓(𝑡)≤𝑓(e)=2e， 且当 1<𝑡0， 当 𝑡→+∞ 时，𝑓(𝑡)→−∞，

所以要使 =2(2e−𝑡)ln𝑡 存在两个不同的根， 则需 0<

𝑎

1𝑎1

<2e，即 𝑎>

12e

，

第47页（共52 页）

所以 𝑎 的取值范围为 (,+∞)．

2e

1

71. D 【解析】∵ 𝑓(𝑥)⋅tan𝑥<𝑓ʹ(𝑥)，即 𝑓(𝑥)sin𝑥<𝑓ʹ(𝑥)cos𝑥 恒成立，

π

∴ 𝑓(𝑥)sin𝑥−𝑓ʹ(𝑥)cos𝑥<0 在 (0,) 上恒成立．

2

根据条件构造函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)cos𝑥，则 𝑔ʹ(𝑥)=𝑓ʹ(𝑥)cos𝑥−𝑓(𝑥)sin𝑥>0 恒成立，

∴ 𝑔(𝑥) 在 (0,) 上单增，∴ 𝑔()<𝑔()，即 √3𝑓()<𝑓()．

2636372. C

【解析】因为函数 𝑓(𝑥) 的值域为 𝐑，所以一定存在 𝑥0∈𝐑，使

得 𝑓(𝑥0)=0，A正确；

假设函数 𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的对称中心为 (𝑚,𝑛)，将函数的图象向左平移 𝑚，再向下平移 𝑛，则所得函数 𝑦=𝑓(𝑥+𝑚)−𝑛 是奇函数．所以 𝑓(𝑥+𝑚)+𝑓(−𝑥+𝑚)−2𝑛=0，化简得 (3𝑚+𝑎)𝑥2+𝑚3+𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐−𝑛=0．上式对 𝑥∈𝐑 成立，故 3𝑚+𝑎=0，得 𝑚=−，𝑛=𝑚3+

3𝑎

π

π

π

π

π

𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐=𝑓(−)，所以函数 𝑓(𝑥) 的对称中心为 (−,𝑓(−))，故函

333数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象是中心对称图形，B正确；

由于 𝑓ʹ(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏 是开口向上的二次函数，若 𝑥0 是 𝑓(𝑥) 的极小值点，则 𝑓(𝑥) 在区间 (−∞,𝑥0) 不单调，C错误； 若 𝑥0 是 𝑓(𝑥) 的极值点，则一定有 𝑓ʹ(𝑥0)=0，D正确． 73. B 【解析】不妨设 𝑔(𝑚)=𝑓(𝑛)=𝑡， 所以 e𝑚−2=ln+=𝑡(𝑡>0)，

2

2𝑛

1

𝑎𝑎𝑎

所以 𝑚−2=ln𝑡，𝑚=2+ln𝑡，𝑛=2⋅e故 𝑛−𝑚=2⋅e令 ℎ(𝑡)=2⋅e

𝑡−

1

212𝑡−

12，

−2−ln𝑡(𝑡>0)，

𝑡−

12𝑡−

−2−ln𝑡(𝑡>0)，ℎʹ(𝑡)=2⋅e

1

−，易知 ℎʹ(𝑡) 在

𝑡

1

(0,+∞) 上是增函数，且 ℎʹ()=0，

2当 𝑡> 时，ℎʹ(𝑡)>0，

21

第48页（共52 页）

当 0<𝑡< 时，ℎʹ(𝑡)<0，

2

1

即当 𝑡= 时，ℎ(𝑡) 取得极小值同时也是最小值，此时 ℎ()=2⋅e

22ln=2−2+ln2=ln2，即 𝑛−𝑚 的最小值为 ln2．

21

11

11

−22

−2−

74. D 【解析】不等式 𝑓(𝑥)≤0 有解即 e𝑥(𝑥3−3𝑥+3)−𝑥(𝑥≥−2)≤

𝑥𝑒𝑥

𝑎 e𝑥 有解． 即 𝑎≥𝑥3−3𝑥+3−

有解．

𝑥𝑒𝑥

设 𝑔(𝑥)=𝑥3−3𝑥+3− 𝑔ʹ(𝑥)=3𝑥2−3+

𝑥−1𝑒𝑥

，即 𝑎≥𝑔(𝑥)min．

1𝑒𝑥

=(𝑥−1)(3𝑥+3+)．

令 ℎ(𝑥)=3𝑥+3+𝑒−𝑥，ℎʹ(𝑥)=3−𝑒−𝑥．

ℎʹ(𝑥)≤0 解得 𝑥≤−ln3；ℎʹ(𝑥)≥0 解得 𝑥≥−ln3． 所以 ℎ(𝑥) 在 (−2,−ln3) 单调递减，在 (−ln3,+∞) 单调递增． 所以 ℎ(𝑥)≥ℎ(−ln3)=3(2−ln3)>0．

所以 𝑔ʹ(𝑥) 的正负由 𝑥−1 决定，𝑔(𝑥) 在 (−2,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增．

𝑔(𝑥)min=𝑔(1)=1−．

𝑒1

所以 𝑎min=1−．

𝑒

1

75. A

−𝑚𝑥2−𝑛𝑥+2

𝑥

【解析】由 𝑓ʹ(𝑥)=

(𝑥>0)，𝑓ʹ(2)=0，得 2𝑚+𝑛=1．

设 𝑔(𝑥)=−𝑚𝑥2−𝑛𝑥+2=−𝑚𝑥2−(1−2𝑚)𝑥+2 ，

由 𝑥=2 是 𝑓(𝑥) 的极大值点，即 𝑔(𝑥) 满足在 𝑥=2 的左侧附近为正，右侧附近为负： 当 𝑚=0，𝑓ʹ(𝑥)=

−𝑥+2𝑥

(𝑥>0) ，显然满足 𝑥=2 是 𝑓(𝑥) 的极大值点．

−(1−2𝑚)2𝑚

当 𝑚>0 时，由 𝑔(2)=0，则其对称轴 𝑚>0；

<2 ，得：𝑚>− ，所以

2

1

第49页（共52 页）

当 𝑚<0 时，由 𝑔(2)=0，则其对称轴 综上，𝑚>− . 21

−(1−2𝑚)2𝑚

>2 ，得：−<𝑚<0 .

2

1

76. B 【解析】求导数可得 𝑥=0 或 𝑥=−𝑓(0)≠0，所以要满足题意需 𝑓(−

2𝑏

2𝑏3𝑎

时，函数取得极值，显然

=0，可得 2𝑏3=27𝑎2，所以 𝑏>0． )3𝑎

当 𝑎>0 时，函数的图象如图所示，

此时 −

2𝑏

2𝑏3𝑎

和 𝑥1 是函数的两个零点，显然 −

2𝑏

2𝑏

2𝑏3𝑎

𝑥1<0，−

2𝑏3𝑎

关于原点的对称

点为 ，且 𝑓()=8>0，所以 −+𝑥1<0；来自QQ群339444963

3𝑎3𝑎3𝑎当 𝑎<0 时，函数的图象如图所示，

此时 −

2𝑏

2𝑏3𝑎

和 𝑥2 是函数的两个零点，显然 −

2𝑏

2𝑏

2𝑏3𝑎

𝑥2<0，−

2𝑏3𝑎

关于原点的对称

点为 ，且 𝑓()=8>0，所以 −+𝑥2>0． 3𝑎3𝑎3𝑎77. C

𝑔2(𝑥)

78. C

=[

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥

【解析】由 𝑓ʹ(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)<0 可得 ]ʹ<0，也即函数 )

𝑓(𝑏)𝑔(𝑏)

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

𝑓ʹ(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)

𝑓(𝑎)

是 𝐑 上的减函数，所以由 𝑎<

𝑥<𝑏 可得

𝑔(𝑎

>)

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥

>)

，再由 𝑔(𝑥)>0 恒成立可得 𝑓(𝑎)𝑔(𝑥)>

𝑓(𝑥)𝑔(𝑎)，𝑓(𝑥)𝑔(𝑏)>𝑓(𝑏)𝑔(𝑥)．

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79. B 【解析】因为

𝑓ʹ(𝑥)

𝑓(𝑥)+1

=3，所以 [ln(𝑓(𝑥)+1)]ʹ=3，即 ln(𝑓(𝑥)+1)=

3𝑥+𝑐，𝑓(𝑥)+1=e3𝑥+𝑐，所以 𝑓(𝑥)=e3𝑥+𝑐−1．又 𝑓(0)=e𝑐−1=1，所以 e𝑐=2，𝑓(𝑥)=2e3𝑥−1．所以 4𝑓(𝑥)>𝑓ʹ(𝑥) 即 8e3𝑥−4>6e3𝑥，解得 𝑥>80. D

ln23

．

来自QQ群339444963

【解析】𝑓(𝑥)>0 即 2𝑥−𝑥2>0，所以解集为 {𝑥∣0<𝑥<2}，①正确；由 𝑓ʹ(𝑥)=(−𝑥2+2)e𝑥 可知函数 𝑓(𝑥) 在 (−∞,−√2) 和 (√2,+∞) 上单调递减，(−√2,√2) 上单调递增，所以 𝑓(−√2) 是极小值，𝑓(√2) 是极大值，②正确；𝑓(√2) 是极大值，当 𝑥<0 时，𝑓(𝑥)<0<𝑓(√2)，而函数 𝑓(𝑥) 在 (√2,+∞) 上单调递减，所以 𝑓(√2) 是函数的最大值，𝑓(−√2) 是极小值，𝑓(4√2)<𝑓(−√2)，且函数 𝑓(𝑥) 在 (√2,+∞) 上单调递减，所以函数 𝑓(𝑥) 没有最小值．

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