河南省郑州市2018-2019上期期末高二数学(理) 解析版

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题1】已知命题

p:x＞2，x38＞0，那么p为

3A.x＞2，x380 B.x0＞2，x80

3C.x2，x380 D.x02，x80

【答案】B

2.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题2】已知数列an是等比数列，若a11,a516,则a3的值为

A.4 B. 4或-4 C. 2 D.2或-2 【答案】A

422【解析】因a5a1q16,q4,a3a1q4

3.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题3】已知a,b,c是实数，下列命题结论正确的是

A.“a2b2”是“ab”的充分条件 B.“a2b2”是“ab”的必要条件 C.“ac2bc2” 是“ab”的充分条件 D. “|a||b|” 是“ab”的充要条件

【答案】C

【解析】对于A，当a5,b1时，满足a2b2，但是ab，所以充分性不成立；对于

B，当a1,b2时，满足ab，但是a2b2，所以必要性不成立；对于D，当a5,b1时，|a||b|成立，但是ab，所以充分性不成立，当a1,b2时，满足

ab，但是|a||b|，所以必要性也不成立，故“|a||b|” 是“ab”的既不充分也

不必要条件。

【点评】本题主要考查不等式的性质以及充分条件，必要条件的判断。

4.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题4】已知双曲线

x2y2C:221(a0,b0)的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线C的离心率

ab为

A.53 B. C.5 D.3 22【答案】A

【解析】由于双曲线的一条渐近线与直线2xy10垂直，所以双曲线一条渐近线的斜率为1bb1，又双曲线的渐近线方程为yx，所以，双曲线的离心率2aa2cb25。 e12aa2【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率，以及垂直直线斜率的关系，先根据两条直线互相垂直，斜率之积为1，以及双曲线的渐近线方程得到

b的值，再利用双曲线离acb2心率e12即可。

aa5.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题5】若等差数列an的前n项和为Sn，且S1111，则a4a6a8

A.2 B. C.3 D.6

【答案】C

【解析】因为an为等差数列，所以S113211(a1a11)11a611，解得a61，故

2a4a6a83a63。

【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质。

6.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题6】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a1,c5，cosB5, 则b=（ ） 25A. 25 B. 【答案】D

29 C. 30 D. 42

【解析】因为cos3B52BcosB2cos1 ，所以2525a2c2b2125b23由余弦定理cosB，所以b42

2ac105x2y27.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题7】椭圆1与

128x2y2曲线1k8的（ ）

8kk12A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 准线相同 【答案】A

x2y2【解析】因为椭圆方程为1，所以a23,b22,c2,焦点在x轴上。

128x2y2曲线1k8,因为k8，所以8k0,k120,曲线方程可写为

8kk12x2y2+1k8 ,12k8k,所以曲线为焦点在y轴上的椭圆， 8k12ka12k,b8k,c2,所以焦距相等正确。

8.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题8】在平行六面体（底面

0是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,BADBAA1DAA160，

则AC1的长为

A.2 B. 6 C. 【答案】C

6 D.333 【解析】由题意，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，棱长均为1，上下底面为菱形，则对角线互相垂直，ABD为等边三角形，取CD中点E，连接D1E,BE,BD1,则D1E垂直DC,BE垂直DC,

D1EBEE,DC平面BED1，故DCBD1,ABBD1,AB1,AD13所以

BD12, BD1C1中，sinC1BD11,3ABC1中，由余弦定理，

AC12AB2BC122ABBC1cos(C1BD1)6，故AC1为6

29.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题9】已知

f(x)2x2bxc,不等式f(x)＞0的解集是(1,3)，若对于任意x[1,0]，不等式f(x)t4恒成立，则t的取值范围

A. (,2] B. (,2] C. (,4] D.(,4] 【答案】B

【解析】由题意-1和3是方程的根，解得b=4，c=6,f(x)2x4x6,不等式化为

2t2x24x2,x[1,0]，2x24x2的最小值为-2，t2

10.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题10】在ABC中，角

A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示ABC的面积，若ccosBbcosCasinA,S32ba2c2，则B （ ） 40000 A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】D

【解析】由正弦定理及ccosBbcosCasinA,得sinCcosBsinBcosCsinA,

2sin(CB)sin2AsinA1,因为00A1800，所以A900；

13322abcosC, ba2c2，得absinC244由余弦定理、三角形面积公式及S0000整理得tanC3，又0C90,所以C60,故B30.

【点评】本题主要考查正、余弦定理，属中档题。

11.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题11】已知x，y均为正实数，若2与2的等差中项为2，则x2y的取值范围是 （ ） A. (,4) B. (0,4) C. 0,4 D.,4 【答案】B

xyxyxy【解析】由题2+2422222当且仅当xy时“”成立，此时xy2；

xy又x,y0，作出可行域如下图，当直线分别在点O及点A时，x2y有最小值0及最大值4，故x2y的取值范围为(0,4).

yAxOx+2y=0

【点评】本题结合等差中项考查基本不等式及线性规划问题.

12.【河南省郑州市2018--2019学年上期期末考试高二数学（理）题12】

已知抛物线y4x,其准线与x轴的交点为C,过焦点F的弦交抛物线于A,B两点,且

2AFC150,则tanACB(

A. 3

B. 2

C.

)

4 3 D.

3 2【答案】C

【解析】如图所示,过点A分别作x轴和准线的垂线,垂足分别为H,A1.

根据题意,知AFAA1,故tanACFAHAHAH1sinAFHsin30. CHAA1AF2同理可得tanBCFsinBFCsin301 2114故tanACBtanACFBCF222.故选C

3112

【点评】本题考查抛物线方程,定义等知识点.考查数形结合思想,转化化归思想的应用.本题亦可采用代数法,求出的A,B坐标再用向量法解决.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。

13.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题13】某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东300方向，后来船沿南偏东750方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是__________海里.

答案：56

【解析】以O为原点建立直角坐标系，设南偏东300方向为射线OM，船沿南偏东750方向航行15海里后到达A点，过A作x轴平行线，交Y轴于D点，交OM于B点，

DOA300450,cosDOAADOD15(62),OD, ,sinDOAOA4OAAD15(62)BD15256,DOB300,tanDOB,BD

4OD4故ABADBD56.

14. 【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题14】已知数列an的

b910，首项为3，且bnan1an(nN)，若b32，则a7 。 bn为等差数列，

【答案】3

【解析】因为bn为等差数列，b32，b910，设公差为d，所以b9b36d，解得所以bnb3(n3)d2n8，故an1an2n8，又a7a1(a2a1)(a3d2，

a2)(a4a3)(a5a4)(a6a5)(a7a6）3+(6)(4)(2)0243

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，以及用累加法求通项。先根据bn为等差数列，b3和b9的值，求解出bn，再利用累加法求解a7。

15.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题15】函数

f(x)23(0x)的最小值是 . 22sinxcosx2【答案】526

【解析】注意到sinxcosx1，且0sinx,cosx1

232cos2x3sin2x2cos2x3sin2x22f(x)(2)(sinxcosx)2352526，22222sinxcosxsinxcosxsinxcosx22222cos2x3sin2x当且仅当时“”成立，此时sinx32，cosx123满22sinxcosx足题意，故f(x)的最小值为526. 【点评】本题主要考查基本不等式.

16.【河南省郑州市2018--2019学年上期期末考试高二（理）题16】

已知点A,B的坐标分别是1,0,1,0,直线A,B相交于点M,且它们的斜率分别为k1,k2,下列命题是真命题的有

.(只填写序号)

①若k1k22,则M的轨迹是椭圆(除去两个点) ②若k1k22,则M的轨迹是抛物线(除去两个点)

③若k1k22,则M的轨迹是双曲线(除去两个点) ④若k1k22,则M的轨迹是一条直线(除去一点) 【答案】③④

【解析】[交轨法]不妨设点Mx,y

1lAM:ykx1①不妨设k1k,k22k则有,消去参数k,得yx,x1xlBM:y2kx1

所以①错

lAM:ykx12②不妨设k1k,k22k则有,消去参数k,得yx1,x1

lBM:y2kx1所以②错

y2yy21,x1所以③对 ③k1k22,整理得x4x1x1yx1,整理得x3,y0所以④对

x1y④k1k22【点评】本题考查斜率公式,轨迹方程求法.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题17】已知

p:x23x40,q:x1xm0.

（1）若 m2，命题“pq ”为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 【解析】（1）m2时，p:4x1,q:1x2

pq为真时，p，q两个命题一真一假或两个都为真，其对立事件为两个都为假，当p假x4或x1q,即x2或x4， 且假时x1或x2所以pq为真时4x2,即x的取值范围为4,2 （2）若p是q 的必要不充分条件，则q的解集p的解集 ①q时，即m1时，满足题意

②q时，当m1时 p:4x1,q:1xm,因为qp,所以m1。

当m1时 p:4x1,q:mx1,因为qp,所以m4。

所以4m1

综上，实数m的取值范围为4,1

18. 【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题18】已知数列an的

2前n项和为Sn=nn1(nN)

（I）求数列an的通项公式；

（II）若bn1，求数列bn的前n项和Tn。 anan1【答案】（I）an1,n131 （II）Tn

84n42n,n22【解析】（1）∵Snnn1nN.

2∴当n2时，Sn1(n1)(n1)1 …………2分

22∴anSnSn1nn1[(n1)(n1)1]2n；…………4分

又当n1时，a1S11，不满足上式.

…………5分

∴an1,n1.…………6分

2n,n211111()…………8分 anan12n2(n1)4nn1（2）当n2时，bn∴Tnb1b2bn111111[()()44233411()] nn111131；…………10分 (1)42n184n4∵当n1时，T1b111，满足上式；…………11分 a1a24∴Tn31.…………12分 84n4(n1)S1aSa【点评】本题第一问主要考查n与n的关系n，一定要验证n1的

SS(n1)n1n情况；第二问主要考查裂项求和的方法。

19.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题19】在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足sinC3cosC2, （I）求C的大小；

（II）现给出三个条件：①a3b;②B4;③c2.试从中选择两个可以确定ABC的

条件，写出你的选择并以此为依据求ABC的面积S.（只写出一种情况即可）

解：（1）依题意得：sinC3cosC2(sinC123πcosC)2sin(C)2， 23即sin(Cπ)1，…………3分 3ππ4π， C333∵0Cπ，∴

∴Cπππ，∴C；…………5分 326（2）方案一：选条件①和③，…………6分

由余弦定理a2b22abcosCc2，有3bb23b22234，…………8分 2则b2，a23，…………10分

所以S111absinC2323．…………12分 222方案二：选条件②和③，…………6分 由正弦定理

cbsinB，得bc22，…………8分

sinCsinBsinC∵ABCπ，

∴sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC62，…………10分 4∴S1162bcsinA222=31．…………12分 22461，不成立，这样的三角2说明：若选条件①和②，由a3b得，sinA3sinB形不存在．

点评：考察解三角形知识，正弦定理余弦定理的应用，属于常规题型，难度中等。 20、【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题20】2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌。40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设。郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护。若已知市财政下拨一项专款100（百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（单位：百万元），Mx50x,处理污染项

10x目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（单位：百万元）,

Nx0.2x.

（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y,写出y关于x的函数解析式和定义域；

（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

【解析】(1)yM(x)Nx50x0.2(100x),x0,100

10x（2）由（1）得到y50（x+10）-5000.2(10x110)

10x50010x22 10x550010x722052 10x5 50 72250010x=当且仅当取等号，即x40时，取等号。 10x5所以y的最大值为52万元，分别投资给植绿护绿和处理污染两个生态维护项目40万和60万元。

21.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题21】如图，四棱锥

ABC900, ABSD2, CD1, 底面ABCD是梯形，且AB//CD，SABCD中，

BAD60,SASB.

（1） 求证：平面SAB平面ABCD;

（2） 若SASB,求二面角ASDC的余弦值.

【答案】解：（1）取AB中点O，连接BD、DO、SO，

在直角梯形ABCD中，BCD900，BAD600，AB2，CD1

∴OAOB1，DOAB，OD3；

∴BDAB，又BAD600 ∴ABD为等边三角形． ∵SASB，∴ SO1AB1． 2∵SD2，∴OS2OD2SD2．∴DOSO． ∵ABSOO，∴DO平面SAB．

∵DO平面ABCD，∴平面SAB平面ABCD．…………5分 （2）∵OS2OA21212(2)2SA2，∴SOAO． 由（1）知，平面SAB平面ABCD，∴SO平面ABCD，

∴直线OD,OB,OS两两垂直．以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图， 则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(3,0,0),C(3,1,0),S(0,0,1)．

∴AS(0,1,1),SD(3,0,1),DC(0,1,0)． …………6分 设平面ASD的法向量为m(x,y,z)，

mAS0yz0由，得，取x1，得m(1,3,3)，…………8分

3xz0mSD0nSD03xz0设平面SCD的法向量为n(x,y,z)，由，得，取x1，

2y0nDC0得n(1,0,3)， …………10分

∴cosm,nmn27，…………11分

mn7由图可知二面角ASDC为钝二面角，

∴二面角ASDC的余弦值为27． …………12分 7【解析】第一问考查面面垂直的判定，利用判定定理；第二问通过建系，利用空间向量进行计算.

【点评】考查空间几何点线面的位置关系及向量法，属中档常规题。 22.【河南省郑州市2018--2019学年上期期末考试高二（理） 题22】

x2y2设椭圆C:221(ab0),F1,F2为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为4,焦距为2c,

ab且bc,BF1F2的面积为3. (Ⅰ)求椭圆C的方程

(Ⅱ)设动直线l:ykxm椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线x4相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明理由.

【答案】

2a4a21【解析】(1)由题意知2cb3，解得：b3

2c1222abcx2y2

故椭圆C的方程是＋＝1． …………4分

43

y＝kx＋m，

(2)由x2y2得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．…………6分

4＋3＝1，因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*) 4k34km4k3

－，. 此时x0＝－2＝－，y0＝kx0＋m＝，所以Mmmmm4k＋3

x＝4，

由得N(4,4k＋m)．…………8分 y＝kx＋m

假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上． 设P(x1,0)，则PMPN0对满足(*)式的m、k恒成立．

4k3

－－x1，，PN＝(4－x1,4k＋m)，由PMPN0，…………10分 因为PM＝mm16k4kx112k

得－＋－4x1＋x2＋＋3＝0， 1

mmm

k整理，得(4x1－4)＋x2－4x1＋3＝0.(**) …………11分

m1

4x1－4＝0，

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以2解得x1＝1.

x1－4x1＋3＝0，

故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M. …………12分